1、四川省专升本（高等数学）模拟试卷 4 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 函数 y= 的定义域是 ( )（A）(一 1，+)（B） 一 1，+)（C） (一 1，0)(0，+)（D）一 1，0) (0，+)2 当 x时，函数 f(x)与 是等价无穷小量，则 2xf(x)= ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）43 定积分 (2x+1)99dx= ( )（A）（B）（C）（D）4 设 z=xy+y，则 = ( )（A）e+1（B） +1（C） 2（D）15 设函数 f(x)=sinx，则不定积分 f(x)dx= ( )（A）sinx+C（B） cosx+
2、C（C）一 sinx+C（D）一 cosx+C6 已知数域 F 上的向量 1， 2， 3 线性无关，下列不正确的是 ( )（A） 1， 2 线性无关（B） 2， 3 线性无关（C） 1， 3 线性无关（D） 1， 3 线性相关7 设有直线 l1： ，当直线 l1 与 l2 平行时， 等于 ( )（A）1（B） 0（C）（D）一 18 幂级数 的收敛半径及收敛域为 ( )（A）（B）（C）（D）9 微分方程 y+2y+y=0 的通解为 ( )（A）y=(C 1+C2x)ex（B） y=(C1+C2x)ex（C） y=(C1+C2)ex（D）y=(C 1+C2)ex10 设 A，B 均为 n 阶可
3、逆矩阵，则下列各式中不正确的是 ( )（A）(A+B) T=AT+BT（B） (A+B)1 =A1 +B1（C） (AB)1 =B1 A1（D）(AB) T=BTAT二、填空题11 设 y=x+ex，则 y=_12 xcosx2dx=_13 曲线 y=2x3 一 1 的拐点是_14 设二元函数 z=3x22xy+2y 2，则 =_15 行列式 D1= ，若 D1=D2，则 的取值为_三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。16 已知由方程 x2+y2=e 确定函数 y=y(x)，求17 计算 dx18 计算sin3xdx19 已知 z=cos ，y=e t，x=t 3+t，求 ，dz20 求过点
4、 M0(0，2，4)，且与两个平面 1， 2 都平行的直线方程，其中 1：x+y2z1=0， 2： x+2yz+1=0 21 求 y2y=2x 的通解22 判断级数 (a 0，ae)的敛散性23 解线性方程组四、综合题24 某工厂要制造一个无盖的圆柱形发酵池，其容积是 立方米，池底的材料为 30元平方米， 池壁的材料为 20 元平方米，问如何设计，才能使成本最低?最低成本是多少元?25 用二重积分计算由曲面 z=x2+y2 和 z= 所围成的几何体的体积五、证明题26 设函数 f(x)在一 a，a(a0)上连续，证明 f(x)+f(x)dx四川省专升本（高等数学）模拟试卷 4 答案与解析一、选
5、择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 D【试题解析】 由已知，应有 解得 x一 1 且 x02 【正确答案】 B【试题解析】 所给问题为无穷小量的比较问题由于 =1，因此 2xf(x)=23 【正确答案】 D【试题解析】 令 t=2x+1，则 dt=2dx，dx= dt当 x= 时，t=0；当 x=0 时，t=1，因此 说明 使用定积分的换元法时，积分区间必须作相应变化4 【正确答案】 A【试题解析】 因为 =elne+1=e+1故选 A5 【正确答案】 A【试题解析】 由不定积分的性质“先求导后积分，相差一个常数”可知选项 A 正确6 【正确答案】 D【试题解
6、析】 因为 1， 2， 3 线性无关，则 1 与 2， 1 与 3， 2 与 3 均线性无关7 【正确答案】 C【试题解析】 直线 其方向向量 s 1=(1，2，)，s2=(2， 4，1)若 l1l 2，则 可知应选 C8 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查了幂级数的收敛半径及收敛域的求解设 un(x)= ，因为 =2x2，所以收敛半径 R= 时，级数收敛，故收敛域为9 【正确答案】 B【试题解析】 微分方程的特征方程为 r2+2r+1=0，解得 r=1，为二重根，由通解公式可知其通解为 y=(C1+C2x)ex 故选 B10 【正确答案】 B【试题解析】 (A+B)(A 1 +B1 )=
7、E+AB1 +BA1 +E，不一定是单位矩阵，故 B 不正确二、填空题11 【正确答案】 1+e x【试题解析】 本题考查的知识点为导数的四则运算y=(x+e x)=x+(ex)=1+ex12 【正确答案】 0【试题解析】 本题考查定积分的对称性由于积分区间一 1，1关于原点对称，被积函数 xcosx2 为奇函数，因此 xcosx2dx=013 【正确答案】 (0，一 1)【试题解析】 本题考查二阶导数计算及拐点的定义y=6x 2，y=12x，当 x0 时，y 0；当 x0 时，y0，则拐点是(0，一 1)14 【正确答案】 -2【试题解析】 =215 【正确答案】 1，1【试题解析】 本题考
8、查行列式的计算经计算得 D1=(+1)(一 1)2，D 2=0若D1=D2，则(+1)( 一 1)2=0，于是 =1，或 =1三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。16 【正确答案】 在 x2+y2=e 两侧关于 x 求导数，得 2x+2yy=0，y=【试题解析】 此题是隐函数求导数的题，且同时检查了反函数的导数等于原函数导数的倒数17 【正确答案】 令 t= ，x=t 2，dx=2tdt当 x=4 时，t=2 ；当 x=9 时，t=3则有=2(cos2cos3)【试题解析】 本题采用凑微分法即=2(cos3cos2)=2(cos2 cos3)，也可采用下面的方法来解18 【正确答案】 设 t
9、=3x，则dt=3dx =cos3x+C【试题解析】 可以利用换元法，也可以利用直接凑微分法求不定积分19 【正确答案】 由于 而 因此进而【试题解析】 此题可将 x=t3+t，y=e t 直接代入 z=cos ，然后利用一元复合函数求导法，即 z=cos当然也可采用下面方法20 【正确答案】 如果直线 l 平行于 1，则平面 1 的法向量 n1 必定垂直于直线 l 的方向向量 s同理，若直线 l 平行于 2，则平面 2 的法向量 n2 必定满足 n2s由向量积的定义可知，取 s=n1n2= =3i 一 j+k由于直线 l 过点M0(0，2，4)，由直线的标准方程可知 为所求直线方程【试题解析
10、】 本题考查直线方程的求解据题意可求出直线的方向向量，进而求出直线的点向式方程21 【正确答案】 y一 2y=2x 为二阶常系数非齐次线性微分方程，与之相对应的齐次线性微分方程为 y一 2y=0，特征方程为 r 2 一 2r=0特征根为 r 1=0，r 2=2相应齐次微分方程的通解为 =C1+C2e2x而 =0 为单一特征根，故可设 y*=x(Ax+B)为原方程特解，把(y *)=2Ax+B，(y *)=2A 代入原方程可得A=B= x(x+1)故 y=C1+C2e2x x(x+1)为所求通解【试题解析】 本题考查二阶常系数非齐次线性微分方程，求出 y一 2y=0的通解和 y一 2y=2x的一
11、个特解即可22 【正确答案】 令 un= ，由于故有当 1，即 ae 时，该级数收敛；当 1，即 a e 时，该级数发散【试题解析】 这是一个正项级数，用正项级数比值判别法判定即可23 【正确答案】 方程组的系数矩阵与增广矩阵分别为它们的秩分别为 r(A)=2，r(B)=2，所以方程有无穷多组解因为 0，所以由方程组的第一个和第二个方程解出 x1，x 2 得x1=34+11x3，x 2=125x 3，或写成 x 1=34+11t，x 2=125t，x 3=t，其中 t 为参数【试题解析】 本题考查线性方程组的求解通过对增广矩阵进行初等行变换后，再进行求解即可四、综合题24 【正确答案】 设池底
12、半径为 r，池高为 h(如图所示)，则 r2h=又设制造成本为 S，则 S=30.r2+20.2rh=30.r2+20.2r. =30(r2+ )，S=30(2r 一 )令 S=0，得驻点 r=1因为 S=30(2+ )0，所以，r=1 为唯一的极小值点，即为最小值点因此，池底半径为 1 米，高为 米时，可使成本最低，最低成本为 90 元【试题解析】 本题考查的知识点是应用导数求实际问题的极值所谓“成本最低”，即求制造成本函数在已知条件下的最小值因此，本题的关键是正确写出制造成本函数的表达式，再利用已知条件将其化为一元函数，并求其极值25 【正确答案】 已知曲面的极坐标方程分别为 z=r2，z=r，D：0r1，02【试题解析】 本题考查的知识点是应用二重积分求几何体的体积五、证明题26 【正确答案】 f(x)dx对于 f(x)dx，令 x=t，则 所以【试题解析】 本题利用定积分的性质证明等式成立
