1、专升本（高等数学一）模拟试卷 108 及答案与解析一、选择题1 当 x0 时，下列变量中为无穷小的是 【 】2 下列等式成立的是 【 】3 设函数 f(x)=2lnx+ex，则 f(2)等于 【 】（A）e（B） 1（C） 1+e2（D）ln24 设函数 f(x)=(1+x)ex，则函数 f(x) 【 】（A）有极小值（B）有极大值（C）既有极小值又有极大值（D）无极值5 = 【 】6 下列各式中正确的是 【 】7 下列反常积分收敛的是 【 】8 方程 x2+y2 z2=0 表示的二次曲面是 【 】（A）球面（B）旋转抛物面（C）圆柱面（D）圆锥面9 函数 在(3，3) 内展开成 x 的幂级数
2、是 【 】10 微分方程 y2y=e x 的特解形式应设为 【 】（A）y *=Aex（B） y*=Axex（C） y*=2ex（D）y *=ex二、填空题11 极限 =_12 =_13 若 ，则 y=_14 由 ，求 f(x)的导数等于_15 函数 在0，3上满足罗尔定理，则 =_16 =_17 sec25xdx=_18 已知 z=(1+xy)y，则 _19 若将 改变积分顺序，则 I=_20 方程 ye xy =0 的通解为_21 设 sin(ts)+ln(st)= t，求 的值22 设 ，求 f(x)在1 ，2上的最大值23 如果24 求 25 计算 ，其中 D 为圆域 x2+y2926
3、 设 z 是 x， y 的函数，且 xy=xf(z)+y(z)，xf(z)+y(z)0，证明：27 设 ，求 f(x)28 求幂级数 的收敛区间专升本（高等数学一）模拟试卷 108 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查了无穷小量的知识点2 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查了函数的极限的知识点3 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查了函数在一点的导数的知识点因 f(x)=2lnx+ex，于是 f(x)= +ex，故 f(2)=1+e24 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查了函数极值的知识点因 f(x)=(1+x)ex 且处处可导，于是，f(x)=ex+(1+
4、x)ex=(x+2)ex，令 f(x)=0 得驻点 x=2；又 x2 时，f(x)0；从而f(x)在 x=2 处取得极小值，且 f(x)只有一个极值5 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查了定积分的知识点6 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查了定积分的性质的知识点对于选项 A，当 0x1 时，x3 2，则 01x3dx 01x2dx对于选项 B，当 1x2 时，lnx(lnx) 2，则12lnxdx 12(lnx)2dx7 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查了反常积分的敛散性的知识点8 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查了二次曲面(圆锥面)的知识点因方程可化为，z 2=x2+y2
5、，由方程可知它表示的是圆锥面9 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查了函数展开为幂级数的知识点10 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查了二阶线性微分方程的特解形式的知识点由方程知，其特征方程为，r 22=0 ，有两个特征根 r= 又自由项 f(x)=ex，=1 不是特征根，故特解 y*可设为 Aex二、填空题11 【正确答案】 e 2【试题解析】 本题考查了函数的极限的知识点12 【正确答案】 x【试题解析】 本题考查了利用 求极限的知识点13 【正确答案】 【试题解析】 本题考查了一元函数的一阶导数的知识点注：用对数求导法可解之如下：14 【正确答案】 【试题解析】 本题考查了一元函数
6、的导数的知识点15 【正确答案】 2【试题解析】 本题考查了罗尔定理知识点由 ，得 f(0)= f(3)=0又因 故 f()=0，所以=216 【正确答案】 【试题解析】 本题考查了定积分的知识点17 【正确答案】 tan5x+C【试题解析】 本题考查了不定积分的知识点sec 25xdx= sec25xd(5x)= tan5x+C18 【正确答案】 1+2ln2【试题解析】 本题考查了二元函数在一点处的一阶偏导数的知识点由 z=(1+xy)y，两边取对数得 lnz=yln(1+xy)，注：将 x=1 代入 z=(1+xy)y，19 【正确答案】 01dyeyef(x，y)dx【试题解析】 本题
7、考查了改变积分顺序的知识点 因积分区域 D=(x，y)|1xe，0ylnx =(x，y)|0y1，e yxe， 所以 I=01dyeyef(x，y)dx 注：画出草图就能清楚地看出积分区域的特征20 【正确答案】 e y=ex+C【试题解析】 本题考查了可分离变量微分方程的通解的知识点 ye xy =0，可改写为 eydy=exdx， 两边积分得 ey=ex+ C21 【正确答案】 在 sin(ts)+ln(st)=t 两边对 t 求导，视 s 为 t 的函数，有22 【正确答案】 f(x)=xe x2 ，f (x)在1，2 上单调递减， 它的最大值是 f(1)，而23 【正确答案】 24 【正确答案】 25 【正确答案】 用极坐标系进行计算，26 【正确答案】 在已知等式两边对 x 求导，y 视为常数，有27 【正确答案】 28 【正确答案】 故级数在0t1，即1x11 上收敛，而当 t=1 时，即 x=2 或 x=0 时，级数为，这里交错级数，由莱布尼茨判别法知级数收敛级数在0，2上收敛注：本题另解如下， 所以当 1 时级数收敛，即 0x2 时级数收敛，同上知 x=0 或 x=2 时级数收敛，故级数的收敛区间为0，2
