1、江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 68 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 在下列极限求解中，正确的是( )。（A）（B）（C）（D）2 设 y=f(x)可导，则 f(x 一 2h)-f(x)等于( )。（A）f(x)h+0(h)（B）一 2f(x)h+0(h)（C）一 f(x)h+0(h)（D）2f(x)h+0(h)3 设函数 f(x)的一个原函数为 sin2x，则|f(2x)dx=( )。（A）cos4x+C（B） cos4x+C（C） 2cos4x+C（D）sin4x+C4 设二重积分的积分域 D 是 x2+y21，则 (1 一 x2y2)dxdy
2、等于( )。（A）（B） 4（C） 3 （D）55 在区间一 1，1 上，不满足罗尔定理的函数是( )。（A）f(x)=e 一 1（B） f(x)=ln(1+x2)（C） f(x)=（D）f(x)=6 在空间坐标系中，下列为平面方程的是( )。（A）y 2=x（B）（C）（D）3x+4z=0二、填空题7 =_。8 yy一(y) 2=0 的通解为_。9 曲线 y=x2(x3)的拐点坐标是 _。10 设 z= ，则 =_。11 的收敛区间是_。12 设 y=C1e2x+C2e3x 为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解，则该微分方程为_。三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 设方程 ex+ys
3、in(x+z)=0 确定 z=z(x，y)，求 dz。14 计算二重积分 dxdy，其中 D=(x，y)|x 2+y22x，y0 。15 判别 的敛散性，若收敛，请说明是绝对收敛或条件收敛。16 求 的收敛半径与收敛域。17 求 =1 一 x+y2 一 xy3 的通解。18 求 y+6y+13y=0 满足 y(0)=3，y(0)=一 1 的特解。19 设 y= ，求 dy。20 求由方程 x2y2+y=1(y四、综合题21 求曲线 x= ，y= ，z=t 2 过点( ,2,1)的切线方程及法平面方程。22 从(0 ，0) 作抛物线 y=1+x2 的切线，求：23 甲、乙两村合用一变压器(如图)
4、，若两村用同样型号线架设输电线，问变压器设在输电干 线何处时，用线最短?五、证明题24 证明：当|x|1 时，|4xx 4|5 成立。江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 68 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 C【试题解析】 = = =1，根据洛必达法则可知=1， = = .cos3x= 。2 【正确答案】 B【试题解析】 =一 2f(x)。3 【正确答案】 A【试题解析】 根据函数的定义，f(x)=F(x)=(sin2x)=2cos2x，f(x)=一 4sin2x，f(2x)=一 4sin4x，所以f(2x)dx=一 4sin4xdx=cos
5、4x+C。4 【正确答案】 A【试题解析】 积分区域 D 如图所示：0r1，02， 所以= =20d10(rr3)dr= 。5 【正确答案】 C【试题解析】 罗尔定理必须满足下列条件：函数 f(x)在a，b 上连续，在(a，b)内可导，并且 f(x)在区间端点的函数值相等。6 【正确答案】 D【试题解析】 平面方程一般式：Ax+By+Cz+D=0 故选 D 项。另外：A 项：y 2=x 是一条抛物线 B 项： 是两条平面正交线，显然是一空间直线 C 项：= = 是空间直线方程的一般式。二、填空题7 【正确答案】 1【试题解析】 8 【正确答案】 【试题解析】 令 y=p，则 y=p ，因为 y
6、.p p=0，所以 =0，当P0 时，则 p=0， lnp=lny+lnC1 p=C1y 即y=C1y y= ，P=0，那么 y=C，方程通解为 y= 。9 【正确答案】 (1，一 2)【试题解析】 y=x 2(x 一 3)=x3 一 32 y=3x26x y=6x 一 6 当 y=6x 一 6=0 时x=1，y=一 2。10 【正确答案】 1【试题解析】 x= 则 所以 =1。11 【正确答案】 一 1，1)【试题解析】 R= =1，当 x=1 时， 发散，当x=一 1 时， 条件收敛，所以其收敛域为一 1，1) 。12 【正确答案】 y5y+6y=0【试题解析】 由二阶常系数齐次线性微分方
7、程通解 y=C1 e2x+C2 e3x，可知特征根为1=2， 2=3，对应特征方程为：( 一 2)( 一 3)=0，即 2 一 5+6=0，所以对应微分方程为 y一 5y+6y=0。三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 【正确答案】 一 1 一 tan(x+z)dxtan(x+z)dy【试题解析】 (1)令 F=ex+ysin(x+z)，F x=ex+ysin(x+z)+cos(x+z)Fy=ex+ysin(x+z)，Fz=ex+ycos(x+z)(2) = 1tan(x+z)= 一 tan(x+z)dz=一 1 一 tan(x+z)dxtan(x+z)dy14 【正确答案】 【试题解析
8、】 15 【正确答案】 绝对收敛【试题解析】 (1)这是任意项极数 (2) ，且 收敛， 收敛，故绝对收敛。16 【正确答案】 收敛半径一 10) 驻点x=0。(2) 判别极值点 2y2+2x2yy+4xyy+2x2(y2+yy)+y=0，当 x=0 时 y=1 代入上式 2+0+0+0+y(0)=0，Y(0)=一 2四、综合题21 【正确答案】 = ， = ， =2t，该点为 t=1 时的对应点，所以过该点切线方程的方向向量为 S= ，1,2，所求切线方程为：= = 。法平面方程为： (x )(y2)+2(z1)=0。即：2x8y+16z一 1=0。22 【正确答案】 设切点为(x 0，1+
9、x 02)，k=y=2x 0，则切线方程用 y=2x0x，那么 1+x02=2x02，所以 x0=1，即切线方程为 y=士 2x，S=2 10(1+x22x)dx= = ，V= dy dy= = 。23 【正确答案】 设变压器所在地 C 距 A 处 x 公里，两村输电线总长为 y，则 y=+ ，y= + ，令 y=0，则 x(3x) =0。移项，平方，整理得 125x 2+6x 一 9=0。解得 x=12，由于驻点唯一(负值舍去) 。故变压器放在距 A 地 12 km 处，所需电线最短。五、证明题24 【正确答案】 令 f(x)=4xx4，则 f(x)=44x3=0，x=1， 所以 f(一 1)= 一 41= 一 5，f(1)=41=3 。 故 fmax(x)=3，f min(x)= 一 5，所以一 5f(x)3。 那么|4xx 4|5成立。
