1、广东专插本（高等数学）模拟试卷 49 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 函数 ylg(1lg)的定义域是 ( )（A）1 ，10)（B） (1，10（C） (0，10)（D）(0 ，102 如果 f(0)存在， ( )（A）0（B） f(0)f(0)（C） 2f(0)f(0)（D）不存在3 经过点(1 ，0) 且切线斜率为 32 的曲线方程是 ( )（A）y 3（B） y 31（C） y 31（D）y 3 C4 设函数 f(y，y) 2y 2y，则 分别为 ( )（A）1，2y（B） 2y，1（C） 22y，2y（D）2y，25 下列无穷级数中，条件收敛
2、的是 ( )（A）（B）（C）（D）二、填空题6 已知曲线 ya 2 与 yln 相切，则 a_7 广义积分 是_的8 比较积分 I1 ln(y)d 与 I2 ln(y) 3d 的大小，其中D：24，1y2，则_9 微分方程 y4y0 的通解为_10 曲线 则 _三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。11 设 f() ，在(，)内连续，求 a 和 b12 求极限13 已知函数 (y)由参数方程 确定，求14 求不定积分15 设 f() ，求 01f()d16 求 (2y)d，其中区域 D 由直线 y，y2，y2 围成17 求微分方程 yd( 2 4)dy0 的通解18 判断级数 的敛散性四、综
3、合题19 设可导函数 ()满足 ()cos2 0(t)sintdt1，求 ()20 设 f()在 a，a上连续 (a0，为常数)，证明 -aaf()d 0af()f()d ，并计算广东专插本（高等数学）模拟试卷 49 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 C【试题解析】 ylg(1lg)，则 1lg0，解得 010，所以函数定义域为(0，10)，本题选 C2 【正确答案】 C【试题解析】 2f(0)f(0)，故应选 C3 【正确答案】 C【试题解析】 3 2d 2C，又经过(1，0)点即 1C0，C 1，故曲线方程为 y 31，本题选 C4 【正
4、确答案】 A【试题解析】 f(y，y) 2y 2yy(y) 2，即 f(，y)y 2，故应选 A5 【正确答案】 A【试题解析】 u nu n+10，且 0则交错级数 收敛，故应选 A二、填空题6 【正确答案】 【试题解析】 曲线 y1a 2 与 y2ln 相切，故存在 0，使 y 1(0)y 2(0)且 y1(0)y 2(0)， 即 解得 0 ，代回方程组得 a7 【正确答案】 收敛【试题解析】 2 所以此广义积分是收敛的8 【正确答案】 I 1I 2【试题解析】 积分区域相同，被积函数连续，可以通过比较被积函数来判断当24，1y2 时，3 y6，in(y)1，于是便有 ln(y)ln 3(
5、y)于是即有I1 ln(y)dI 2 ln(y) 3d，即 I1I 29 【正确答案】 yC 1cos2C 2sin2【试题解析】 对应的特征方程为 r240，即 r 2i，故通解为yC 1cos2C 2sin2，其中 C1，C 2 为任意常数10 【正确答案】 0【试题解析】 三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。11 【正确答案】 由 f()在( ，)内连续，知12 【正确答案】 原式13 【正确答案】 由求导公式，得， 于是14 【正确答案】 15 【正确答案】 因为 f() ，于是16 【正确答案】 由题意可知，积分区域 D 为 0y2， y，则17 【正确答案】 分离变量得 两边积分
6、得 (ln 4ln ) lnylnC 1 故原方程的通解 (4)y 4C(C 为任意常数)， 其中特解 y0 包含在通解之中18 【正确答案】 ln(n 1)lnn ， Snln2ln1 ln3ln2 lnnln(n1)ln(n1)lnn ln(n 1)ln1ln(n1)， (n1) ，故级数 发散四、综合题19 【正确答案】 在方程 ()cos2 0(t)sintdt1 两端关于 求导，得 ()cos()sin 2()sin1， 即 tan.sec，且在原方程中取 0可得(0)1 由一阶线性方程的通解公式，得 cos(sec 2dC)cos(tan C) sinCcos 代入初值条件 0， 1，可得 C1，故 () sincos 20 【正确答案】 因 f() f()f() f()f()， 而 f()f()是奇函数， f()f( )是偶函数， 故 -aa f()f()d 0， 所以 -aaf()d2 0a f()f( )d 0af()f( )d；
