1、四川省专升本（高等数学）模拟试卷 9 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 下列命题正确的是 ( )（A）无穷小量的倒数是无穷大量（B）无穷小量是绝对值很小的数（C）无穷小量是以零为极限的变量（D）无界变量一定是无穷大量2 = ( )（A）0（B） 1（C）（D）一 13 方程 x3+2x2x2=0 在 3，2上 ( )（A）有 1 个实根（B）有 2 个实根（C）至少有 1 个实根（D）无实根4 设 z=x3ey2，则 dz= ( )（A）6x 2yey2dxdy（B） x2ey2(3dx+2xydy)（C） 3x2ey2dx（D）x 3ey2dy5 直线
2、 与平面 x+yz=2 的位置关系是 ( )（A）平行（B）直线在平面内（C）垂直（D）相交但不垂直6 若 f(x)dx=sin2，则 xf(x2)dx= ( )（A）sin2（B） 2sin2（C） sin2（D）7 设向量 a=j+3k，b= ，那么 ( )（A）ab（B） ab 且 a，b 同向（C） ab 且 a，b 反向（D）a 与 b 既不平行，也不垂直8 若幂级数 在点 x=2 处收敛，则实数 a 的取值范围是 ( )（A）(1 ，3（B） 1，3)（C） (1，3)（D）1 ，39 微分方程 =y2cosx 的通解是 ( )（A）y=Ccosx（B） y1 =Csinx（C）
3、y1 =C+sinx（D）y=Csinx10 设 A，B 是两个 n 阶方阵，若 AB=0，则必有 ( )（A）A=0 且 B=0（B） A=0 或 B=0（C） A=0 且B=0（D）A=0 或B=0二、填空题11 设 f(1)=2，则 =_12 函数 y=x3 一 2x+1 在区间 1，2上的最小值为_13 比较积分大小： lnxdx_ (lnx)3dx14 已知平面 ：2x+y 3z+2=0，则过原点且与 垂直的直线方程为_15 已知 f(0)=1，f(1)=2 ，f(1)=3，则 xf(x)dx=_三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。16 计算17 求由方程 siny+xey=0 确
4、定的曲线在点(0，) 处的切线方程18 设 f(x)为连续函数，且 f(x)=x3+3x f(x)dx，求 f(x)19 设函数 z=2cos2(x y)，求20 计算 (x+y)dx+(yx)dy，其中 L 是先沿直线从点(1，1)到点(1，2)，然后再沿直线到点(4 ，2)的折线21 将函数 f(x)=ln(1+x 一 2x2)展开为 x0=0 的幂级数22 求微分方程 y+4y+3y=9e3x 的通解23 a，b 分别取何值时，方程组 无解，有唯一解，有无穷多解?有解时，求出所有解四、综合题24 求 y=ex，y=sinx ，x=0 与 x=1 所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所成的旋
5、转体的体积 Vx25 将函数 f(x)= 展开成(x 一 1)的幂级数五、证明题26 证明：当 x1 时，lnx四川省专升本（高等数学）模拟试卷 9 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 C【试题解析】 A 项：无穷小量(除去零)的倒数是无穷大量B 项：无穷小量不是绝对值很小很小的数(除去零) C 项：无穷小量是以零为极限的变量D 项：无界变量不一定是无穷大量，但无穷大量是无界变量2 【正确答案】 A【试题解析】 =0，cosx 有界， =0(无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量)3 【正确答案】 C【试题解析】 设 f(x)=x3+2x2 一
6、x 一 2(x一 3，2) 因为 f(x)在区间一 3，2上连续， 且 f(3)= 80，f(2)=120， 由“零点定理 ”可知，至少存在一点 ( 3，2)，使 f()=0， 所以方程在 一 3，2上至少有 1 个实根4 【正确答案】 B【试题解析】 公式法因为 =3x2ey2 =x3.ey2.2y=2x3yey2，所以dz= dy=3x2ey2dx+23x3yey2dy=x2ey2(3dx+2xydy)5 【正确答案】 A【试题解析】 由题意得直线过点(0，0，0)且直线的方向向量为(1，一 1，0)，平面的法向量为(1，1，1)，由(1，1，0)(1 ，1，1)=0 且点(0，0，0)不
7、在平面上可得直线与平面平行6 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查的知识点是定积分的概念和定积分的换元积分法换元时积分的上、下限一定要一起换因为 f(x)dx=sin2 更广义的理解应为 f(u)du=sin2，所以7 【正确答案】 C【试题解析】 由题意知 a=2b，则易判断 ab 且 a，b 反向8 【正确答案】 A【试题解析】 令 x 一 a=t， ，收敛半径 R=1，收敛域为 t1，1)，故的收敛域为a 一 1，a+1)2a 一 1，a+1)a 一12a+11a39 【正确答案】 B【试题解析】 y=0 是原方程的常数解，当 y0 时，原方程可化为 dy=cosxdx，积分得原方程的
8、通解为 y1 =Csinx10 【正确答案】 D【试题解析】 由 A= ，则 AB=0，所以选项 A，B 错误；若 AB=0，则 AB= AB=0，即A=0 或B=0 ，即选项 D 正确二、填空题11 【正确答案】 1【试题解析】 由导数定义有12 【正确答案】 0【试题解析】 y=3x 22，令其为 0，得驻点 x= 1，所以将 x=1，x=2 代入 y=x3 一 2x+1，得当 x=1 时，y 值最小，最小值为 013 【正确答案】 【试题解析】 因为在1，2上 lnx(lnx) 3，所以 (lnx)3dx14 【正确答案】 【试题解析】 已知平面 ：2x+y 一 3z+2=0，其法向量
9、n=(2，1，3)又知直线与平面 垂直，则直线的方向向量为 s=(2，1，3)，所以直线方程为15 【正确答案】 2【试题解析】 由题设有 f(x)dx=f(1)f(x) =f(1)f(1)+f(0)=32+1=2三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。16 【正确答案】 【试题解析】 利用等价无穷小量代换，当 x0 时，tanxx，sinx 4x 4，1 一cosx x217 【正确答案】 方程两边对 x 求导得 cosy.y+ey+xey.y=0，得 所以 故所求切线方程为 y 一 =e(x0)，即 ex 一 y+=0【试题解析】 本题主要考查如何求切线方程已知切线过定点，只需求出函数在该点
10、的导数值，即得切线的斜率，代入直线方程，进而求得切线方程18 【正确答案】 设 A= f(x)dx，则 f(x)=x3+3Ax将上式两端在0，1上积分，得因此 f(x)=x3 一 x【试题解析】 由于定积分 f(x)dx 存在，因此它表示一个确定的数值，设A= f(x)dx，则 f(x)=x3+3Ax这是解题的关键，为了能求出 A，可考虑将左端也转化为 A 的表达式，为此将上式两端在0，1上取定积分，可得 A=xdx，得出 A 的方程，可解出 A，从而求得 f(x)19 【正确答案】 z=2cos 2(x y)=1+cos(2xy)， =sin(2xy)，sin(2xy)=2cos(2xy)【
11、试题解析】 对 y 求偏导时，将 x 视为常数求二阶混合偏导数时，次序可以互换，如本题中先求 =2sin(2xy)， 一 2sin(2xy)=2cos(2xy)=20 【正确答案】 L 1 是先沿直线从点(1，1)到点(1 ，2)，L 1：x=1 ，y：12，L2 是沿直线点从 (1，2)到点(4，2)，L2：y=2，x：14，【试题解析】 本题考查对坐标曲线积分的计算21 【正确答案】 因为 1+x 一 2x2=(1+2x)(1x)，所以 ln(1+x 一 2x2)=ln(1+2x)+ln(1x)由 ln(1+x)= (一 1x1)。得 ln(1+2x)=ln(1 一 x)= (一 1x1)
12、，故【试题解析】 因为我们已知 ln(1+x)和 ln(1 一 x)的展开式，所以首先将 f(x)化成上述形式即 ln(1+x 一 2x2)=ln(1+2x)(1 一 x)=ln(1+2x)+ln(1 一 x)然后套用已知展开式这是间接展开的方法22 【正确答案】 特征方程：r 2+4r+3=0 r1=1， r2=3故对应的齐次方程y+4y+3y=0 的通解为 =C1ex +C2e3x ， 因为 a=3 是特征值，故可设特解为y*=Axe3x 因为 (y*)=Ae3x 一 3Axe3x ，(y *)=3Ae 3x 一 3(Ae3x 一 3Axe3x )=6Ae 3x +9Axe3x ，代入 y
13、+4y+3y=9e3x 得一 2Ae3x =9e3x 所以y*= xe3x 故所求通解为 y=C1ex +C2e3x xe3x 【试题解析】 本题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的求解求解二阶常系数非齐次线性微分方程 y+py+qy=f(x)的一般步骤：(1)先求出其相应的齐次方程通解 =C1y1+C2y2；(2)再求出它的一个特解 y*(3)y=C1y1+C2y2+y*即为所求方程的通解23 【正确答案】 增广矩阵讨论：(1)当 a0 时，继续初等行变换可化为 r(A)r(B)，无解(2)当 a=0 时，继续初等行变换可化为进一步讨论 b 的值当 a=0，b4 时，r(A)r(B)，无解当
14、a=0，b=4 时， r(A)=r(B)=25，有无穷多解，基础解系个数为 52=3，此时 自由未知量 x3，x 4，x 5，分别在对应的齐次方程组中代入(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0， 1)可解出导出组 AX=0 的基础解系： 为求 AX= 的一个特解，让自由未知量(x 3，x 4，x 5)=(0，0，0)可解出 x0=(6，一4，0，0，0) T于是此时非齐次线性方程组的通解为 x0+k1x3+k2x4+k3x5【试题解析】 本题考查利用初等变换求非齐次线性方程组的通解四、综合题24 【正确答案】 由图可知所求体积为 Vx=(1 一 cos2x)dx=sin2【试题解析】 解答本
15、题首先应画出0，1上 y=ex 和 y=sinx 的图象，确定积分变量，利用体积公式计算求得结果25 【正确答案】 因为 又 =1 一x+x2 x3+(1) nxn+(x1) ，所以【试题解析】 因为我们已知 的展开式，所以首先将 f(x)化成，然后套用已知展开式这是间接展开的方法五、证明题26 【正确答案】 先将不等式变形为(x+1)lnx2(x1)设 F(x)=(x+1)lnx2(x1)，则 因为当 x=1 时，F(1)=0，所以当 x1 时，只要证明 F(x)F(1)=0，即证 F(x)为单调递增函数即可由于当 x1 时，F(x)0，所以 F(x)为单调递增函数即当x1 时，F(x)F(1)=0由于 F(x)0，得 F(x)为单调递增函数，所以当x1，F(x)F(1)=0，即当 x1 时，(x+1)lnx2(x1)0所以当 x1 时，lnx 【试题解析】 通过构造函数 F(x)=(x+1)lnx2(x 1)，利用函数求导得出 F(x)F(1)=0，即证明不等式成立
