1、广东专插本（高等数学）模拟试卷 53 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 已知函数 f()，则 ff( ) ( )（A）（B） 2（C）（D）2 当 0 时，若 2acos 2，则可确定 a 的值一定是 ( )（A）0（B） 1（C）（D）3 已知函数 f()(a)g() ，其中 g()在点 a 处二阶可导，则 f(a) ( )（A）0（B） 2g(a)（C） 2g(a)（D）2f(a)4 已知函数 f() 0tsintdt，则 f() ( )（A）sin（B） cos（C） cos（D）sin5 已知级数 un，则下列结论正确的是 ( )（A）若 un0
2、，则 un 收敛（B）若 un 的部分和数列S n有界，则 un 收敛（C）若 u n收敛，则 un 绝对收敛（D）若 u n发散，则 un 也发散二、填空题6 如果 0，则 a_，b_7 函数 y 在区间_内是凸的8 若 f()在 a，a上连续，则 -aaf()f( )d _9 f() 3 在1 ，4上满足拉格朗日定理条件，则 _10 方程 y4y0 的通解为_三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。11 求极限12 设 ysin ，求 13 求不定积分14 过曲线 y 2(0) 上一点 M(1，1)。作切线 l，平面图形 D 由曲线 y 2，切线l 及 轴围成，求： (1)平面图形 D 的面
3、积； (2)平面图形 D 绕 z 轴旋转一周所形成的旋转体的体积15 求 ze cos(y) 的全微分16 计算 2yddy，其中 D 由双曲线 2y 21 及直线 y0，y1 所围成的平面区域17 求微分方程 yy1 2 的通解18 判定级数 的敛散性四、综合题19 设 F() ，试求： (1) 曲线 yF()的拐点的横坐标； (2) -232F()d之值20 设函数 f()在1 ，3上连续，在(1，3)内可导，且 f(3)0，证明：至少存在一点(1， 3)，使 f()lnf()0广东专插本（高等数学）模拟试卷 53 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【
4、正确答案】 C【试题解析】 因为 f()，则 ，所以 ，故选 C2 【正确答案】 C【试题解析】 由 2acos 2(0)，可知 2acos02a10，即 a ，故选 C3 【正确答案】 B【试题解析】 f()g()(a)g() ，f()g()g()(a)g()，则 f(a)2g(a)，故选 B4 【正确答案】 D【试题解析】 f()( 0tsintdt)sin 5 【正确答案】 C【试题解析】 A 项中若 un ，结论不成立； B 项中若 un(1) n，结论不成立；D 项中若 un(1) n ，结论不成立； 由绝对收敛的定义知， C 项正确二、填空题6 【正确答案】 2，0【试题解析】 所
5、以 4a 20，2ab 0 ，且由上式知 a0 解得 a2，b 07 【正确答案】 (一 1，1)【试题解析】 y ()，y ， 令 y0，则118 【正确答案】 0【试题解析】 令 F()f()f()，则 F()f()f()f()f( )F() ，故 F()为奇函数，又积分区间关于原点对称，故 -aaF()d09 【正确答案】 【试题解析】 f()3 21，f() 在1，4上满足拉格朗日中值定理，即存在一点(1， 4)，使() 20，解得 或 (舍)10 【正确答案】 yC 1e-2C 2e2【试题解析】 微分方程对应的特征方程为 24 0，则 12， 22， 故微分方程的通解为 yC 1e
6、-2C 2e2，C 1，C 2 为任意常数三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。11 【正确答案】 用倒代换 让其产生分母，然后通分计算之12 【正确答案】 13 【正确答案】 14 【正确答案】 曲线 y 2(0)在点 M(1，1)处切线斜率为 2，过 M 点的切线方程为 y2 1，切线与 轴的交点为 (如图所示)(1)平面图形 D 的面积为(2)平面图形 D 绕 轴旋转一周而成的旋转体的体积15 【正确答案】 16 【正确答案】 17 【正确答案】 所给方程是可分离变量方程，先将方程分离变量，得 ydy两边积分 ydy 可得即 (2 y2)ln Cr， 从而可得2y 2ln(C) 2 为原
7、方程的通解，其中 C 为不等于零的任意常数18 【正确答案】 级数 收敛，故收敛四、综合题19 【正确答案】 (1)F() 2 ，F() 2(14 4) ，注意到仅当 时 F() 0，且在 两侧，F()变号，即知 为曲线 yF() 的拐点的横坐标； (2)注意到 2F()为奇函数，因此20 【正确答案】 设 f()lnf() 0，即 ， lnyln (ln)lnC, 所以 y ， Cf()ln， 令 CF()，则 F()f()ln，1，3 因为 F()在1，3上连续，在(1，3)内可导， F(1)f(1)ln10，F(3)f(3)ln30 ，满足罗尔定理的条件， 所以至少存在一个 ，使得 F()0，其中 (1，3)， 又 F()f()ln 0， 即至少存在一个 (1，3)，使f()lnf()0
