1、2013 年浙江专升本（高等数学）真题试卷及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 设 f(x)=sin(cos2x)，x(一 ，+)，则此函数是 ( )（A）有界函数（B）奇函数（C）偶函数（D）周期函数2 若函数 y=f(x)是区间1，5上连续函数，则该函数一定 ( )（A）在区间1，5 上可积（B）在区间(1，5)上有最小值（C）在区间(1，5)上可导（D）在区间(1，5) 上有最大值3 xcosxdx ( )（A）0（B） 1（C）一 1（D）一 24 由曲线 y= ，y=x 所围成的平面图形的面积为 ( )（A）（B）（C）（D）5 已知二阶微分方程
2、y+y一 6y=3e2xsinxcosx，则设其特解形式为 ( )（A）e 2x(acosx+bsinx)（B） e2x(acos2x+bsin2x)（C） xe2x(acosx+bsinx)（D）xe 2x(acos2x+bsin2x)二、填空题6 极限 xlnsin(x2)=_7 函数 y= 的定义域为_8 已知 f(1)=1，则 =_9 若函数 y=y(x)由方程 y=1+xesiny 所确定，则 y=_10 =_11 极限 +nsin1)用定积分表示为_12 级数 的收敛区间是_13 常微分方程 y+P(x)y=Q(x)y2 的通解为_14 法向量为 a=(1，一 3，2)的过点(1，
3、0，1)的平面方程是_15 球面 x2+y2+(z 一 2)2=4 与平面 2x+yz+26=0 之间的距离等于_三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。16 设 f(x)= 若 f(x)是连续函数，求 a 的值17 设 f(x)= ，求 f(x)18 求函数 y= 的单调区间以及凹凸区间19 讨论方程 3x2 一 1=cosx 的根的个数20 求xsin2xdx21 计算 dx22 计算瑕积分23 将函数 f(x)= 展开成 x 的幂级数，并指出其收敛域四、综合题24 证明：若 f(x)是a，a上的连续函数，则 f(x)dx=25 设 f(t)是实的非负可积函数，若可积函数 x(t)满足 x(
4、t) f(s)x(s)ds(t0)，则 x(t)026 若 f(x)在 x=0 的某个邻域中有连续的一阶导数， f(0)=0，f(0)存在，证明： 2013 年浙江专升本（高等数学）真题试卷答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 A【试题解析】 因为一 1sin(cos2x)1，所以函数 f(x)=sin(cos2x)是有界函数，容易验证 f(x)=sin(cos2x)是非奇非偶函数，非周期函数，所以答案 A 正确2 【正确答案】 A【试题解析】 由可积的充要条件可知，函数 f(x)在闭区间1，5上连续 f(x)在闭区间1 ，5 上可积因此，选项
5、A 正确3 【正确答案】 D【试题解析】 xcosxdx= xdsinx=xsinx sinxdx=cosx =24 【正确答案】 D【试题解析】 据题意画图可知，5 【正确答案】 D【试题解析】 特征方程为 r2+r6=0，解得 r1=3，r 2=2，而 =2 是特征方程的单根，所以取 k=1，所以 yy一 6y=3e2xsinxcosx= e2xsin2x 的特解形式可设为y*=xe2x(acos2x+bsin2x)，选项 D 正确二、填空题6 【正确答案】 0【试题解析】 =2xcos(x2)=07 【正确答案】 2k，(2k+1)(kZ)【试题解析】 由 0sinx1 解得 2kx(2
6、k+1)(kZ)8 【正确答案】 -2【试题解析】 =2f(1)=29 【正确答案】 【试题解析】 隐函数方程求导，y=e sinyxye siny.cosy，解得 y=10 【正确答案】 lnlnxC【试题解析】 =lnlnx C11 【正确答案】 xsinxdx【试题解析】 利用定积分的定义求极限，+nsin1)=sin1)=xsinxdx12 【正确答案】 (一 1，1)【试题解析】 利用比值判别法的思想，=x21，解得一 1x113 【正确答案】 =eP(x)dx一Q(x).e P(x)dx dx+C【试题解析】 伯努利方程，令 z= ，则 y= ， ，所以一 P(x).z=Q(x)
7、，由一阶线性微分方程的通解公式可知，z=e P(x)dx一Q(x).e P(x)dx dx+C即 =eP(x)dx一Q(x).e P(x)dxdx+C14 【正确答案】 x 一 3y+2z 一 3=0【试题解析】 由点法式可知，所求平面方程为 1.(x 一 1)一 3(y 一 0)+2(z 一 1)=0，即 x 一 3y+2z 一 3=015 【正确答案】 4 一 2【试题解析】 球心坐标为(0，0，2)，半径 R=2，球心到平面 2x+yz+26=0 的距离为 ，故所求距离为 4 一 2三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。16 【正确答案】 因函数 f(x)是连续函数，所以 f(x)在 x
8、=0 处连续，所以 f(x)=f(0)= 由左连续可知=f(0)= (exsinx+excosx 一 a 一2ax)=0，可得 a=1 17 【正确答案】 当 x0 时，f(x)= f(0)= =0 f(x)=18 【正确答案】 易知函数 y= 的定义域为 x(一，0)(0，)且 y=令 y=0，得 x= (驻点 )当 x 时，y0；当 x 时，y0，故 y= 在 x= 处取得极小值单调增区间为( ，+)，单调减区间为(一，0)， (0， ) 又因 y= ，所以当 x0 时，y 0；当 x0时，y0，故函数 y= 的凹区间为(0 ，+) ，凸区间为 (一 ，0)19 【正确答案】 令 f(x)
9、=3x2 一 1 一 cosx，f(0)20，f( 一 10，f() 一 10，且 f(x)在 一 ，0和0， 上连续所以由零点定理知，至少存在一点 1(一 ，0)和 2(0， )使得 f(1)=0 且 f(2)=0 又因 f(x)=6x+sinx，f(x)=6+cosx0，所以 f(x)是增函数所以当 x0 时， f(x)f(0)，即 f(x)0 当 x0时，f(x)f(0)，即 f(x) 0 所以，函数 f(x)在(一，0)上严格单调递减，在(0，+) 上严格单调递增因此，综上可知方程 3x2 一 1=cosx 共有 2 个根20 【正确答案】 xsin2xdx= xdcos2x= xco
10、s2xcos2xdx= xcos2x+ cos2xdx= xcos2x+ sin2x+C21 【正确答案】 dx=2 ln(1+x)dln(1x)=ln 2(1x) =(ln2)222 【正确答案】 x=0 是瑕点， dx=sectdt=lnsecttantC=ln2x21C 所以23 【正确答案】 f(x)= 又因xn，x(一 1， 1)所以11 所以 f(x)= xn，x (2，2)当 x=2 时，f(一 2)=发散当 x=2 时，f(2)= 发散所以收敛域为 x(一 2，2) 四、综合题24 【正确答案】 因为 f(x)dx= f(x)dx+ f(x)dx f(x)dx f(一 t)(一
11、dt)= f(一 t)dt()若函数 f(x)为偶函数，则 f(t)dt 所以(x)dx；()若函数 f(x)为奇函数，则f(一 t)dt=一 f(t)dt 所以 f(x)dx= f(x)dx+ f(x)dx=0 所以，综合)和)可知， f(x)dx=25 【正确答案】 令 F(t)= f(s)x(s)ds，则 F(t)=f(t)x(t)所以 x(t)= ，F(0)=0 又x(t) f(s)x(s)ds，且 f(t)是实的非负可积函数 F(t) F(t)f(t)F(t)f(t).f(t)0 .F(t)0函数 G(t)= F(t)单调递减当 t0 时，G(t)G(0) ，即.F(t)0，所以 F(t)0x(t)026 【正确答案】 函数 f(x)在 x=0 的某个领域中有连续的一阶导数所以由拉格郎日中值定理可知，至少存在一点 (sinx，x) (0，)，其中 01 使得 f(x)f(sinx)=f()(xsinx)所以 1，所以 =1(利用夹逼准则可得)所以当 x0 时，x 所以方法二：泰勒中值定理函数 f(x)在 x=c 的某个邻域中有连续的一阶导数，f(0)=0，f(0)存在由泰勒中值定理可知 f(x)=f(0)+f(0)x+ f(sinx)=f(0)+f(0)sinx+
