1、专升本（高等数学一）模拟试卷 111 及答案与解析一、选择题1 当 x0 时，无穷小 x+sinx 是比 x 【 】（A）高阶无穷小（B）低阶无穷小（C）同阶但非等价无穷小（D）等价无穷小2 设函数 f(x)在点 x0 的某邻域内可导，且 f(x0)为 f(x)的一个极小值，则等于 【 】（A）2（B） 0（C） 1（D）23 设函数 f(x)=ex2 ，则 f(x)等于 【 】（A）2e x2（B） 2ex2（C） 2xex2（D）2xe x24 函数 y=x arctanx 在( ，+) 内 【 】（A）单调增加（B）单调减少（C）不单调（D）不连续5 f(x)dx=ex+C，则xf(1x
2、 2)dx 为 【 】6 设 ，则 (x)等于 【 】（A）tanx 2（B） tanx（C） sec2x2（D）2xtanx 27 下列反常积分收敛的 【 】8 级数 是 【 】（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）无法确定敛散性9 方程 x2+y2=R2 表示的二次曲面是 【 】（A）椭球面（B）圆柱面（C）圆锥面（D）旋转抛物面10 曲线 【 】（A）有水平渐近线，无铅直渐近线（B）无水平渐近线，有铅直渐近线（C）既有水平渐近线，又有铅直渐近线（D）既无水平渐近线，也无铅直渐近线二、填空题11 函数 的单调递减区间是_12 设 f(x)连续， _13 设 ，D 是圆域 x2+y2a
3、2，则 I=_14 设 f(x)=ax36ax 2+b 在区间1，2的最大值为 2，最小值为29，又知 a0，则 a，b 的取值为 _15 设曲线 ，则该曲线的铅直渐近线为_16 当 p_时，级数 收敛17 求 _18 幂级数 的收敛半径 R_19 方程 y2y+5y=e xsin2x 的特解可设为 y*_20 _21 设 ，求 f(x)的间断点22 设 ，且 f(0)存在，求 f(0)23 给定曲线 y=x3 与直线 y=pxq(其中 p0)，求 p 与 q 为何关系时，直线 y=pxq是 y=x3 的切线24 求25 求幂级数 的收敛半径和收敛区间26 求27 计算 ，其中 D 是由 y=
4、x2，y=4x 2，y=l 围成28 求专升本（高等数学一）模拟试卷 111 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查了无穷小量阶的比较的知识点因=2，所以选 C2 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查了函数的极值的知识点因 f(x)在 x=x0 处取得极值，且可导，于是 f(x0)=0又3 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查了一元函数的一阶导数的知识点因 f(x)=ex2 ，则 f(x)=ex2 (2x)=2xe x2 4 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查了函数的单调性的知识点因 y=xarctanx，则 y=10，于是函数在(，+)内单调增加5 【正确答案
5、】 D【试题解析】 本题考查了换元积分法求不定积分的知识点xf(1x 2)dx= f(1x 2)d(1x 2) f(u)du= eu+C= e1x2 +C另解：将f(x)dx=e x+C 两边对 x 求导得 f(x)=ex，则xf(1x 2)dx=xe1x2 dx= e1x2 d(1x 2)= e1x2 +C6 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查了复合函数(变上限积分)求导的知识点因 (x)=0x2tantdt是复合函数，于是 (x)=tanx22x=2xtanx27 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查了反常积分的敛散性的知识点由 1+ dx 当 p1时发散，p1 时收敛，可知选 D注
6、：本题容易看出 A 选项发散而 B 选项 1+ dx中 相当于 ，故此积分发散对于 C 选项由 1+ lnxdx=1+lnxd(lnx)=(lnx)2|1+=+，故此积分发散8 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查了 P 级数的敛散性的知识点级数的通项为，此级数为 P 级数又因 ，所以级数发散9 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查了二次曲面(圆柱面)的知识点由方程特征知，方程x2+y2=R2 表示的二次曲面是圆柱面10 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查了曲线的渐近线的知识点对于曲线 y= ，因 ，故有水平渐近线 y=1；又，故曲线有铅直渐近线 y=1二、填空题11 【正确答案】 【
7、试题解析】 本题考查了函数的单调区间的知识点故当 时，F(x)12 【正确答案】 yf(xy)+f(x+y)+yf(x+y)【试题解析】 本题老查了二元函数的混合偏导数的知识点x+f(x+y)+yf(x+y)= yf(xy)+f(x+y)+yf(x+y)13 【正确答案】 0【试题解析】 本题考查了利用极坐标求二重积分的知识点用极坐标计算I= x2ydxdy=02d0ar3cos2sinrdr=02cos2sind0ar4dr= 02cos2dcos0ar4dr 注：本题也可用对称性求出由于 D为 x2+y2a关于 x 轴对称，且 f(x，y)= x 2y 关于 y 为奇函数，则 x2ydxd
8、y=014 【正确答案】 【试题解析】 本题考查了函数的最大、最小值的知识点f(x)=3ax12ax，f(x)=0，则 x=0 或 x=4，而 x=4 不在1，2 中，故舍去f(x)=6ax12a，f(0)=12a ，因为 a 0，所以 f(0)0，故当 x=0 时，f(x)最大，即 b=2；当 x=2 时，f(x)最小所以 b16a=29，即 16a=2+29=31，故15 【正确答案】 x=1【试题解析】 本题考查了曲线的铅直渐近线的知识点故铅直渐近线为 x=116 【正确答案】 1【试题解析】 本题考查了利用比较判别法求函的敛散性的知识点因当 p1 时收敛，由比较判别法知 p1 时， 收
9、敛17 【正确答案】 【试题解析】 本题考查了不定积分的知识点18 【正确答案】 1【试题解析】 本题考查了幂级数的收敛半径的知识点19 【正确答案】 xe x(Asin2x+Bcos2x)【试题解析】 本题考查了二元常系数微分方程的特解形式的知识点由特征方程为 r22r+5=0，得特征根为 12i，而非齐次项为 exsin2x，因此其特解应设为y*=Axexsin2x+Bxexcos2x=xex(Asin2x+Bcos2x)20 【正确答案】 【试题解析】 本题考查了反常积分的知识点21 【正确答案】 由题意知，使 f(x)不成立的 x 值，均为 f(x)的间断点故sin(x3)=0 或 x
10、3=0 时 f(x)无意义，则间断点为x3=k (k=0，1 ，2，)即 x=3+ k(k=0，1，2， )22 【正确答案】 注：导数的定义是 ，只要符合这个结构特征，其极限若存在就是 f(x0)23 【正确答案】 由题意知，在切点处有 x2=pxq，两边对 x 求导得 3x2=p，所以x3=3x3q，即，24 【正确答案】 25 【正确答案】 令 x2=t，先考虑 ，幂级数 的收敛半径 R=2，当 t2 时原级数收敛，原级数的收敛区间为26 【正确答案】 注：另解如下： 注：在解题中应尽量将题目化简，要大胆使用等价无穷小的代换27 【正确答案】 因 D 关于 y 轴对称，且 xey 是关于 x 的奇函数，x 2y2 是关于 x 的偶函数，则 I= xeydxdy+ x2y2dxdy=0+ x2y2dxdy，注： xeyd 是利用了对称性，由 D 关于 y 轴对称，xe y 是 x 的奇函数，故积分为零28 【正确答案】
