1、江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 39 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 已知 f(0)=0，f(0)=1 ，则 =( )（A）1（B） 0（C） -1（D）不存在2 若f(x)dx=ln(x+ )+C，则 f(x)等于( )3 当 x0 时， 为 x 的( )（A）高阶无穷小量（B）低阶无穷小量（C）同阶，但不等价无穷小量（D）等价无穷小量4 方程 x2+y2=4x 在空间直角坐标系中表示 ( )（A）圆柱面（B）点（C）圆（D）旋转抛物面5 若广义积分 1+ dx 收敛，则 p 应满足( )（A）0p1（B） p1（C） p-1（D）p06 设对一切
2、 x 有 f(-x，y)=-f(x ，y) ，D=(x ，y)|x 2+y21，y0，D 1=(x，y)|x2+y21，x0，y0，则 f(x，y)dxdy=( )二、填空题7 如果 f(x)= 在 x=0 处连续，那么 a=_8 9 点 M(2，-3，4) 到平面 3x+2y+z+3=0 的距离 d=_10 设函数 y=y(x)是由方程 ex-ey=sin(xy)确定，则 y|x=0=_11 函数 f(x)=arctanx 在-1，1上满足拉格朗日中值定理的点是_12 交换积分次序dy f(x，y)dx=_三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 设方程 x2+y2+z2-4z=0 确定
3、z=z(x，y)，求14 计算 I= (x+y)dxdy D：x 2+y22x15 判别 的敛散性16 将 f(x)= 展开成 x 的幂级数17 求 xydx+ dy=0 满足 y(-1)=2 的特解18 已知二阶线性常系数齐次方程的特征方程的根为 r1，2 =12i，求此微分方程19 设 y=xarcsin ，求 y及 y“20 求曲线 y= x2+(x-1)53 的凹凸区间与拐点四、综合题21 求椭球面 =1 在点 M0(1，2，3) 处的切平面和法线方程21 设平面图形由曲线 y=1-x2(x0)及两坐标轴围成22 求该平面图形绕 x 轴旋转所形成的旋转体的体积；23 求常数 a 的值，
4、使直线 y=a 将该平面图形分成面积相等的两部分24 有一边长为 48cm 的正方形铁皮，四角各截去一个大小相同的正方形，然后将四边折起做成一个方形无盖容器，问截去的小正方形的边长多大时，所得容器的容积最大?五、证明题25 设 x(0，1)，证明：(1+x)ln 2(1+x)x 225 f(x)= 证明：26 f(x)在 x=0 处可微；27 f(x)在 x=0 处不可微江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 39 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 A【试题解析】 该式利用洛必达法则， =1，所以选 A 项2 【正确答案】 C【试题解析】 对等式两
5、边求导得：f(x)=3 【正确答案】 D【试题解析】 根据等价无穷小量的定义，故选 D 项4 【正确答案】 A【试题解析】 x 2+y2=4x x2-4x+4+y2=4 (x-2)2+y2=22，在平面坐标系中，这表示一个圆，而在空间坐标系中，这表示母线平行于 Z 轴的圆柱面所以选 A 项5 【正确答案】 B【试题解析】 当 p1 时， 1+ dx 收敛；当 P1 时， 1+ dx 发散6 【正确答案】 A【试题解析】 如图，根据题中条件画出积分域，积分域关于 y 轴对称，又 f(-x，y)=-f(x，y)，即被积函数是关于 x 的奇函数，由积分对称性原因 f(x，y)dxdy=0二、填空题7
6、 【正确答案】 0【试题解析】 f(x)=f(0)，那么 a=08 【正确答案】 tant【试题解析】 9 【正确答案】 【试题解析】 根据点 M(x1，y 1，z 1)到平面 Ax+By+Cz+D=0 的距离为10 【正确答案】 1【试题解析】 对方程两边求导得：e x-eyy=cosxy xy，根据 x 的值求出 y 值，则可得出 y|x=0=111 【正确答案】 【试题解析】 设点 ，根据拉格朗日定理，则此点满足 f(1)-f(-1)=f()1-(-1)，所以点 等于12 【正确答案】 1edx0lnx(x，y)dy三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 【正确答案】 (1)F=x2
7、+y2+z2-4z，F x=2x，F y=2y，F z=2z-414 【正确答案】 (1)画出积分区域 D(2)I= ydD 关于 x 轴对称，y 关于y 为奇函数，15 【正确答案】 收敛(1)：这是正项级数， ，收敛|q|=141，由比较法非极限形式知 收敛(2)：收敛，由性质知 也收敛16 【正确答案】 )xn(-1x1)(1) ：收敛域：|x2|1，|x|1|x|1 即-1x1，(2)17 【正确答案】 (1) 可分离变量方程lny= +C1lny= +C1(3)y= ，又 y(-1)=2，C=2特解 y=18 【正确答案】 y“-2y+5y=0 (1)特征方程： (r-1-2i)(r
8、-1+2i)=0， (r-1) 2-(2i)2=0，(r-1)2-4i2=0(i2=-1)，r 2-2r+1+4=0， r 2-2r+5=0 (2)微分方程： y“-2y+5y=019 【正确答案】 20 【正确答案】 拐点(0，-1)及(1 ，59)；(-，0) ，(1，+)为凹区间，(0，1)为凸区间(1)定义域 (-，+) 得 x=0；y“不存在的点为 x=1(3) 列表四、综合题21 【正确答案】 设 F(x，y，z)= -1，则Fx=23x，F y=y6，F z= Fx(1，2，3)=22，F y(1，2，3)=13，F z(1，2，3)=29，所以切平面方程为 (z-3)=0，即
9、6x+3y+2z-18=0，法线方程为：22 【正确答案】 如图，利用定积分几何意义该平面绕 x 轴旋转所形成旋转体体积为 V=01(1-x2)2dx=01(1-2x2+x4)dx=x- 23 【正确答案】 由题意，直线 y=a 将平面分成面积相等的两部分 01(1-y)32 dy=a1(1-y)32 dy，积分得- (1-y)32 0a=- (1-y)32 a1，即(1-a) 32 -1=-(1-a)32 ，解得 a=1-( )32 24 【正确答案】 设截下的小正方形的边长为 xcm，则正方形容器的底边长 48-2x，高为 x，容器为 V(x)=(48-2x) 2x，其中 x 的变化范围是
10、 0x24， V(x)=(48-2x)(48-6x)，令 V(x)=0 得， 驻点坐标 x=8，x=24(舍去) ， V“(x)=24x-384，V“(8)=-1920， 所以 x=8，是唯一的极大值点，也是最大值点，最大值是V(8)=8192 当截去的小正方形的边长是 8cm 时，容器的容积达到最大 8192cm3五、证明题25 【正确答案】 原不等式等价于 ln(1+x) -ln(1+x)，F(0)=0，F(x)= ，当 x0 时，1+ F(x)0，F(x) 在x0 上严格单调上升，即 F(x)F(0)=0即原不等式得证26 【正确答案】 =0，f(x)在 x=0 处可微，27 【正确答案】 当 x0 时，f(x)=(x 3sin ，因此结合结论(1)有 于是，我们可以计算一下 f(x)在 x=0 是否可微， 不存在所以 f(x)在 x=0 处不可微注：可微即可导
