1、四川省专升本（高等数学）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 下列命题中正确的有 ( )（A）若 x0 为 f(x)的极值点，则必有 f(x0)=0（B）若 f(x0)=0，则 x0 必为 f(x)的极值点（C）若 x0 为 f(x)的极值点，可能 f(x0)不存在（D）若 f(x)在(a，b)内存在极大值，也存在极小值，则极大值必定大于极小值2 当 x0 时，kx 是 sinx 的等价无穷小量，则 k= ( )（A）0（B） 1（C） 2（D）33 设 y=ln(12x)，则 y= ( )（A）（B）（C）（D）4 dx= ( )（A）一 1
2、（B）（C）（D）15 曲线 y=xsin ( )（A）仅有水平渐近线（B）既有水平渐近线又有垂直渐近线（C）仅有垂直渐近线（D）既无水平渐近线又无垂直渐近线6 过原点且与平面 2xy+3z+5=0 平行的平面方程为 ( )（A）（B） =0（C） 2xy+3z=0（D）2x=y=3z7 dx= ( )（A） ln1 一 x2+C（B） ln1 一 x2+C（C） ln1 一 x2+C（D）一 ln1 一 x2+C8 设 D=(x， y)x 2+y2a2，a 0)，在极坐标下二重积分 e 一 x2 一 y2dxdy 可以表示为 ( )（A） re 一 r2dr（B） re 一 r2dr（C）
3、re 一 r2dr（D） e 一 r2dr9 设 A 为三阶矩阵，A=2，其伴随矩阵为 A*，则(A *)*= ( )（A）2A（B） 4A（C） 8A（D）16A10 微分方程 y+ 满足初始条件 y x=1=0 的特解为 ( )（A）y= (lnx+1)（B） y= lnx（C） y= (lnx 一 1)（D）y= lnx二、填空题11 设方程 y=1+xey 确定了 y 是 x 的隐函数，则 dy=_12 设某商品的需求函数为 Q=f(P)=12 一 P，则 P=6 时的需求弹性为_13 幂级数 的收敛半径为_14 已知 f(x)f(y)dy=_15 已知 ，则 X=_三、解答题解答时应
4、写出推理、演算步骤。16 求极限17 计算 dx18 设 x2+y2+z24z=0，求19 求微分方程 xy+y=ex 满足初始条件 y x=1=e 的特解20 判定级数 的收敛性!若收敛，是绝对收敛，还是条件收敛?21 已知直线 l： ，若平面 过点 M(2，9，5)且与 l 垂直，求平面 的方程22 计算二重积分 dxdy，其中区域 D 为 y=0，y=x 以及 x=1 所围成的区域23 解线性方程组四、综合题24 有一边长为 48 厘米的正方形铁皮，四角各截去一个大小相同的正方形，然后将四边折起做成一个方形无盖容器，问截去的小正方形的边长多大时，所得容器的容积最大?25 求由曲线 y=l
5、nx，x=e 与 y=0 所围成的封闭平面图形绕 x 轴，y 轴旋转所得到的两个旋转体体积 Vx，V y五、证明题26 试证：arctanb 一 arctanab 一 a四川省专升本（高等数学）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 C【试题解析】 极值的必要条件：设 y=f(x)在点 x0 处可导，且 x0 为 f(x)的极值点，则 f(x0)=0，但反之不一定成立故选 C2 【正确答案】 B【试题解析】 由等价无穷小量的概念，可知 =1，从而k=1，故选 B 也可以利用等价无穷小量的另一种表述形式，由于当 x0 时，有sinxx，
6、由题设知当 x0 时，kx sinx，从而 kxx，可知 k=13 【正确答案】 B【试题解析】 4 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查定积分的运算 故选 C5 【正确答案】 A【试题解析】 因为 所以曲线有水平渐近线 y=1，但没有垂直渐近线6 【正确答案】 C【试题解析】 已知平面 1：2xy+3z+5=0 的法向量 n1=(2，一 1，3)，所求平面1，则平面 的法向量 nn1，可以取 n=n1=(2，一 1，3)由于所求平面过原点，由平面的点法式方程，得 2xy+3z=0 为所求平面方程7 【正确答案】 B【试题解析】 ln1 一 x2+C8 【正确答案】 B【试题解析】 因为 D
7、：x 2+y2a2，a0，令 则有r2a2， 0ra，02，所以 rer2dr故选 B9 【正确答案】 A【试题解析】 因为A.A *=A n，所以A *=A n1 =4，且AA 1 =A*，所以 A=(A*)1 ，故(A *)*=(A*)1 .A *= .A.4=2A10 【正确答案】 D【试题解析】 由一阶线性微分方程的通解公式有由初始条件 y x=1 =0，得 C=0，故所求特解为 y= lnx二、填空题11 【正确答案】 dx【试题解析】 由 y=1+xey 得 y=ey+xeyy，移项化简可得 y= ，则dy= dx12 【正确答案】 【试题解析】 将 P=6 代入得13 【正确答案
8、】 【试题解析】 因为级数为 ，所以用比值判别法有当 1 时收敛，即 x22收敛区间为 ，故收敛半径 R=14 【正确答案】 2【试题解析】 因为 f(x)dx=，所以 f(y)dy=(f(x)dx)2=215 【正确答案】 【试题解析】 因为矩阵 可逆，所以由 ，可得 X=，即三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。16 【正确答案】 【试题解析】 此极限是“.(一)” 的不定型而已知(a 一 b)(a2+ab+b2)=a3 一 b3，所以分子、分母同乘 后分式变为“ ”型又根据当n时，分母的次数高于分子的次数，所以所求极限为零17 【正确答案】 令 t=lnx，则 dt= dx =ln(ln
9、x)+C也可以利用凑微分法计算： =ln(lnx)+C【试题解析】 本题考查的知识点是不定积分的换元积分运算本题中出现的主要问题是不定积分运算丢掉任意常数 C dlnx=ln(lnx)+C18 【正确答案】 设 F(x，y，z)=x 2+y2+z2 一 4z，则 Fx=2x， F y=2yx， F z=2z 一4，故 从而【试题解析】 解这样一个二元函数隐函数求偏导数的题型首先要设 F(x，y，z)=x2+y2+z2 一 4z，然后要掌握公式：19 【正确答案】 所给方程为一阶线性微分方程，将其化为标准方程将初始条件 y x=1=e 代入上式，可得 C=0，故 y=为所求的特解【试题解析】 将
10、方程化为标准形式，先求出微分方程的通解，冉利用初始条件求出特解20 【正确答案】 所给级数是任意项级数，不是交错级数由于又由于 的 p 级数，因而收敛由正项级数的比值判别法可知 收敛，从而 绝对收敛【试题解析】 这是一道任意项级数判断敛散性的题，首先清楚如果给了一个任意项级数 (一 1)nan 那么先看看 (一 1)nan是否收敛如收敛，则原级数(一 1)nan 绝对收敛如 (一 1)nan发散，但原级数 (一 1)nan 收敛，则称(一 1)nan 条件收敛21 【正确答案】 由题意可知，直线 l 的方向向量 s=(3，4，一 7)必定平行于所求平面 的法向量 n，因此可取n=s=(3，4，
11、一 7)利用平面的点法式方程可知3x 一(一 2)+4(y 一 9)一 7(z 一 5)=0，即 3(x+2)+4(y 一 9)一 7(z 一 5)=0为所求平面方程或写为一般式方程：3x+4y 一 7z+5=0【试题解析】 由直线的方向向量可以确定平面的法向量，进而求出平面的点法式方程22 【正确答案】 由于 有唯一解 x=1，y=1 ，对应点(1，1)作直线平行于 y轴与区域 D 相交，沿 y 轴正方向看，入口曲线为 y=0，出口曲线为 y=x，因而0yx又由于在 D 中 0x1，于是sinxdx=1 一 cos1【试题解析】 积分区域 D 的图形如图所示积分区域 D 较简单，但是如果先对
12、 x积分，则遇到 dx 不能用初等函数表示出来，即不可积分因此应该考虑先对 y 积分，后对 x 积分的次序23 【正确答案】 对增广矩阵 施行初等行变换由第一和第二行分别减去第三行的 5 倍和 2 倍，然后把第三行换到第一行的位置，再把新矩阵的第二行和第三行互换位置得 ，由第二行减去第三行的 2倍得 ，虽然我们还没有把增广矩阵化成最简的形式，但已可看出，相当于最后矩阵的线性方程组中的一个方程是 0=5，所以原方程无解【试题解析】 通过对增广矩阵施行初等行变换，把矩阵化成最简的形式四、综合题24 【正确答案】 设截下的小正方形的边长为 z 厘米，则正方体容器的底边长为482x，高为 x，容积为
13、V(x)=(482x) 2x，其中 x 的变化范围是 0x24 V(x)=(482x)(486x)，令 V(x)=0，得驻点坐标 x=8， x=24(舍去) V(x)=24x 384， V(8)=1920，所以 x=8 是唯一的极大值点，也是最大值点，最大值是 V(8)=8192 答：当截去的小正方形的边长是 8 厘米时，容器的容积达到最大，此时容积是 8192 立方厘米【试题解析】 本题考查实际问题中的求最值问题根据题意写容器容积的函数关系式，通过求导，计算最值 25 【正确答案】 曲线 y=lnx，x=e 与 y=0 所围成的封闭平面图形如图所示由于当 x=1 时，lnx=ln1=0，可知
14、图形中 x 的变化范围为1，e 由于 y x=1=0， y x=e=lne=1，可知图形中 y 的变化范围为 0，1 由y=lnx 可知 x=ey，因此由旋转体体积公式知 Vx= ln2xdx，V y= (e2一 e2y)dy从而有 Vy=(e2 一 e2y)dy= (e2+1)【试题解析】 本题考查的是利用定积分计算旋转体体积五、证明题26 【正确答案】 对于所给不等式，可以认定为函数的增量与自变量的增量之间的关系因此可以设 y=f(x)=arctanx，不妨设 ab，则 y=arctanx 在闭区间a，b上连续，在开区间(a，b)内可导进而可知，y=arctanx 在a，b上满足拉格朗日中值定理条件，因此必定存在点 (a，b)。使得 f(b)f(a)=f()(ba)由于(arctanx)=从而有 arctanbarctana= (a b)，arctanb 一 arctana= b 一a由于 1+21，因此 arctanb 一 arctana b 一 a【试题解析】 由于拉格朗日中值定理描述了函数的增量与自变量的增量及导数在给定区间内某点值之间的关系，因而微分中值定理常可用来证明某些有关可导函数增量与自变量的增量，或它们在区间内某点处函数值有关的等式与不等式
