1、专升本（高等数学二）模拟试卷 47 及答案与解析一、选择题1 下列命题正确的是( )（A）无穷小量的倒数是无穷大量（B）无穷小量是绝对值很小很小的数（C）无穷小量是以零为极限的变量（D）无界变量一定是无穷大量2 函数 y=ln(1+x2)的单调递增区间是( )（A）(-5，5)（B） (-，0)（C） (0，+)（D）(-，+)3 设 z=x3 ，则 dz=( )4 设 F(x)是 f(x)的一个原函数，则 e-xf(e-x)dx 等于( )（A）F(e -x)+C（B） -F(e-x)+C（C） F(ex)+C（D）-F(e x)+C5 方程 x3+2x2-x-2=0 在-3，2上( )（A
2、）有 1 个实根（B）有 2 个实根（C）至少有 1 个实根（D）无实根6 设 f(x)=(1+x)ex，则 f(x)( )（A）有极小值（B）有极大值（C）无极值（D）是否有极值不能确定7 设函数 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，且 f(x)0（C） f(1)f(0)（D）f(1)P(B)，其中正确的个数是( )（A）1（B） 2（C） 3（D）410 任意抛掷三枚硬币，恰有两枚硬币正面朝上的概率是( )二、填空题11 设 =e-3，则 k=_12 已知当 x0 时，ln(1-ax)与 x 是等价无穷小，则 a=_13 函数 y=ln(arcsinx)的连续区间为_14 设 x
3、n= =_15 若 f(x)在 x=a 处可导，则 =_16 函数 f(x)= 在 x=0 处的二阶导数 f“(0)=_17 =_18 耐f(x)dx=e x+x+C，则cosxf(sinx-1)dx=_19 设 z 是方程 z+y-z=ez 所确定的 x 与 y 的函数，则 dz=_20 五人排成一行，甲、乙二人必须排在一起的概率 P=_21 若 =8，求 k 的值22 若 f(x)存在二阶导数，求函数 y=f(lnx)的二阶导数23 计算sin(ax)- dx24 求函数 y=x 的导数25 计算 01x226 设函数 y=y(x)是由方程 cos(xy)=x+y 所确定的隐函数，求函数曲
4、线 y=y(x)过点(0，1)的切线方程27 求函数 f(x，y)=x 2+xy+y2-3x-6y 的极值28 做一个如图所示的角铁架子，其底为等腰三角形，底边长为 6m，架子总长为5m，试求所用角铁为最少时，三根角铁的长度各为多少 ?专升本（高等数学二）模拟试卷 47 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 C【试题解析】 A 项：无穷小量(除去零)的倒数是无穷大量B 项：无穷小量不是绝对值很小很小的数(除去零)C 项：无穷小量是以零为极限的变量D 项：无界变量不一定是无穷大量，但无穷大量是无界变量2 【正确答案】 C【试题解析】 ，由 y0 得 x0，所以函数 y=ln(1+x2)在(0，+
5、)上单调递增3 【正确答案】 B【试题解析】 微分法4 【正确答案】 B【试题解析】 e -xf(e-x)dx=-f(e-x)de-x=-F(e-x)+C5 【正确答案】 C【试题解析】 设 f(x)=x3+2x2-x-2(x-3，2) 因为 f(x)在区间-3 ，2上连续，且f(-3)=-80，由“零点定理”可知，至少存在一点 (-3，2)，使 f()=0，所以方程在-3，2上至少有 1 个实根6 【正确答案】 A【试题解析】 f(x)=e x(2+x)，驻点 x=-2，当 x-2 时，f(x)0，所以 f(x)有极小值7 【正确答案】 D【试题解析】 由已知，f(x)在0 ，1上单调递减，
6、因此 f(x)在0，1上的最大值在左端点处，最小值在右端点处，应选 D8 【正确答案】 B【试题解析】 由二元偏导数的定义得 可知应选 B9 【正确答案】 C【试题解析】 由于 A 与 B 互斥，则 P(A+B)=P(A)+P(B)成立；又由于 A，B 都不是不可能事件，则 P(A)0，0P(B)的真假性10 【正确答案】 B【试题解析】 本题所做试验的可能结果为：上上上、上上下、上下上、上下下、下上上、下上下、下下上、下下下；其中“上上下、上下上、下上上”意味着恰有两枚硬币正面朝上，因而所求概率为 38二、填空题11 【正确答案】 *310【试题解析】 因为 =e2k=e-3有 2k=-3，
7、所以 k=12 【正确答案】 -1【试题解析】 =-a=1a=-1 13 【正确答案】 (0，1【试题解析】 函数 y=ln(arcsinx)的连续区间为它的定义区间由 arcsinx0，解得 x(0， 114 【正确答案】 0【试题解析】 15 【正确答案】 8f(a)【试题解析】 f(x)在 x=a 处可导，16 【正确答案】 2ln 32(ln2+1)【试题解析】 17 【正确答案】 【试题解析】 原式=18 【正确答案】 e sinx-1+sinx+C【试题解析】 cosx f(sinx-1)dx=f(sinx-1)d(sinx-1) =e sinx-1+sinx-1+C1 =esin
8、x-1+sinx+C19 【正确答案】 【试题解析】 设 F(x，y， z)=x+y-z=ez=0，20 【正确答案】 25【试题解析】 本题的关键是将甲、乙二人看成一个整体与其他三人一起排列为A44，注意甲、乙二人的排列为 A22所以21 【正确答案】 由题设知e3k=8，故 k=ln2【试题解析】 由于是 型，先消去高阶无穷因子，再利用重要极限对分子分母分别进行变形，并求极限22 【正确答案】 【试题解析】 这是抽象函数的求导问题，而 f(lnx)又是复合函数，所以应用复合函数的求导公式来计算23 【正确答案】 【试题解析】 虽有字母 a，b，但只有 x 才是积分变量，将 a，b 看作常数
9、，采用凑微分法即可24 【正确答案】 等式两边同时取对数得方程两边同时对 x 求导有【试题解析】 对多个函数的连乘除求导数，用对数求导法可以减少计算量，在所给函数式两边分别取对数，再用隐函数求导方法求 y，注意在 y表达式中不可保留 y，而应用 x 的函数式代替25 【正确答案】 设 x=sint，则 dx=costdt，当 x=0 时，t=0 ；x=1 时，t=2，所以【试题解析】 因为式中有形如*366的无理式，则应设 x=asint；若有 时，则应设 x=atant；同理有 时，应设 x=asect这是在解答此类题时必须掌握的26 【正确答案】 直接求导法等式两边对 x 求导得-sin(
10、xy)(y+xy)一=1+y，解得当 x=0 时，由方程得 y=1，则 =-1。所以过点(0，1)的切线方程为 y-1=-(x-0)，即 x+y-1=0【试题解析】 本题是一道典型的综合题，考查的知识点是隐函数的求导计算和切线方程的求法本题的关键是由已知方程求出 y，此时的 y中通常含有 x 和 y，因此需由原方程求出当 x=0 时的 y 值，继而得到 y的值，再写出过点(0，1)的切线方程计算隐函数y(x)的导数，通常有三种方法：直接求导法(此时方程中的 y 是 x 的函数)、公式法(隐函数的求导公式)和微分法( 等式两边求微分)27 【正确答案】 令 得驻点，P(0，3) 在点 P(0，3
11、)，A=f“(0，3)=2，B=f“ xy(0，3)=1，C=f“ yy(0，3)=2B 2-AC=1-4=-30从而函数f(x，y)在点 P(0，3)有极小值 f(0，3)=-9 【试题解析】 二元函数无条件极值的求解步骤为： (1)先求驻点 Mi，即的解(x i，y i)； (2) 求在驻点 Mi 处的 A=f“xx(Mi)，B=f“ xy(Mi)，C=f“ yy(Mi)，确定 B2-AC 的符号； (3)判定：若 B2-AC0)，则 z=f(xi，y i)为极大(极小)值28 【正确答案】 设等腰三角形的高为 h，则 BD=DC= 三根角铁的总长l=5-h+ l=-1+ =0，得 4h2=h2+9，解得 h= m由于只有唯一的驻点，所以 h= m 时，所用角铁为最少，此时三根角铁的长度分别为 BD=DC=m，AD= m【试题解析】 这是应用题中的最值问题，首先要列出函数关系式，再求其在已知条件下的最值
