1、四川省专升本（高等数学）模拟试卷 5 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 等于 ( )（A）1（B） 3（C）（D）02 函数 y=x2 一 x+1 在区间 一 1，3上满足拉格朗日中值定理的 等于 ( )（A）（B） 0（C）（D）13 设 f(x)= ，则f(x)dx 等于 ( )（A）（B）（C） +C（D） +C4 设函数 f(x)=x(x1)(x2).(x 2015)，则 f(0)等于 ( )（A）一 2015（B） 2015（C）一 2015!（D）2015!5 设 a=(一 1，1，2)，b=(3，0，4) ，则向量 a 在向量 b 上的投影
2、为 ( )（A）（B） 1（C）（D）一 16 cos(2x1)dx= ( )（A）sin(2x 一 1)+C（B） sin(2x1)+C（C）一 sin(2x1)+C（D） sin(2x1)+C7 过点 M(1，2，一 1)，且与直线： 垂直的平面方程是 ( )（A）x3yz+4=0（B） x3y+z+6=0（C） x+3y+z6=0（D）x+3yz 8=08 设 A 为 n 阶矩阵，J 为 n 阶单位矩阵，若 A2=0，则 (IA) 1 = ( )（A）IA 1（B） IA（C） I+A1（D）I+A9 设幂级数 anxn 在 x=2 处收敛，则该级数在 x=1 处 ( )（A）发散（B）
3、条件收敛（C）绝对收敛（D）收敛性不能确定10 设 y1，y 2 是二阶线性常系数微分方程 y+py+qy=0 的两个特解，则 C1y1+C2y2 ( )（A）是所给方程的解，但不是通解（B）是所给方程的解，但不一定是通解（C）是所给方程的通解（D）不是所给方程的通解二、填空题11 设曲线 y=f(x)在点(1，f(1)处的切线平行于 x 轴，则该切线方程为_12 ex dx=_13 直线 l： 的方向向量为_ 14 若级数 un 收敛于 s，则 un 收敛于_ 15 设矩阵 A= ，且秩(A)=3，则 k=_三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。16 求曲线 y= 在点(1，1) 处的切线方
4、程17 计算18 设 y=ln19 设区域 D：0x1，1y2，求 dxdy20 判定 的敛散性21 求微分方程 y+ 满足初始条件 y x=1=0 的特解22 解线性方程组23 求函数 f(x，y)=4(xy)一 x2 一 y2 的极值点与极值四、综合题24 一张 14m 高的图片挂在墙上，它的底边高于观察者的眼睛 18m ，问观察者在距离多远处看图才最清楚(即视角 最大)?25 求 y= ， x 轴及 x=1 所围图形的面积 A 及其分别绕 x 轴，y 轴的旋转体体积Vx 和 Vy五、证明题26 设函数 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，且 f(1)=1，证明：在(0，1)内至
5、少存在一点 ，使得 f()+f()2=0 成立四川省专升本（高等数学）模拟试卷 5 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查的知识点为重要极限公式 =3可知应选 B2 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查的知识为拉格朗日中值定理的条件与结论由于 y=x2 一x+1 在 一 1，3上连续，在(一 1，3)内可导，可知 y 在一 1，3上满足拉格朗日中值定理又由于 y=2x 一 1，因此必定存在 (一 1，3)，使 f(3)一 f(一 1)=(2 一 1)3 一(一 1)，即 73=(2 一 1).4，解得 =1可知应选 D3
6、 【正确答案】 C【试题解析】 根据不定积分的性质得f(x)dx=f(x)+C= +C故选 C4 【正确答案】 C【试题解析】 由导数的定义得 f(0)= (x1)(x2).(x2015)=(一1)20152015!=2015! 5 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查平面向量的数量积与投影向量a 在向量 b 上投影为acos a，b= =16 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查的知识点为不定积分换元积分法cos(2x 一 1)dx= cos(2x 一 1)d(2x 一 1)= sin(2x 一 1)+C因此选 B7 【正确答案】 A【试题解析】 已知直线的方向向量(1，3，1)就是所求
7、平面的法向量，由点法式平面方程得所求平面方程为一(x 一 1)+3(y 一 2)+(z+1)=0，即 x 一 3yz+4=08 【正确答案】 D【试题解析】 (IA)(I+A)=I 2 一 A2=I，选项 D 正确9 【正确答案】 C【试题解析】 幂级数 anxn 的收敛半径最小值等于 2，由于12，故该级数在 x=1 处绝对收敛10 【正确答案】 B【试题解析】 当 y1，y 2 线性无关时，C 1y1+C2y2 是方程 y+py+qy=0 的通解；当y1，y 2 线性相关时，不是通解，故应选 B二、填空题11 【正确答案】 y=f(1)【试题解析】 因为曲线 y=f(x)在(1，f(1)处
8、的切线平行于 z 轴，所以 f(1)=0，即斜率 k=0，则此处的切线方程为 yf(1)=0(x 一 1)=0，即 y=f(1)12 【正确答案】 1 一 e1【试题解析】 利用凑微分法 =1 一 e1 13 【正确答案】 (一 2，1，2)【试题解析】 直线 l 的方向向量为 s=(1，2，0)(0，2，一 1)= =(一2，1，2) 14 【正确答案】 s 一 u1【试题解析】 因为 un 收敛于 s 一 u115 【正确答案】 一 3【试题解析】 由A=0 入手求 k 的值因为 A= =(k+3)(k 一 1)3，所以由A=0 得 k=1 和一 3当 k=1 时，A= ，它的秩为 1，不
9、合题意；当 k=3 时，A= ，由于A有不为零的三阶子式，所以 r(A)=3，因此 k=3三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。16 【正确答案】 由于 y= 所以 因此曲线 y= 在点(1， 1)处的切线方程为 y 一 1= (x 一 1)，或写为 x 一 2y+1=0【试题解析】 本题考查的知识点为曲线的切线方程17 【正确答案】 令 t= ，则 x=t2，dx=2tdt当 x=1 时，t=1 ；当 x=4 时，t=2于是 =2(e2 一 e)【试题解析】 本题考查定积分的计算可以利用换元积分法或凑微分法进行计算，注意换元时要将积分上、下限也随之变换18 【正确答案】 令 y=lnu，u=
10、 ，则所以【试题解析】 本题考查复合函数的求导可利用链式法则求解19 【正确答案】 dy=1如果利用二重积分的几何意义，可得dxdy 的值等于区域 D 的面积，由于 D 是边长为 1 的正方形，可知其面积为 1，因此 dxdy=1【试题解析】 本题考查的知识点为二重积分的计算20 【正确答案】 设 un= 为公比 r=的几何级数，因此为收敛级数而 为公比，r= 的几何级数，因此为收敛级数，进而知 收敛，故 收敛【试题解析】 ，因为 1，即这两个正项级数都是公比小于 1 的几何级数，因此上述级数收敛21 【正确答案】 y=e p(x)dx (Q(x)ep(x)dxdx+C) 由y x=1=0 0
11、=C，故所求特解为 y= 【试题解析】 一阶非齐次线性方程 y+p(x)y=Q(x)的通解为 y=Cep(x)dx +ep(x)dxQ(x)ep(x)dxdx，根据通解在 y x=1=0 的条件下求出 C 的值，即可得出所求特解22 【正确答案】 因为 r(A)=2，r(B)=3 ，r(A)r(B)，所以方程组无解【试题解析】 设该方程组的系数矩阵为 A，增广矩阵为 B，用初等行变换将方程组的增广矩阵化为阶梯形，判断方程组是否有解23 【正确答案】 f(x ，y)=4(xy)一 x2 一 y2， =42x =42y令=0，得 解得唯一的驻点为(2，一 2)=2A= 2，B=0 ，C= 2由 A
12、CB2=40 且A=20，知(2，一 2)是 f(x，y)的极大值点，极大值为 f(2，一 2)=4(2+2)一 44=8【试题解析】 本题考查二元函数的极值问题四、综合题24 【正确答案】 设观察者与墙的距离为 xm，则令 =0，得驻点x=24 (0，+)根据问题的实际意义，观察者最佳站位存在，驻点又唯一，因此观察者站在距离墙 24m 处 看图最清楚【试题解析】 本题为利用导数求最值问题25 【正确答案】 A= Vx=(1 一 y4)dy=.【试题解析】 就一般情况而言，如果有两条曲线 y=f(x)，y=g(x)( 假设 f(x)g(x)与x=a，x=b(ab)所围成的平面绕 z 轴旋转一周后所成的旋转体的体积公式为： V=f2(x)一 g2(x)dx五、证明题26 【正确答案】 设 F(x)=xf(x)x 2， 因为 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导， 所以 F(x)在0，1 上连续，在 (0，1) 内可导， 又 f(1)=1， F(0)=0.f(0)0 2=0，F(1)=1.f(1)一 12=0， 即 F(0)=F(1)， 故在(0，1)内至少存在一点 ，使 F()=0， 即 f()+f()一 2=0 成立【试题解析】 设 F(x)=xf(x)一 x2，得出 F(0)=F(1)，即可求解
