1、专升本（高等数学一）模拟试卷 87 及答案与解析一、选择题1 函数 z=xy 在(0 ，0)处 【 】（A）有极大值（B）有极小值（C）不是驻点（D）无极值2 如果 f(x0)=0，则 x0 一定是 【 】（A）极值点（B）拐点（C）驻点（D）凸凹区间分界点3 下列原函数为 ln(ax)(a0，1)的是 【 】4 函数 y=x+ 的单调减区间为 【 】（A）(， 2)U(2，+)（B） (2，2)（C） (，0) (0，+)（D）(2，0) (0，2)5 设 f(x)=1cos2x，g(x)=x 2，则当 x0 时，比较无穷小量 f(x)与 g(x)，有 【 】（A）f(x)对于 g(x)是高
2、阶的无穷小量（B） f(x)对于 g(x)是低阶的无穷小量（C） f(x)与 g(x)为同阶无穷小量，但非等价无穷小量（D）f(x)与 g(x)为等价无穷小量6 定积分( ) 的值为负 【 】7 设函数 f(x)=e2x，则不定积分 等于 【 】（A）2e x+C（B） ex+C（C） 2e2x+C（D）e 2x+C8 点( )是二元函数 f(x，y)=x 3y 3+3x2+3y29x 的极小值点 【 】（A）(1 ，0)（B） (1，2)（C） (3，0)（D）(3，2)9 函数 z= 的定义域是 【 】（A）(x ，y) x0 ，y0（B） (x，y) x0，y0（C） (x，y) x0，
3、y0（D）(x ，y) x0，y 0或 x0，y010 若级数 收敛，则下列级数不收敛的是 【 】二、填空题11 若 =2，则 a=_12 设 y=(1+x2)arctanx，则 y=_13 已知当 x0 时， 1 与 x2 是等价无穷小，则 a=_14 函数 y=x22x 在区间1 ，2 上满足拉格朗日中值定理条件的 =_15 设 ，且 k 为常数，则 k=_16 1+ex dx=_17 设曲线 y=f(x)在点(1，f(1)处的切线平行于 x 轴，则该切线方程为_18 对于微分方程 y+y=sinx，利用待定系数法求其特解 y*时，其特解的设法是y*=_19 级数 绝对收敛的充要条件是_2
4、0 设区域 D 由曲线 y=x2， y=x 围成，则二重积分 dxdy=_21 当 x时，f(x)与 为等价无穷小量，求 2xf(x)22 计算23 已知直线 L： ，平面 ：nx+2yz+4=0，试确定 m，n的值，使得直线 L 在平面 上24 设 y=y(x)满足 +，当 x0 时， 为无穷小，求 y25 将 f(x)=arctan 展开为 x 的幂级数26 求 (x+y)dxdy，其中区域 D 由曲线 y=x3，y=x 3 及 y=1 所围成27 设函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d，问常数 a，b，c 满足什么关系时，f(x)分别没有极值、可能有一个极值、可能有两个极值?28 已
5、知曲线 x= y2(k0)与直线 y=x 所围图形的面积为 ，试求 k 的值专升本（高等数学一）模拟试卷 87 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 D【试题解析】 由 z=xy 得 解得驻点(0，0)又因为 A=zxx (0，0)=0， B=zxy (0，0) =1，C=z yy (0，0) =0，B 2AC=1 0，所以在(0，0)处无极值故选 D2 【正确答案】 C【试题解析】 驻点的定义就是使得 f(x)=0 的点，所以选 C3 【正确答案】 B【试题解析】 由ln(ax)= ，故选 B4 【正确答案】 D【试题解析】 由 y= ，令 y=0，得驻点为 x=2，而不可导点为 x=0列表
6、讨论如下： 所以应选D5 【正确答案】 C【试题解析】 1cosx=2sin 2x，故 =26 【正确答案】 C【试题解析】 由定积分的几何意义得，应选 C 项7 【正确答案】 B8 【正确答案】 A【试题解析】 因 fx(x，y)=3x 2+6x9，f y(x，y)=3y 2+6y 所以，令 fx(x，y)=0， fy(x，y)=0，解得驻点(1，0)，(1 ，2)，(3， 0)，( 3，2) 又因 fxx(x，y)=6x+6， fxy(x，y)=0，f yy(x，y)=6y+6 于是 B 2 AC=36(x+1)(y1) 故，对于点(1， 0)：B 2AC=720，且 A=120，则点(1
7、，0)是极小值点； 对于点(1，2)：B2AC=72 0，则点(1 ，2)不是极值点； 对于点 (3，0)：B 2AC=72 0，则点(3， 0)不是极值点； 对于点(3，2) ：B 2AC= 720，且 A=120，则点(3， 2)是极大值点，故应选 A9 【正确答案】 D【试题解析】 要使表达式有意义，自变量 x，y 必须同时满足 即 xy0所以函数的定义域为 D=(x，y)x0，y0 或 x0，y0故选 D10 【正确答案】 D【试题解析】 因 发散，所以 D 发散二、填空题11 【正确答案】 -2【试题解析】 因为 =a，所以 a=212 【正确答案】 1+2xarctanx【试题解析
8、】 因为 y=(1+x2)arctanx，所以 y=2xarctanx+(1+x2)=2xarctanx+113 【正确答案】 2【试题解析】 当 x0 时， 1 与 x2 等价，应满足 =1而所以当 a=2 时是等价的14 【正确答案】 【试题解析】 因为 y=x22x 在1，2上满足拉格朗日中值定理的条件，则设 f(x)=x22x ，有 =22，2=3，所以 =15 【正确答案】 【试题解析】 因为16 【正确答案】 e 117 【正确答案】 y=f(1)【试题解析】 因为曲线 y=f(x)在(1，f(1)处的切线平行于 x 轴，所以 y(1)=0，即斜率 k=0，则此处的切线方程为 yf
9、(1)=0(x 1)=0，即 y=f(1)18 【正确答案】 x(asinx+bcosx)19 【正确答案】 a 1【试题解析】 如果想判定 是绝对收敛还是条件收敛，通常依下列步骤进行：(1)先判定 的收敛性，如果 收敛，即可知 绝对收敛(2)如果发散，再考察 的收敛性，如果 收敛，则为条件收敛20 【正确答案】 【试题解析】 因为 D：y=x 2，y=x，所以21 【正确答案】 此极限是“.0”型，可用四则运算将其化成 再用等价无穷小量替换 f(x) (x)，有 由于当 x时，f(x)与为等价无穷小量，因此22 【正确答案】 本题采用凑微分法即=2(cos3 cos2)=2(cos2cos3
10、)也可采用下面的方法来解，令 t= ， x=t2，dx=2tdt当 x=4 时， t=2；当 x=9 时，t=3则有=223sintdt=2cost 23=2(cos2cos3)23 【正确答案】 此题的关键是抓住直线 L 在平面 上即意味着满足两个条件：其一，直线 L 与平面 平行；其二，直线 L 上的点也满足平面 的方程这样即可由下面方法求得 m，n 的值要使直线 L 在平面 上，只要直线 L 平行于平面 ，且有一点在平面 上即可直线 L 的方向向量为 s=2，1，m，平面 的法线向量为 n= n，2，1，由直线平行于平面 得 s.n=0 即 2n2m=0 又点 P(1，2，1)为直线 L
11、 上的点，把此点的坐标代入平面 的方程得n4+1+4=0 联立， 解得24 【正确答案】 在做本题时要注意导数的定义，即 =y和一阶微分方程中变量可分离类的解法由于当x0 时，a 为无穷小，可知从而有25 【正确答案】 f(x)=arctan 不容易直接展开为幂级数形式但是对其求导后所得函数，即 f(x)= 是常见函数，它的展开式是已知的这样我们就得到f(x)的幂级数展开式，然后对其两边积分，就可以得到 f(x)的展开式所给 f(x)与标准展开级数中的形式不同，由于26 【正确答案】 因区域关于 y 轴对称，而 x 是奇函数，故 xdxdy=027 【正确答案】 此函数在定义域(，+) 处处可导，因此，它的极值点必是驻点即导数等于零的点f(x)=3ax 2+2bx+c，令 f(x)=0即 3ax 2+2bx+c=0 由一元二次方程根的判别式知： 当=(2b) 24.3a.c=4(b 23ac)0 时，f(x)=0 无实根由此知，当 b23ac0 时，f(x)无极值 当=4(b 23ac)=0 时，f(x)=0 有一个实根由此可知，当 b23ac=0 时 f(x)可能有一个极值 当=4(b 23ac)0 时，f(x)可能有两个极值28 【正确答案】 如图所示 由于在曲线方程中 y 的幂次高，选择 y 为积分变量，于是
