1、广东专插本（高等数学）模拟试卷 48 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 函数 f() lg( )在(，)是 ( )（A）奇函数（B）偶函数（C）非奇非偶函数（D）既奇又偶函数2 设函数 f() 则 f() ( )（A）1（B） 0（C） 2（D）不存在3 设函数 f(2) (0)，则 f() ( )（A）（B）（C）（D）4 设 f()是连续函数，则 f(t)dt 是 ( )（A）f()的一个原函数（B） f()的全体原函数（C） 2.f(2)的一个原函数（D）2.f( 2)的全体原函数5 若级数 an 收敛，则级数 ( )（A） a n收敛（B） (1
2、) nan 收敛（C） anan+1 收敛（D） 收敛二、填空题6 曲线 y 上的切线斜率等于 的点是_7 如果 f() 2k3 在1，3 上满足罗尔定理条件，则 k_8 _9 已知某二阶线性非齐次微分方程的通解为 yC 1e-C 2e2，则该微分方程为_10 交换积分 I 02d f(，y)dy 的积分次序，则 I_三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。11 讨论函数 f() 在 0 处的连续性与可导性12 求极限13 讨论函数 y 的单调性14 求不定积分15 设 f(，y) ，求 16 计算 ddy，其中 D 为由直线 y ，y1 及 y 围成的平面闭区域17 求微分方程 yycos e
3、-sin 满足初始条件 y(0) 1 的特解18 判定级数 的敛散性四、综合题19 设 D1 是由抛物线 y2 2 和直线 a，2 及 y0 所围成的平面区域；D 2 是由抛物线 y2 2。和直线 y0， a 所围成的平面区域，其中 0a2 (1)试求 D1绕 轴旋转而成的旋转体体积 V1；D 2 绕 y 轴旋转而成的旋转体体积 V2； (2)问当a 为何值时 V1V 2 取得最大值 ?试求此最大值20 设函数 F() (0)，其中 f()在区间a ，)上连续，f()在(a，) 内存在且大于零，求证：F()在(a ，) 内单调递增广东专插本（高等数学）模拟试卷 48 答案与解析一、选择题在每小
4、题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 A【试题解析】 故 f()为奇函数，故应选 A2 【正确答案】 D【试题解析】 ， 极限f()不存在， 故应选 D3 【正确答案】 C【试题解析】 令 2t，则 f(t) ，即故应选 C4 【正确答案】 C【试题解析】 ( f(t)dt)2f( 2)，即 f(t)dt 是 2.f(2)的一个原函数5 【正确答案】 D【试题解析】 若 收敛，k 1，k 2 是与 n 无关的常数，则(k1unk 2vn)也收敛故本题选 D二、填空题6 【正确答案】 【试题解析】 y1 ，解得 2，故切线斜率为 的点为(2， )和(2， )7 【正确答案】
5、 2【试题解析】 f() 2k3 在1，3上连续，在 (1，3)上可导，若在1，3满足罗尔定理，则 f(1) f(3) ，即 4k123k，解得 k28 【正确答案】 4【试题解析】 9 【正确答案】 yy2y0【试题解析】 由微分方程的通解为 yC 1e C 2e2 知特征方程的特征根为11， 22，即特征方程为 220，故微分方程为 yy2y010 【正确答案】 I f(，y)d【试题解析】 由 I f(，y)dy 知 02， 2y2， 则积分区域如图：交换积分次序：I f(，y)d三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。11 【正确答案】 因为 0f(0)， 所以 f()在 0 处连续 但
6、 而 不存在，即不存在 所以 f()在 0 处不可导12 【正确答案】 13 【正确答案】 因为 y 4 2 2(1)( 1)，所以，令 y0，得驻点11， 20， 31 列表讨论如下：所以，函数 f()在区间( ，1) 与(1，) 上单调增加，在区间 (1，1)上单调减少14 【正确答案】 15 【正确答案】 因为 fy ，f ，16 【正确答案】 17 【正确答案】 P() cos，Q() e -sin， ye cosd(esin ecosddC)e sin (esin esindC)e sin (C)， 又 y(0)1，所以 C1，特解为ye sin (1) 18 【正确答案】 e1 故级数 发散四、综合题19 【正确答案】 (1)V 1 a2(22)2d (32a 5)， V 22 0a.22da 4； (2)VV 1V 2 (32a 5)a 4 令 V4a 3(1a)0， 得区间(0，2)内唯一的驻点 a1，且 V(1) 40，因此，a1 是极大值点，即最大值点，此时20 【正确答案】 F()在 (a，)内单调递增
