1、广东专插本（高等数学）模拟试卷 43 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 下列四组函数字 f()与 g()表示同一函数的是 ( )（A）f()tan，g() （B） f()ln 3，g()3ln（C） f() ，g() （D）f()ln( 21)，g() ln(1)ln( 1)2 当 0 时， 3sin 是 的 ( )（A）高阶无穷小（B）等价无穷小（C）同阶但不等价无穷（D）低阶无旁小3 设 f()在a，b上连续，在(a ，b)内可导，且 f(a)f(b)，则曲线 yf()在(a，b)内平行于 轴的切线 ( )（A）仅有一条（B）至少有一条（C）有两条（
2、D）不存在4 定积分 d ( )（A）0（B） 2（C）（D）5 级数 (c0， b0)收敛的条件是 ( )（A）ab（B） ab（C） ac （D）a b二、填空题6 已知 0 时，无穷小 1cos 与 asin2 等价，则 a_7 函数 yf() 由参数方程 所确定，则 _8 _9 设 f(，y) ，则 f(1， )_10 微分方程 y4y130 的通解为_三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。11 设 f() 作 f()的图形，并讨论当 3 时，f()的左右极限及 ()的存在性12 求极限13 求曲线 y 的凹凸区间与拐点14 求不定积分ln( )d15 过曲线 y 2(0)上某点 A
3、作切线，若过点 A 作的切线，与曲线 y 2 及 轴围成的图形面积为 ，求该图形绕 轴旋转一周所得旋转体体积 V16 计算二重积 ddy，其中。是由直线 2， y 与双曲线 y1 所围成的区域17 求微分方程 y2yy0 满足初始条件 y(0)4 和 y(0)2 的特解18 判断级数 的敛散性四、综合题19 设 1 是 f()的两个极值点，且 f(1)2，又知 f()3 2ab，求函数f()20 设 F() S 表示夹在 轴与曲线 yF()之间的面积，对任何t0，S 1(t)表示矩形tt，0yF(t)的面积，求： (1)S(t)SS 1(t)的表达式； (2)S(t)的最小值广东专插本（高等数
4、学）模拟试卷 43 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 B【试题解析】 A、D 选项中，两函数的定义域不同；C 选项中，当 0 时，f()g()； B 选项中，f()ln 33lng()，定义域均为 0，故本题选 B2 【正确答案】 B【试题解析】 1，故 3sin 是 的等价无穷小3 【正确答案】 B【试题解析】 f()在a， b上连续，在(a ，b) 内可导，且 f(a)f(b)，则 f()满足罗尔定理的条件，所以至少存在一点 (a，b)，使 f()0，则 f()在(a，b)内至少有一条平行于 轴的切线，故选 B4 【正确答案】 C【试题解
5、析】 考察定积分在对称区间上积分的性质5 【正确答案】 D【试题解析】 根据等比级数的敛散性可知，当且仅当 1 时，级数收敛，即ab，故选 D二、填空题6 【正确答案】 【试题解析】 当 0 时，(1cos) 2，asin 2a 2，由 1cos 与 asin2 等价知 1， 于是 a 7 【正确答案】 【试题解析】 8 【正确答案】 【试题解析】 9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 ye 2(C1cos3C 2sin3)【试题解析】 对应的特征方程为 r24r 130，解得 r23i，故通解为ye 2(C1cos3C 2sin3)，其中 C1，C 2 为任意常数三、解答题解答
6、时应写出推理、演算步骤。11 【正确答案】 函数 f()的图形如图，从几何图形上可判断出： (1)3； (2) (21)7； 由(1)、(2)知，f()不存在12 【正确答案】 13 【正确答案】 函数 y 的定义域为(0，1) (1，) ，因为y ，y 所以 y0，得 e 2 曲线的凸凹性列表讨论如下： 所以，由上述讨论可知，曲线的凸区间为(0，1)与(e 2，)，凹区间为(1，e 2)；拐点为(e 2， )14 【正确答案】 15 【正确答案】 如图，设 A 点坐标( 0， 02)由 y2，得切线方程为y 022 0( 0)或 ，由已知得：所以 01，A(1 ，1)，切线方程为2y10 ，
7、切线 与 轴交点为 ( ，0)于是16 【正确答案】 先沿 y 方向积分，区域 D 可表示成： 则17 【正确答案】 特征方程为 r22r10，特征根为 r1r 21，因此所给方程的通解为 y(C 1C 2)e ， 求导，得 y(C 2C 1C 2)e-将初始条件代入上面两式，得 解方程组，得 C14，C 22于是所求特解为y(4 2)e 18 【正确答案】 因为 un u n(n1，2，)， 而等比级数 是收敛的，由比较审敛法知级数 也收敛四、综合题19 【正确答案】 由 f()3 2a b，积分得 f()d(3 2a b)d 3 2bCf()， 1 是 f()的极值点， f(1)f(1)0， 即解得 a 0，b3， 故 f() 33C，又有 f(1)2，代入得 C 0，所以 f() 3320 【正确答案】 (1)画出 F()和 S1(t)的图形(如图)则 S2 0 ede -2 0 1， S 1(t)2te -2t， 因此 S(t)S S 1(t)12te -2t，t (0，) (2)今 S(t)2(12t)e -2t0 得唯一驻点 t 又 0，所以 为极小值，即最小值
