1、四川省专升本（高等数学）模拟试卷 11 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 变量 f(x)= 在过程为_ 时为无穷大量 ( )（A）x0（B） x1（C） x1（D）x22 若 f(x0)，则 k= ( )（A）1（B） 3（C）（D）任意实数3 函数 y=x3+12x+1 在定义域内 ( )（A）单调增加（B）单调减少（C）图形是凹的（D）图形是凸的4 下列关系正确的是 ( )（A）df(x)dx=f(x)（B） df(x)dx=df(x)（C） df(x)dx=f(x)dx（D）df(x)dx=f(x)+C5 设 z=z(x，y)是方程 x=ln 确定
2、的隐函数，则 等于 ( )（A）1（B） ex（C） yex（D）y6 设区域 D=(x，y) x 2+y2a2，a 0，y0，将二重积分 (x2+y2)dxdy 在极坐标系下化为累次积分为 ( )（A） r3dr（B） r2dr（C） r3dr（D） r2dr7 定积分 (x+1)ex2+2xdx= ( )（A） (e3 一 1)（B） e3 一 1（C） (e 一 1)（D） 一 18 设幂级数 anxn 在 x=2 处收敛，则该级数在 x=1 处必定 ( )（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）敛散性不能确定9 方程(1 一 x2)yxy=0 的通解是 ( )（A）y=C（B） y
3、=（C） y=C.x（D）y= x3+C10 设 3 阶矩阵 A= ，若 A 的伴随矩阵的秩等于 1，则必有 ( )（A）a=b 或 a+2b=0（B） a=b 或 a+2b0（C） ab 且 a+2b=0（D）ab 且 a+2b0二、填空题11 设函数 f(x)的定义域是1 ，2，则函数 f(1+lnx)的定义域为_12 设 f(x)= 在 x=0 处的极限存在，但不连续，此时a_13 曲线 xy=x2y 在(1，1)点的切线方程为 _14 设 z=(lny+yex)cosx(y1)，则 =_15 设矩阵 A= ，则 A3 的秩为_三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。16 计算17 计算
4、ln(2x+1)dx18 求由方程 siny+xey=0 确定的曲线在点(0，) 处的切线方程19 计算sin(ax) 一 dx20 求幂级数 的收敛半径及收敛域21 计算二重积分 dxdy，其中 D 是由直线 x=2，y=x 与双曲线 xy=1 所围成的区域22 求微分方程 y=xsinx 的通解23 设齐次线性方程组 当 为何值时，方程组只有零解? 为何值时，方程组有无穷多解? 有无穷多解时求通解四、综合题24 如图，工厂 A 到铁路线的垂直距离为 20km，垂足为 B，铁路线上的 C 是距 B处 100km 的原材料供应站，现要在 BC 之间的 D 处向工厂 A 修一条公路，使得从材料供
5、应站 C 经 D 到工厂 A 所需要的运费最省，问 D 应选在何处( 已知 1km 的铁路运费与公路运费之比是 3：5)?25 设平面 x=1，x= 1， y=1 和 y=1 围成的柱体被坐标平面 z=0 和平面 x+y+z=3所截，求截下部分立体图形的体积五、证明题26 证明不等式：四川省专升本（高等数学）模拟试卷 11 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x)= ，当 x1 时，f(x)，所以选 C2 【正确答案】 C【试题解析】 =kf(x0)= f(x0)， k=3 【正确答案】 A【试题解析】 函数的定义域为
6、(，+) 因为 y=3x2+120， 所以 y 单调增加，x(，+) 又 y=6x， 当 x0 时，y0，曲线是凹的；当 x0 时，y 0，曲线是凸的4 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查的知识点为不定积分的性质由不定积分的性质可知df(x)dx=f(x)dx，故选 C5 【正确答案】 C【试题解析】 该函数可显化为 z=yex，故 =yex6 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查的知识点为将二重积分化为极坐标系下的累次积分由于在极坐标系下积分区域 D 可以表示为 0，0ra 因此 7 【正确答案】 A【试题解析】 8 【正确答案】 C【试题解析】 anxn 在 x=2 处收敛，故幂级数
7、的收敛半径 R2，收敛区间 (一2，2)，而一 1(一 2，2) (一 R，R)，故 anxn 在 x=1 处绝对收敛9 【正确答案】 C【试题解析】 分离变量10 【正确答案】 C【试题解析】 利用 A 的伴随矩阵的秩与 A 的秩之间的关系解本题记 A 的伴随矩阵为 A*，则有 所以当 r(A*)=1 时，r(A)=2于是A=(a+2b)(a 一 b)2=0，即 a+2b=0 或 a=b由于当 a=b 时，r(A)2，所以a，b 应满足 a+2b=0 且 ab因此本题选 C二、填空题11 【正确答案】 1，e【试题解析】 函数 f(x)的定义域是1，2 ， 11+lnx2，即 0lnx1，函
8、数f(1+lnx)的定义域为1，e 12 【正确答案】 1【试题解析】 函数 f(x)在 x0 处存在极限但不连续的条件是 f(x00)=f(x 0+0)f(x0)由于 所以只需 a113 【正确答案】 y=2 一 x【试题解析】 方程 xy=x2y，两边取对数 ylnx=2lnx+lny两边对 x 求导 ylnx+切线方程为 y 一1= (x 一 1)，即 y=2 一 x14 【正确答案】 cosx.(lny+ye x)cosx1 .( +ex)【试题解析】 =cosx.(lny+yex)cosx1 . (lny+yex)=cosx.(lny+yex)cosx1 .( +ex)15 【正确答
9、案】 1【试题解析】 先求出 A3，然后计算它的秩因为所以，A 3 的秩为 1三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。16 【正确答案】 【试题解析】 由于是“ ”型，可以采用洛必达法则求极限17 【正确答案】 【试题解析】 此题中 u=ln(2x+1)，dv=dx ，可以直接用分部积分公式积分18 【正确答案】 方程两边对 x 求导得 cosy.y+ey+xey.y=0，得所以 故所求切线方程为 y 一 =e(x 一 0)，即 e xy+=0【试题解析】 本题主要考查如何求切线方程已知切线过定点，只需求出函数在该点的导数值，即得切线的斜率，代入直线方程，进而求得切线方程19 【正确答案】 【试
10、题解析】 虽有字母 a，b，但只有 x 才是积分变量，将 a，b 看做常数，采用凑微分法即可20 【正确答案】 该幂级数的收敛半径为 由x 一12，得一 1x3，当 x=3 时，原级数为 发散；当 x=1 时，原级数为 收敛，所以该幂级数的收敛半径为 R=2，收敛域为一 1，3)【试题解析】 幂级数常通过 来求解收敛半径21 【正确答案】 先沿 y 方向积分，区域 D 可表示成： 则【试题解析】 解本题的主要思想是画出积分区域，将重积分化为我们学过的累次积分，注意根据积分区域灵活选用先对 x，后对 y 或先对 y，后对 x 的累次积分22 【正确答案】 该微分方程所对应的齐次方程为 分离变量得
11、lny=lnx+C1=lnCx， y=0 的通解为 y=Cx，设原方程所对应的通解为 y=C(x)x，y=C(x)x+C(x)，代入原方程得 C(x)x+C(x)一 .xC(x)=xsinx，C(x)=sinx，C(x)=sinxdx= cosx+C 2，原方程的通解为 y=(cosx+C 2).x【试题解析】 本题先解对应的齐次方程，然后将所得通解中的 C 换成 C(x)，代入非齐次方程确定 C(x)进而求得所求通解23 【正确答案】 方程组的系数行列式 =( 一 1)3(+1)，当 一 1 且 1时方程组只有零解；当 =1 时有无穷多解，通解为 (kR)；当 =1时有无穷多解，通解为 (k
12、1，k 2R)【试题解析】 本题通过分类讨论方程组的系数行列式 D=0 或 D0来判定解的情况四、综合题24 【正确答案】 如图所示，设 BD=x，铁路的运费为 3a 元km ，总运费为 y元根据题意有 y=5a +3a(100 一 x)(0x100)，y=5a 3a=0解得 x=15由于只有唯一的驻点，依题意知 x=15 为所求，所以 D 点应修建在距 B 处 15km 处【试题解析】 本题主要考查的知识点是利用导数研究函数特性的方法，解题关键是正确列出函数的关系式，再求其极值25 【正确答案】 由于所截得的形体是一个曲顶直柱体，其曲顶为 z=3xy，而其底为 因此，由二重积分的几何应用可得【试题解析】 本题考查二重积分的计算，化二重积分为累次积分即可求解五、证明题26 【正确答案】 构造函数 f(x)=ln(1+x)一 则 f(0)=0，f(x)=0(x0)，即 f(x)在(0，+)上单调递增，所以当 x0 时，恒有 ln(1+x) 由定积分性质有 ln(1+x)dx dx【试题解析】 本题考查定积分的性质通过构造函数 f(x)=ln(1+x)一 ，证明x0 时，ln(1+x) 恒成立，根据定积分的性质得出原不等式成立
