1、江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 38 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 已知连续函数 f(x)满足 f(x)=x2+x01f(x)dx，则 f(x)=( )（A）f(x)=x 2+x（B） f(x)=x2-x（C） f(x)=x2+ x（D）f(x)=x 2+ x2 函数 f(x)= 在 x=0 处( )（A）连续但不可导（B）连续且可导（C）不连续也不可导（D）可导但不连续3 关于 y= 的间断点说法正确的是( ) （A）x=k+ 为可去间断点（B） x=0 为可去间断点（C） x=k 为第二类无穷间断点（D）以上说法都正确4 设 D：x 2+y2R
2、2，则 dxdy=( )（A） Rdxdy=R3（B） 0d0Rrdr=R2（C） 02dr2dr= R3（D） 02d0RR2dr=2R35 抛物面 =1 在点 M0(1，2，3) 处的切平面是( )（A）6x+3y-2z-18=0（B） 6x+3y+2z-18=0（C） 6x+3y+2z+18=0（D）6x-3y+2z-18=06 幂级数 (-1)nnxn 的收敛半径是( )（A）0（B） 1（C） 2（D）+二、填空题7 定积分 02|x-1|dx=_8 曲线 y=4- 的拐点是_9 若 f(x)= ，则 ff(f(x)=_10 已知 a，b 均为单位向量，且 ab=12，则以向量 ab
3、 为邻边的平行四边形的面积为_11 xn 的收敛半径和收敛域为_12 若 z= |(1，-1) =_三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 14 15 计算： 01xln(x+1)dx16 求方程 xy+y-e2=0 满足初始条件 y|x=1=e 的特解17 设 z=f(x2，xy)，其中 f 具有二阶连续偏导数，求18 19 将函数 y=cos2x 展成关于 x 的幂级数20 计算 dxdy，其中 D 是由直线 y=x，2y=x 及 x=1 围成的区域四、综合题20 y= 求：21 函数的单调区间及极值；22 函数凹凸区间及拐点；23 渐近线23 某曲线在(x，y) 处的切线斜率满足 y
4、=- +4x2，且曲线通过(1，1)点24 求 y=y(x)的曲线方程；25 求由 y=1，曲线及 y 轴围成区域的面积；26 上述图形绕 y 轴旋转所得的旋转体的体积五、证明题27 证明：当|x|2 时，|3x-x 3|228 已知 f(x)有二阶连续导数，证明xf“(2x-1)dx= (2x-1)+C江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 38 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 C2 【正确答案】 B【试题解析】 f(x)=f(0)=0，则此分断函数在 x=0 处连续则f(x)，故分段函数 x=0 可导3 【正确答案】 D【试题解析】 f(x)
5、= 的间断点为 x=k，k+ ，kZ f(x)=0，所以 x=k+为可去间断点对于 x=k，当 k=0，即 x=0 时， =1，x=0 为可去间断点当 k0 时， =，x=k 为第二类无穷间断点4 【正确答案】 C【试题解析】 在极坐标中，0rR，02，R35 【正确答案】 B【试题解析】 设 F(x，y， z)= Fx(1，2，3)=23，F y(1，2，3)=1 3， Fz(1，2，3)=2 9 切平面方程为 6x+3y+2z-18=06 【正确答案】 B【试题解析】 = =1，收敛半径 R=1=1二、填空题7 【正确答案】 1【试题解析】 02|x-1|dx=01(1-x)dx+12(x
6、- -x)|12= =18 【正确答案】 (1，4)【试题解析】 y=- 当 x=1 时，y“= =0，当x(-， 1)时， y“0，而当 x(1，+)时，y“ 0，当 x=1 时，y=4 ，所以拐点是(1，4)9 【正确答案】 x【试题解析】 ff(f(x)10 【正确答案】 【试题解析】 根据向量叉积，以向量 a，b 为邻边的平行四边形的面积为S=|a|b|sin=aa，由已知，|a|=1，|b|=1，ab=|a|b|cos=1 2，所以cos=12，可得 sin= ，可得平行四边形面积为 ab=|a|b|sin=11 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】 【试题解析】 ，把(1
7、，-1)代入即可三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 【正确答案】 14 【正确答案】 15 【正确答案】 01xln(x+1)dx=01ln(1+x)d( ln(x+1)|01- dx16 【正确答案】 由 xy+y-ex=0，得 y=-(ex+C)y| x=1=e，C=0 ，故特解为：y= ex17 【正确答案】 令 u=x2，v=x y，则 z=f(u，v)，=fu(u，v)2x+f v(u，v)1y， =fu(u，v)2x y+yv(u，v)1yy=2xf“ uv(u，v)(- )+f“vu0+f“ vu(u，v) 0+f“ vv(u，v)(-)=- 2x2yf“vu(u，v)+
8、xf“ vv(u，v)+yf v(u，v)18 【正确答案】 arcsinx2d(arcsinx2)= (arcsinx2)2+C19 【正确答案】 y= -(1+cos2x)= x(-，+)20 【正确答案】 积分区域 D 如图所示，从被积函数的特点知，该积分应化为 “先对 y 积分，后对 x 积分” 的二次积分四、综合题21 【正确答案】 由 y= ，得函数的定义域为x|x R，且 x1)，y=，令 y=0 得驻点 x=0，x=3，这里 x=1 不能算作不可导点，因为它不在定义域内列表讨论(这里虽然不对 x=1 这点讨论，但是由于它是函数的间断点，把定义域分开了，所以在表中也单列出来)由上
9、表可得单调递增区间为(-，1)，(3，+)；单调递减区间为(1，3)极小值为f(3)=27422 【正确答案】 由 y= ，令 y“=0 得 x=0，这里同样 x=1 也不能算作二阶不可导点，因为它不在定义域内。由于只有一个二阶导数等于零的点，所以这里就不需要列表讨论了，简单叙述一下即可因为当 x0 时，y“ 0； z0 时，y“0，所以拐点为 (0，0)凹区间为(0 ，1)，(1，+) ；凸区间为(-，0)23 【正确答案】 对于渐近线，由于 =，所以 x=1 是一条垂直渐近线而 =，所以没有水平渐近线24 【正确答案】 y+ y=4x2，p=1x，q=4x 2，p(x)dx= dx=lnxq(x)ep(x)dxdx=4x2xdx=x4y= ，由 y(1)=1，得 c=0，y=x 3，25 【正确答案】 S= 01 y43 |01=3426 【正确答案】 V= 01五、证明题27 【正确答案】 令 f(x)=3x-x2，x-2 ，2，f(x)=3-3x 2=0，x=1，f(-1)=-2 ，f(1)=2，f(2)=-2 ， f(-2)=2；所以 fmin=-2，f max=2，故-2f(x)2，即|3x-x 3|228 【正确答案】 证xf“(2x-1)如=xf“(2x-1) d(2x-1)= f(2x-1)x-f(2x-1)dx= f(2x-1)+C
