1、四川省专升本（高等数学）模拟试卷 6 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 当 x0 时， 与 1cosx 比较，可得 ( )（A） 是较 1cosx 高阶的无穷小量（B） 是较 1cosx 低阶的无穷小量（C） 与 1cosx 是同阶无穷小量，但不是等价无穷小量（D） 与 1cosx 是等价无穷小量2 设函数 f(x)= 在 x=0 处连续，则 a 等于 ( )（A）2（B）（C） 1（D）一 23 设 y=f(x)在(a ，b) 内有二阶导数，且 f(x)0，则曲线 y=f(x)在(a，b)内 ( )（A）凹（B）凸（C）凹凸性不可确定（D）单调减少4
2、等于 ( )（A） +C（B） +C（C）一 cotx+C（D）cotx+C5 设有直线 ，则该直线 ( )（A）过原点且垂直于 x 轴（B）过原点且垂直于 y 轴（C）过原点且垂直于 z 轴（D）不过原点也不垂直于坐标轴6 设 z=x2y2+3x，则 = ( )（A）2xy 2+2x2y+3（B） 4xy2+3（C） 2xy2+3（D）2xy 2+2x2y7 设区域 D：x 2+y2a2(a0)，y0，则 x2dxdy 化为极坐标系下的二重积分的表达式为 ( )（A） r3cos2dr（B） r3cos2dr（C） r2cos2dr（D） r3cos2dr8 幂级数 anxn 在点 x=3
3、处收敛，则级数 (一 1)nan ( )（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）收敛性与 an 有关9 已知 y1=ex，y 2=xex 为微分方程 y+py+qy=0 的解，则 ( )（A）p=2，q=1（B） p=1，q=1（C） p=3，q=2（D）p，q 不能确定10 设 A 为 3 阶矩阵，A=1，则2A T= ( )（A）一 8（B）一 2（C） 2（D）8二、填空题11 设 f(x+1)=4x2+3x+1，g(x)=f(e x )，则 g(x)=_12 =_13 若函数 f(x)= 在点 x=0 处连续，则 a=_14 级数 的收敛区间为_15 微分方程 y+y+y=0 的通
4、解为_三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。16 计算17 计算 xlnxdx18 设 z=f(u，v)，而 u=x2y，v= ，其中 f(u，v)存在偏导数，求19 求不定积分20 计算二重积分 ydxdy，其中 D 为曲 x=y2+1 与直线 x=0，y=0，y=1 所围成的区域21 求微分方程 y+y一 2y=0 的通解22 将函数 f(x)= 展开成 x1 的幂级数，并指出其收敛区间，23 已知非齐次线性方程组 有三个线性无关的解(1)证明方程组的系数矩阵 A 的秩 r(A)=2；(2)求 a，b 的值及方程组的通解四、综合题24 设平面图形是由曲线 y= 和 x+y=4 围成的，求此
5、平面图形绕 z 轴旋转而成的旋转体的体积 Vx25 求曲线 y=lnx 在区间(2 ，6) 内的一点，使该点的切线与直线 x=2，x=6 以及y=lnx 所围成的平面图形面积最小五、证明题26 已知 f(x)连续，证明 f(u)dudt四川省专升本（高等数学）模拟试卷 6 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为 =，所以是 1 一 cosx 的低阶无穷小量故选 B2 【正确答案】 C【试题解析】 由于 =1，f(0)=a，f(x)在点 x=0 连续，因此 f(x)=f(0)，故 a=1，应选 C3 【正确答案】 A【试题解析】
6、 由于 y=f(x)在(a，b)区间内有 f(x)0，可知曲线 y=f(x)在(a ，b)内为凹的，因此选 A4 【正确答案】 C【试题解析】 由 dx=cotx+C 可知应选 C5 【正确答案】 B【试题解析】 将原点坐标(0，0，0)代入方程，等式成立，则直线过原点；由于所给直线的方向向量 s=(1，0，2)，而 y 轴正方向上的单位向量 j=(0，1，0)，s.j=10+01+(2)0=0因此 sj，即所给直线与 y 轴垂直故选 B6 【正确答案】 A【试题解析】 由于 z=x2y2+3x，所以=2xy2+3+2x2y7 【正确答案】 B【试题解析】 因为 D：x 2+y2a2(a0)，
7、y0，所以令 且0ra，0 ，则 r3cos2dr8 【正确答案】 A【试题解析】 因为 anxn 在 x=3 处收敛，即a n ，所以由常数级数中几何级数 q= 1，知 (一 1)nan 是绝对收敛的故选 A9 【正确答案】 A【试题解析】 由 y1=ex，y 2=xex 知，微分方程 y+py+qy=0 的特征方程 r2+pr+q=0的解是两个相等的实根 1=2=1，故 p=2，q=110 【正确答案】 A【试题解析】 2A T=(一 2)3A T=8A= 8，故选择 A二、填空题11 【正确答案】 8e 2x +5ex【试题解析】 f(x)=4(x 1)2+3(x1)+1=4x 25x+
8、2 ， g(x)=4e2x 一 5ex +2，则g(x)=8e 2x +5ex 12 【正确答案】 e【试题解析】 本题考查的知识点为极限的运算注意 可以变形，化为(1+ 3 形式的极限13 【正确答案】 一 1【试题解析】 =1，a= 114 【正确答案】 (，+)【试题解析】 因为= = =0，所以 R=，即收敛区间为(一 ，+)15 【正确答案】 y= (其中 C1，C 2 为任意常数)【试题解析】 特征方程为 r2+r+1=0，解得所以通解为(其中 C1，C 2 为任意常数)三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。16 【正确答案】 解法一 利用洛必达法则： 解法二 利用等价无穷小量代换
9、：当 x0 时，e x 一 1x，可得【试题解析】 本题考查的知识点为利用洛必达法则求“ ”型极限，或利用等价无穷小量代换简化求极限运算17 【正确答案】 (e2+1)【试题解析】 本题考查定积分的计算，可利用分部积分法18 【正确答案】 由复合函数的链式法则得 由于所给 z=f(u，v)为抽象函数，而 于是【试题解析】 本题考查的是抽象函数求偏导数的方法题中已给出u=x2y，v= ，所以直接利用复合函数求偏导的链式法则即可19 【正确答案】 令 1+ex=t， 则 dt=e xdx=(t 一 1)dx，dx=【试题解析】 本题主要考查求不定积分的方法之一换元法的应用设 x=(t)是单调可导函
10、数，(t)0，又设 f(t)(t)有原函数，则有换元公式f(x)dx=f(t)(t)dt利用不定积分公式即可求解20 【正确答案】 作出积分区域 D 的草图，如图所示，则积分区域可以用不等式0xy2+1，0y1 表示，故【试题解析】 解二重积分最好先根据题中所给的区域 D 画出草图，以便定出积分上、下限注意此题只能先对 x 积分21 【正确答案】 方程的特征方程为 r2+r 一 2=0，可解得特征根为 r1=2，r 2=1， 所以微分方程的通解为 y=C1e2x +C2ex【试题解析】 本题考查求二阶常系数齐次线性微分方程的通解22 【正确答案】 由于的收敛区间 =(2，4)， (一 1)n.
11、 的收敛区间 =(一 1，3) ，所以 f(x)的收敛区间为(一1，3)【试题解析】 然后将上式右边逐项展开即可23 【正确答案】 (1)容易看到 r(A)2，此外，由于所给的非齐次线方程组有三个线性无关的解，记为 1， 2， 3，则 1 一 2， 1 一 3 是对应的导出组的解，且线性无关由此可知，导出组的基础解系中至少包含两个线性无关的特解，从而 r(A)42=2因此 r(A)=2(2)对系数矩阵 A 施行初等行变换：于是，由 r(A)=2 得 解之得 a=2，b=3对 a=2，b=3 的增广矩阵 B 施行初等行变换：由此可知，导出组有基础解系(一 2，1，1，0) T，(4，一 5，0，
12、1) T，此外，非齐次线性方程组有解(2，一 3，0，0) T，所以所给非齐次线性方程组的通解为(x1，x 2，x 3，x 4)T=C1(一 2，1，1，0) T+C2(4，一 5，0，1) T+(2，一 3，0，0) T，其中，C 1，C 2 是任意常数【试题解析】 本题加在方程组上的条件为“有三个线性无关的解”，要求确定的是“a，b 的值及方程组的通解”四、综合题24 【正确答案】 由曲线 y= 和 x+y=4 围成的图形如图阴影部分所示求两条曲线的交点， 解方程 得交点 (1，3)与(3，1)于是【试题解析】 首先画出草图，求出交点后，利用体积公式计算求得结果25 【正确答案】 如图所示
13、，设曲线 y=lnx 在区间(2，6)内一点为 x0，所围面积为S(x0)，则过点(x 0，lnx 0)的切线方程为 ylnx0= (xx0)，即 y=lnx0 一 1+ 故令 S(x0)=0，得 x0=4又因为当 x4 时，S(x 0)0，当x4 时，S(x 0)0，所以 x0=4 为极小值点，根据题意也就是最小值点，故曲线y=lnx 在区间(2，6)内取点 x=4 时，使该点的切线与直线 x=2，x=6 及曲线 y=lnx 所围成的平面图形面积最小【试题解析】 设所求曲线 y=lnx 在区间(2，6)内的一点为(x 0，lnx 0)，即可表示出过该点的切线方程，画出图形，利用积分以及导数可求解五、证明题26 【正确答案】 【试题解析】 本题考查分部积分公式只需要将右侧被积函数整体 f(u)du 看成F(t)，然后再利用分部积分公式化简整理后就可等于左侧
