1、2014 年江苏专转本（高等数学）真题试卷及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 下列各函数是同一函数的是( )2 已知函数 在 x=0 点连续，则 a=( )（A）4（B） 2（C） 3（D）03 已知 f(x0)=3，则极限（A）（B） 1（C） 3（D）94 已知 y=sin2x+sin x2，则（A）sin 2x+2xcosx 2（B） 2 sinx+2xcosx2（C） sin2x 一 2xcosx2（D）2 sin x 一 2xcosx25 二阶线性齐次微分方程 y“+2y一 3y=0 的通解为( )（A）C 1e3x+C2e-x（B） e-3x(
2、C1cosx+C2sinx)（C） C2e3x+C2e-x（D）C 1e-3x+C2ex6 下列等式止确的是( )（A）f(x)dx=f(x)（B） df(x)=f(x)（C）（D）df(x)dx=f(x)二、填空题7 曲线 y= 的水平渐近线的方程为_.8 设函数 f(x)=ax3-9x2+12x 在 x=2 处取得极小值，则 f(x)的极大值为_.9 定积分 的值为_10 函数 的全微分 dz=_11 某县 2004 年年底人口数为 x0(单位：万人)，已知该县人口的年均增长率为 r(r 为常数)，则该县 2014 年年底人口数为_12 极限三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 求极
3、限14 设函数 y=f(x)由参数方程15 求不定积分xln 2xdx16 已知 求 -11f(x)dx17 设 z=z(x，y)是由方程 yz+zx+xy=1 确定的隐函数，试求18 计算二重积分19 当 a 为何值时，方程组 无解、有解，并用基础解系表示其通解20 求微分方程 y“一 2y=xe3x 的通解四、综合题21 设平面图形 D 由抛物线 y=1-x2 及其在点(1，0)处的切线以及 y 轴所围成，试求：(1)平面图形 D 的面积； (2)平面图形 D 绕 y 轴旋转一周所形成的旋转体的体积22 设 (x)是定义在(一，+) 上的连续函数，且满足方程 0xt(t)dt=1-(x)，
4、 (1)求函数 (x)的解析式；(2) 讨论函数 f(x)= 在 x=0 处的连续性与可导性五、证明题23 要建造一个容积为 16(单位：m 3)的圆柱形蓄水池，已知侧面单位造价为 a(单位：元)，池底单位造价为侧面单位造价的两倍，问应该如何选择蓄水池的底半径 r 和高 h，才能使总造价最低24 证明：当 x0 时2014 年江苏专转本（高等数学）真题试卷答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 C2 【正确答案】 B3 【正确答案】 D4 【正确答案】 A5 【正确答案】 D6 【正确答案】 C二、填空题7 【正确答案】 y=e -2【试题解析】
5、，令 t=-x，则当 x时，t于是8 【正确答案】 5【试题解析】 f(x)=3ax 2 一 18x+12 f(2)=12a 一 36+12=0 a=2 令 f(x)=6x2 一18x+12=0， 即 x2 一 3x+2=0，(x 一 1)(x 一 2)=0 x 1=1，x 2=2，令 x=1 代入，原式f(x)=59 【正确答案】 【试题解析】 对于可知其值为 0，其结果为 10 【正确答案】 【试题解析】 11 【正确答案】 x 0(1+r) 1012 【正确答案】 三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 【正确答案】 【试题解析】 14 【正确答案】 【试题解析】 15 【正确答案】
6、 【试题解析】 16 【正确答案】 17 【正确答案】 令 F(x，y，z)=yz+zx+xy 一 1 Fx=z+y，F y=z+x，F z=x+y，18 【正确答案】 19 【正确答案】 此时方程组的增广矩阵可变为20 【正确答案】 所解方程是二阶常系数非齐次线性微分方程，且 f(x)是 pm(x)ex 型，所验方程对应齐次方程为 y“一 2y=0它的特征方程为 r2 一 2r=0有两个根r1=0，r 2=2 于是所得方程对应的齐次方程的通解为 因 f(x)=xe3x，=3 不是特征方程的根故可设 y*=(ax+b)e3xy*=ae3x+2(ax+b)e3xy“*=3ae3x+3ae3x+q
7、(ax+b)e3x =6ae3x+9(ax+b)e3x分别代入方程左边得6ae3x+9(ax+b)e3x 一 2ae3x 一 6(ax+b)e3x=xe3x4ae3x+3(ax+b)e3x=xe3x经整理(4a+3b)e3x+3axe3x=xe3x四、综合题21 【正确答案】 【试题解析】 根据已知条件如图所示 y=一 2x 在点(1 ，0)处斜率k=一 2，设切线为 y=一 2x+2， (2)由(1)中的结果得到22 【正确答案】 等式两边求导得(1)x(x)= 一 (x)因为原式 y(0)=1，所以 f(x)在 x=0 处为连续同理 f(0+0)=根据导数定义设函数不可导五、证明题23 【正确答案】 由于池侧单位造价为 a，所以池底单位造价为 2a，因此总造价 y为 y=2rh.a+r2.2a，又有水池的体积为 16，即 r2h=16，故有 因此由实际问题知 r0，故以下求 y 在(0，+)内的最小值 故当r=2，h=4 时，总造价最低，最低造价为 24a24 【正确答案】 令 f(x)=ex 一 1 一 f(x)=0当 x0 时，f“(x)0所以 f(x)在(0，+) 单调递增，f(x)0所以 f(x)在(0，+)单调递增，f(x)0
