1、江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 35 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 =1，则常数 k 等于( ) （A）1（B） 2（C） 4（D）任意实数2 下列命题中正确的是( )（A）若 x0 是 f(x)的极值点，则必有 f(x0)=0（B）若 f(x)在(a ，b) 内有极大值也有极小值，则极大值必大于极小值（C）若 f(x0)=0，则 x0 必是 f(x)的极值点（D）若 f(x)在点 x0 处可导，且点 x0 是 f(x)的极值点，则必有 f(x0)=03 若 x=2 是函数 y=x-ln( +ax)的可导极值点，则常数 a 值为( )（A）-1（B
2、） 12（C） -（D）14 若 y=arctanex，则 dy=( )5 un 收敛的( )条件（A）充分（B）必要（C）充分必要（D）既非充分又非必要6 设函数 f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)，则方程 f(x)=0 的实根个数为( )（A）1（B） 2（C） 3（D）4二、填空题7 8 函数 f(x)=2x2-x+1 在区间 -1，3上满足拉格朗日中值定理的 =_9 dxdy=_，其中 D 为以点 O(0，0)、A(1，0)、B(0，2)为顶点的三角形区域10 设 f(x，y)=ln(x+ =_11 交换二次积分次序 12dx1x xf(x，y)dy=_ 12 微分方程 yy+
3、xey=0 满足 y|x=1=0 的特解为_三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 14 求xln(1+2x)dx15 将函数 f(x)=xln(1+x)展开为 x 的幂函数( 要求指出收敛区间)16 设 z=xyf(yx)，其中 f(u)可导，求 x17 求函数 f(x)= 的间断点并判断其类型18 求 f(x)=ex dt 在e，e 2上的最大值19 求一曲线方程，此曲线在任一点处的切线斜率等于 2x+y，并且曲线通过原点20 求微分方程 y“= 满足初始条件 y|x=0=2， y|x=0=-1 的特解四、综合题21 A 点(1 ，1)为 y=x2 上一点，过点 A 的切线为 l求 l
4、，y=x 2 与 x 轴所围图形绕 x轴旋转一周所得旋转体的体积22 设函数 f(x)=ax3+bx2+cx-9 具有如下性质： (1)在点 x=-1 的左侧临近单调减少； (2)在点 x=-1 的右侧临近单调增加； (3)其图形在点(1，2)的两侧凹凸性发生改变 试确定 a，b， c 的值22 已知某厂生产 x 件产品的成本为 C(x)=25000+200x+ x2(元) ，产品产量 x 与价格P 之间的关系为： P(x)=440- x(元) 求：23 要使平均成本最小，应生产多少件产品?24 当企业生产多少件产品时，企业可获最大利润，并求最大利润五、证明题25 设 f(x)在0，1上连续，
5、在 (0，1)内可导，f(0)=0，0f(x)1，求证： 01f(x)dx201/subpf3(x)dx 江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 35 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 B【试题解析】 由题意可知，x=2 时，x 2-3x+k=0 k=22 【正确答案】 D3 【正确答案】 C【试题解析】 y=x-ln( =0由题意得 f(2)=0，可知 a=-4 【正确答案】 B【试题解析】 5 【正确答案】 B【试题解析】 由级数收敛定义、性质可知答案为 B 项6 【正确答案】 C【试题解析】 由于 f(x)是四次多项式，故 f(x)=0 是三
6、次方程，有 3 个实根二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 本题是考查幂指函数求极限，先把极限变形为 ，此题是形如 1型的不定式，可以利用两个重要极限公式的推广公式求解：注：等价无穷小替换 cos ，x0 +8 【正确答案】 =1【试题解析】 由已知可得 f(x)=4x-1，令 4x-1= =3，解该方程即为满足拉格朗日定理的 =19 【正确答案】 -1【试题解析】 01xf(x)dx=01xdf(x)=xf(x)|01-01f(x)dx=f(1)-3=2-3=-110 【正确答案】 【试题解析】 11 【正确答案】 12 1dy1y 2f(x，y)dx+ 12dyy2f(x，y)dx【试
7、题解析】 由原二次积分可知原函数的积分区域 D 如图 a，显然原二次积分是按 X-型看待的，现在我们按照 Y-型看待，如图 b，则原二次积分可以写成1 21dy1y 2f(x，y)dx+ 12dyy2f(x，y)dx12 【正确答案】 【试题解析】 分离变量得-ye -ydy=xdx，两边积分得-ye -ydy=xdx，解得(y+1)e -y= +C，代入 y|x=1=0，得 C=12，即特解为(y+1)e -y=三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 【正确答案】 原式= =e214 【正确答案】 xln(1+2x)dx15 【正确答案】 利用幂级数展开式= (-1)nxn，|x|1，
8、xn，|x|1，f(x)=ln(1+x)，f(0)=0f(x)= (-1)nxn，|x| 1，两边同时积分得 f(x)=f(x)-f(0)=xn+1，-1x116 【正确答案】 =xf(u)+xyf(u) =xf(u)+yf(u)，所以 x =2xyf(u)=2z17 【正确答案】 因为 =1，故 x=1 是函数 f(x)= 的间断点，且是第一类跳跃间断点18 【正确答案】 0，x1，所以，f(x)在e，e 2上的最大值为：=ln(e+1)-19 【正确答案】 因为曲线在任一点的切线斜率等于 2x+y，所以 y=2x+y，即 p=-1，q=2x ， 则 pdx=-dx=-x，qe pdxdx=
9、2xe-xdx=-2xd(e-x)=-2xe-x-2e-x， 其通解为 y=e-p(x)dxqepdxdx+C)=ex(-2xe-x-2e-x+C)=2x-2+Cex， 又因为曲线通过原点 y(0)=0，所以-2+C=0，即 C=2，所以 y=2ex+2x-220 【正确答案】 所求方程属于 y“=f(y，y) 型，不包含 x令 y=p，两边对 x 求导，有 y“= 原方程化为 两边积分得ln(1+p2)=lny+lnC1 所以 1+p2=C1y由初始条件 y(0)=2，y(0)=-1 确定 C1=1，于是有1+p2=y 或 p= 再注意 y(0)=-1，可知 p= =-dx积分即得通解 2
10、=-x+C2，由初始条件 y(0)=2，得 C2=2，因此所求特解为 2+x=2四、综合题21 【正确答案】 设 A 点坐标为(x 0，x 02)，由 y-2x，得切线方程为 y-x02=2x0(x-x0)或 x= 由已知 x03，所以 x0=1，过点A(1，1)的切线方程为 2x-y-1=0切线与 x 轴交点为 x=12，于是 V=01x4dx-12 1(2x-1)2dx=22 【正确答案】 由题意，得 f(-1)=0，驻点为(-1，0)，f“(1)=0，点(1，0)为拐点，f(1)=2，分别代入方程 f(x)=3ax2+2bx+c，f“(x)=6ax+2b，f(x)=ax 3+bx2+cx
11、-9 得解得 a=-1，b=3，c=923 【正确答案】 平均成本 令=0，得 x=1000，由经济意义知平均成本有最小值且驻点唯一，故 x=1000 是最小值点，即当生产 1000 件产品时平均成本最小24 【正确答案】 L(x)=xP(x)-C(x)=440x- x2)=- x2+240x-25000令 L(x)=- +240=0，得 x=1600由经济意义知利润有最大值且驻点唯一，故 x=1600 是最大值点即当企业生产 1600 件产品时，可获最大利润最大利润是 L(1600)=167000(元)五、证明题25 【正确答案】 首先证明不等式 0xf(t)dt20xf3(t)dt(0x1) 令 F(x)=0xf(t)dt-0xf3(t)dt， F(x)=2 0xxf(t)dtf(x)-f 3(x) =f(x)20xf(t)dt-f2(x)， 再令 (x)=20xf(t)dt-f2(x)则 (x)=2f(x)-2f(x)f(x) =2f(x)1-f(x) 因为 f(0)=0，f(x)0，所以 f(x)单增，当x0 时，f(x)f(0)=0 又 0f(x)1，于是 (x)0，由此 (x)单增，当 x0 时，(x)(0)=0， 所以又有 F(x)0，由此 F(x)单增，当 x0 时，F(x)F(0)=0 ，故 F(1)0， 从而有 01f(x)dx201(x)dx
