1、浙江专升本（高等数学）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 下列关于奇偶函数表述正确的是 ( )（A）若 f(x)，g(x) 均为奇函数，则 f(g(x)，g(f(x) 均为奇函数（B）若 f(x)，g(x) 均为奇函数，则 f(x)g(x)， (g(x)0)均为奇函数（C）若 f(x)为奇函数、g(x)为偶函数，则 f(g(x)，g(f(x)均为奇函数（D）若 f(x)为奇函数、g(x)为偶函数，则 f(x)g(x)，f(x)一 g(x)均为奇函数2 设函数 f(u)可导，y=f(x 2)在自变量 x一 1 处取得增量 x一 01 时，相应函
2、数的增量y 的线性主部为 01，则 f(1) ( )（A）一 1（B） 01（C） 1（D）053 下列选项正确的是 ( )（A）(a.b) 2a 2b2（B） (ab)2(a.b) 2a 2b2（C）如果 a.b=0，ac0，那么 b.c0（D）(aa).aa(aa)4 微分方程 y. 一 3(y)8x 6lnx 的阶数是 ( )（A）3（B） 5（C） 8（D）65 下列四个命题正确的是 ( )（A）若 f(x)在(0，1)内连续，则 f(x)在(0，1)内有界（B）若 f(x)在(0，1)内连续，则 f(x)在(0，1)内有界（C）若 f(x)在(0，1)内有界，则 f(x)在(0，1)
3、内有界（D）若 f(x)在(0，1)内有界，则 f(x)在(0，1)内有界二、填空题6 设 在 x=0 处连续，则 a_7 若 =e4，则 a_8 曲线 f(x)= 的拐点是_9 函数 f(x)= et2 dt(x 0)的单调递增区间是_ 10 y=ln(sinx+10x )，则 dy_11 若 f(x)=f(x)，且 f(0)=1，则 f(x)_12 dx_13 函数 y=sinx 在 x=0 处的幂级数展开式中 x2n 的系数是_14 直线 =z 与平面 x+2y+3z=5 的交点坐标是 _15 微分方程 yy=0 的通解为 _三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。16 求极限17 设函数
4、 f(x)= ，求出 f(x)的所有间断点，并指出所属类型18 设函数 y=y(x)由方程组 所确定，求 t=019 计算不定积分e 2x(tanx+1)2dx20 求定积分 dx21 已知函数 y=(x+1)ex 是一阶线性微分方程 y+2y=f(x)的解，求二阶常系数线性微分方程 y+3y+2y=f(x)的通解22 计算积分23 将函数 f(x)= 展开成 x 的幂级数四、综合题23 已知函数 f(x)满足方程 f(x)+f(x)2f(x)=0 且 f(x)+f(x)=2ex24 求表达式 f(x)25 求曲线 y=f(x2) f(t 2)dt 的拐点26 证明： 并求其积分值27 设函数
5、 f(x)在闭区间a，b上连续，且满足 ax1x 2b 证明：存在 m，M 两个常数，使得 m(x2 一 x1)f(x2)f(x 1)M(x2x 1)浙江专升本（高等数学）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 A【试题解析】 由于 f(x)，g(x) 为奇函数，则有：f(x)f(x)，g(x)g(x)；因而：f(g(x) f(g(x)f(g(x)；g(f( x) g(f(x)g(f(x)故有：f(g(x) ，g(f(x) 为奇函数2 【正确答案】 B【试题解析】 由微分的定义可知，yA. x+o(x)，其中 A 称为线性主部，A=0
6、 1，且 f(1)=A，因此，选项 B 正确3 【正确答案】 B【试题解析】 由数量积和向量积的定义可知选项 A，D 错误B 答案正确对于选项 C，如果 a，b，c 为零向量，结论就不成立4 【正确答案】 A【试题解析】 微分方程阶数指的是微分方程中含有最高阶导数的阶数，易知 y.一 3(y)8=x6lnx 属于三阶微分方程，可见选项 A 正确5 【正确答案】 C【试题解析】 令 f(x)= ，则 f(x)与 f(x) 都在(0，1)内连续，但 f(x)在(0，1)内无界，所以排除选项 A 和 B，又令 f(x) ，则 f(x)在(0，1)内连续，但 f(x) 在(0 ，1) 内无界，所以排除
7、选项 D，因此，选项 C 正确二、填空题6 【正确答案】 a=1【试题解析】 根据连续的定义 f(x)=f(0)得到 a=17 【正确答案】 a=2【试题解析】 据题意知 =e6，所以 3a=6,a=28 【正确答案】 【试题解析】 f(x)= ，且令 f(x)=0，得 x=时，f(x)9 【正确答案】 (0，)【试题解析】 因为 f(x)=ex2 0，所以 f(x)在 x(0，)上单调递增10 【正确答案】 【试题解析】 由微分和导数的关系知 dy=ydx=11 【正确答案】 e x【试题解析】 解可分离变量的微分方程 =y 可得 y=Cex，然后将 y(0)=1 代入可得 C=1，故 f(
8、x)=ex12 【正确答案】 arctane x+C【试题解析】 dex=arctanexC 13 【正确答案】 0【试题解析】 sinx 在 x=0 处展开 sinx= ，由此可知偶次幂的系数为014 【正确答案】 (16，13，5)【试题解析】 将直线方程化为 ，将此方程代入 x+2y+3z=5 得到：z=5，进一步计算得到 x=16，y=13，所以交点为(16，13，5)15 【正确答案】 C 1cosx+C2sinx【试题解析】 特征方程为 r2+1=0，解得特征根为虚根i ，因而其通解可写为y=C1cosx+C2sinx三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。16 【正确答案】 17
9、【正确答案】 f(x) 由 sin(x)0 可知，xk，kz 为函数 f(x) 的所有间断点 ，其中 kZ 且 k0，k1，k一 1 所以x0，x1，x1 是函数 f(x) 的可去间断点；xk(其中 kZ 且k0，k1，k一 1)是函数 f(x) 的第二类间断点18 【正确答案】 6t+2 隐函数方程 eyysinte ycosty0 两边同时对 t 求导数，得 eyysint+eycosty0，所以又当 t0 时，x3，y1，所以19 【正确答案】 e 2x(tanx+1)2e 2x(tan2x2tanx+1)dxe 2x(sec2x+2tanx)dx e 2xdtanxdx2e 2xtan
10、xdxe 2xtax 一tande 2x2e 2xtanxdx e 2xtanx 一2e2xtanxdx 2e2xtanxdx e2xtanxC 20 【正确答案】 21 【正确答案】 据题意得，y=e x+(x+1)ex=(x+2)exf(x)=y+2y=(x+2)ex+2(x+1)ex=(3x+4)ex 则下面求微分方程 y+3y+2y=(3x+4)ex 的通解特征方程为 r2+3r+2=0，求得 r1=1，r 2=2 所以 y+3y+2y=0 的通解为 y=C1ex +C2e2x ，其中 C1，C 2 为任意常数因 =1 不是特征方程的根，所以设 y*=(Ax+B)ex 为原方程 y+3
11、y+2y=(3x+4)ex 的一个特解，则把(y *)=(Ax+A+B)ex，(y *)=(Ax+2A+B)ex 代入原方程，并比较系数得 A= ，B= 所以微分方程 y+3y+2y=(3x+4)ex 的通解为y=C1ex +C2e2x + ex，其中 C1，C 2 为任意常数 22 【正确答案】 待定系数法可知A+C=0，A+B=0，B=1，解得 A=1，C=1 所以(1n21)=1ln223 【正确答案】 因为1x1 所以所以 f(x)= =四、综合题24 【正确答案】 f(x)满足方程 f(x)+f(x)2f(x)=0 特征方程为 r2+r 一 2=0，解得r12 ，r 2 1 齐次方程
12、的通解为 f(x)=C1e2x +C2ex，其中 C1，C 2 为任意常数 f(x)=2C 1e2x +C2ex 又f(x)+f(x)=2e x C 1e2x +2C2ex，C 1=0，C 2=1 f(x)=ex25 【正确答案】 y=f(x 2) f(t 2)dty=ex2. et2 dt，y=2xe x2 et2 dt+1，y=(2+4x 2)ex2 et2 dt+2x 令 y=0，得 x=0当 x0 时， et2 dt0，y0；当 x0 时， et2 dt0，y0 且当 x=0 时，y=0曲线 y=f(x2) f(t 2)dt 的拐点为(0 ，0) 26 【正确答案】 = (sin4xs
13、in 3xcosxsin 2xcos2xsinxcos 3xcos 4x)dx= sin4xdx sin3xcosxdx sin2xcos2xdx sinxcos3xdx cos4xdx 而sin4xdx= cos4xdx= sin3xcosxdx= sin2xcos2xdx= cos3xsinxdx= 故 2I= 所以 I=27 【正确答案】 据题意 f(x)在闭区间a ，b上连续所以显然有 f(x)在闭区间x1，x 2 a，b 上连续，在(x 1，x 2) a，b内可导f(x)在闭区间x 1，x 2 a，b上满足拉格朗日中值定理条件，从而至少存在一点 (x1，x 2)，使得 f()=再由 f(x)在闭区间a ，b上连续，可根据闭区间上连续函数的性质知 f(x)在闭区间x 1，x 2上必有最大值，最小值，不防分别设为 M，m，则有 mM 即 m(x2 一 x1)f(x2)一 f(x1)M(x2 一 x1)
