1、专升本（高等数学一）模拟试卷 21 及答案与解析一、选择题1 下列运算中正确的有( ) 2 设 f(x)在点 x0 的某邻域内有定义，且 ，则 f(x0)等于( )（A）-1（B） -1/2（C） 1/2（D）13 设 y=5x，则 y等于( ) 4 设 f(x0)=0，f“(x0)0，则下列结论必定正确的是( )（A）x0 为 f(x)的极大值点（B） x0 为 f(x)的极小值点（C） x0 不为 f(x)的极值点（D）x0 可能不为 f(x)的极值点5 sin5xdx 等于( ) 6 等于( ) （A）-1（B） -1/2（C） 1/2（D）17 设 f(x)为连续函数，则(f5x)dx
2、)等于( )8 下列关系式中正确的有( )9 方程 2x2-y2=1 表示的二次曲面是( )（A）球面（B）柱面（C）旋转抛物面（D）圆锥面10 设 k0，则级数 为( )（A）条件收敛（B）绝对收敛（C）发散（D）收敛性与 k 有关二、填空题11 12 设 y=sinx2，则 dy=_13 y=ln(1+x2)的单调增加区间为_14 15 16 17 设 是收敛的，则后的取值范围为_18 已知平面 ：2x+y-3z+2=0 ，则过点(0 ，0，0)且与 垂直的直线方程为_19 设 z=tan(xy-x2)，则 =_20 微分方程 y“+y=0 的通解为 _21 求22 设 y=x+arcta
3、nx，求 y23 计算24 计算25 求 y“+4y+4y=e-x 的通解26 在曲线 y=x2(x0)上某点 A(a，a 2)处作切线，使该切线与曲线及 x 轴所围成的图形的面积为 1/12试求： (1)切点 A 的坐标(a，a 2) (2)过切点 A 的切线方程27 求 y=xex 的极值及曲线的凹凸区间与拐点28 设平面薄片的方程可以表示为 x2+y2R2，x0，薄片上点(x，y)处的密度，求该薄片的质量 M专升本（高等数学一）模拟试卷 21 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查的知识点为重要极限公式 所给各极限与 的形式相类似注意到上述重要极限结构形式为 将四
4、个选项与其对照。可以知道应该选 C2 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查的知识点为导数的定义 由导数的定义可知 可知，故应选 B3 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查的知识点为基本初等函数的求导 y=5 x，y=5 xln5，因此应选 C4 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查的知识点为函数极值的第二充分条件由极值的第二充分条件可知应选 A5 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查的知识点为不定积分的换元积分法 ，可知应选 D6 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查的知识点为定积分的运算 故应选 C7 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查的知识点为不定积分的性质(f5x)dx)为
5、将 f(5x)先对 x 积分，后对 x 求导若设 g(x)=f(5x)，则(f5x)dx)=(g(x)dx)表示先将 g(x)对 x 积分，后对 x 求导，因此(f(5x)dx)=(g(x)dx)=g(x)=f(5x)可知应选 C8 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查的知识点为定积分的性质 由于 x，x 2 都为连续函数，因此 与 都存在又由于 0x1 时，xx 2，因此 可知应选 B9 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查的知识点为识别二次曲面方程由于二次曲面的方程中缺少一个变量，因此它为柱面方程，应选 B10 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查的知识点为级数的绝对收敛与条件收敛
6、由于为莱布尼茨级数，为条件收敛而 为莱布尼茨级数乘以数-k，可知应选 A二、填空题11 【正确答案】 【试题解析】 本题考查的知识点为连续性与极限的关系 由于 为初等函数，定义域为(-，0)，(0，+) ，点 x=2 为其定义区间(0，+)内的点，从而知12 【正确答案】 2xcosx 2dx【试题解析】 本题考查的知识点为一元函数的微分 由于 y=sinx2，y=cosx 2(x2)=2xcosx2，故 dy=ydx=2xcosx2dx13 【正确答案】 (0，+)【试题解析】 本题考查的知识点为利用导数符号判定函数的单调性 由于y=ln(1+x2)，其定义域为 (-，+) 又由于 ，令 y
7、=0 得唯一驻点 x=0 当 x0 时，总有 y0，从而 y 单调增加 可知 y=ln(1+x2)的单调增加区间为(0，+) 14 【正确答案】 【试题解析】 本题考查的知识点为不定积分的凑微分法15 【正确答案】 ln(1+x)【试题解析】 本题考查的知识点为可变上限积分求导16 【正确答案】 1/2【试题解析】 本题考查的知识点为极限运算 由于 17 【正确答案】 k1【试题解析】 本题考查的知识点为广义积分的收敛性 由于存在，可知 k118 【正确答案】 【试题解析】 本题考查的知识点为直线的方程和平面与直线的关系 由于直线与已知平面垂直，可知直线的方向向量 s 与平面的法向量 n 平行
8、可以取s=n=(2，1，-3) ，又已知直线过点(0，0，0)，由直线的标准式方程可知 为所求19 【正确答案】 【试题解析】 本题考查的知识点为二元函数的偏导数 z=tan(xy-x 2)，20 【正确答案】 y=C1cosx+C2sinx【试题解析】 本题考查的知识点为二阶线性常系数齐次微分方程的求解 特征方程为 r2+1=0，特征根为 r=i，因此所给微分方程的通解为 y=C1cosx+C2sinx21 【正确答案】 【试题解析】 本题考查的知识点为极限运算在极限运算中，先进行等价无穷小代换，这是首要问题应引起注意22 【正确答案】 23 【正确答案】 【试题解析】 本题考查的知识点为定
9、积分的换元积分法比较典型的错误是利用换元计算时，一些考生忘记将积分限也随之变化24 【正确答案】 【试题解析】 本题考查的知识点为计算广义积分 计算广义积分应依广义积分收敛性定义，将其转化为定积分与极限两种运算即25 【正确答案】 相应的齐次方程为 y“+4y+4y=0， 特征方程为 r 2+4r+4=0，即(r+2)2=0 特征根为 r=-2(二重根) 齐次方程的通解 Y=(C1+C2x)e -2x 设所给方程的特解 y*=Ae-x，代入所给方程可得 A=1，从而 y*=e-x 故原方程的通解为 y=(C1+C2x)e-2x+e-x26 【正确答案】 由于 y=x2，则 y=2x，曲线 y=
10、x2 上过点 A(a，a 2)的切线方程为 y-a2=2a(x-a)， 即 y=2ax-a 2， 曲线 y=x2，其过点 A(a，a 2)的切线及 x 轴围成的平面图形的面积 由题设S=1/12，可得 a=1， 因此 A 点的坐标为(1，1) 过 A 点的切线方程为 y-1=2(x-1)或 y=2x-1【试题解析】 本题考查的知识点为定积分的几何意义和曲线的切线方程本题在利用定积分表示平面图形时，以 y 为积分变量，以简化运算，这是值得注意的技巧27 【正确答案】 y=xe x 的定义域为(- ，+) ， y=(1+x)e x， y“=(2+x)e x 令 y=0，得驻点 x1=-1 令 y“=0，得 x2=-2 极小值点为 x=-1，极小值为 曲线的凹区间为(-2，+)； 曲线的凸区间为(-，-2) ； 拐点为【试题解析】 本题考查的知识点为：描述函数几何性态的综合问题28 【正确答案】 【试题解析】 本题考查的知识点为二重积分的物理应用 若已知平面物质薄片D，其密度为 f(x，y)，则所给平面薄片的质量 m 可以由二重积分表示为
