1、浙江专升本（高等数学）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 下列关于连续与间断的表述正确的是 ( )（A）如果 f(x)在 x=a 处连续，那么f(x) 在 x=a 处连续（B）如果f(x)在 x=a 处连续，那么 f(x)在 x=a 处连续（C）如果 f(x)在 R 上连续，(x)在 R 上有定义，且有间断点，则 (f(x)必有间断点（D）如果 (x)在 R 上有定义，且有间断点，则 2(x)必有间断点2 设 ，则 f(x)在 x=1 处 ( )（A）左、右导数都存在（B）左导数存在，右导数不存在（C）左导数不存在，右导数存在（D）左、右导数
2、都不存在3 下列等式中，正确的结果是： ( )（A）f(x)dx=f(x)（B） df(x)=f(x)（C） f(x)dx=f(x)（D）df(x)=f(x)+c4 已知向量 =j+3k，则 OAB 的面积是 ( )（A）（B）（C）（D）5 下列级数发散的是 ( )（A）（B）（C）（D） (a0 常数)二、填空题6 设函数 f(x)= ，则其第一类间断点为_ 7 设向量 a 与单位向量 j 成 60，与单位向量 k 成 120，且a =5 ，则a_ 8 设 ，g(x)=e x，则 gf(ln2)_9 设 y=ex(C1sinx+C2cosx)为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解，则该方程为
3、_10 若 一 ax 一 ab)=2，则 a_，b_11 已知 f(0)=2，f(2)=3 ，f(2)=4，则 xf(x)dx_12 设 y=(1+sinx)x，则 dy x _13 设 f(0)=1，f(0)=0 ，则 _14 设 tetdt，则常数 a_15 dx_三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。16 17 设 f(x)在( ，) 内有一阶连续导数，且 f(0)=0，存在 f(0)若求 F(x)，并说明 F(x)在(，)上的连续性18 求函数 f(x)=(x+1)3 的单调区间19 设 x0，求函数 f(x)= 的表达式20 设 f(t2)= ，(t0)且 f(0)=0，求解 f(x
4、)21 求微分方程 xlnxdy+(ylnx)dx=0 满足 y x=e=1 的特解22 求由 y=0， y=3 与 所围成的平面图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积 Vy23 利用已知幂级数将函数 f(x)=xarctanx 展开为 x 的幂级数四、综合题24 求函数 y= .(x 一 1)的单调区间、极值、凹凸区间和拐点24 设函数 f(x)满足微分方程 xf(x)一 2f(x)一(a+1)x( 其中 a 为正常数)，且 f(1)1，由曲线 y=f(x)(x1)与直线=1，y=0 所围成的平面图形记为 D，已知 D 的面积为 求：25 函数 f(x)的表达式；26 求平面图形 D 绕 x
5、 轴旋转一周所形成的旋转体的体积 Vx；27 求平面图形 D 绕 y 轴旋转一周所形成的旋转体的体积 Vy28 设函数 f(x)在闭区间a，b上连续，且 acdb证明：在开区间(a ，b)内至少存在一点 ，使得 pf(c)+qf(d)=(p+q)f()，其中 p，q 为任意正常数浙江专升本（高等数学）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 A【试题解析】 B 选项，构造 f(x) ，x=0 处间断，但f(x)在 x=0 连续；C 选项，构造 (x)=sgnx，f(x)=e x，则 (f(x)连续；D 选项，构造 (x)=，但 2(x)
6、在 R 上连续通过排除法知：A 正确2 【正确答案】 B【试题解析】 因 f(1)= =2，f (1)=，故该函数的左导数存在，右导数不存在，可见选项 B 正确3 【正确答案】 C【试题解析】 由不定积分和原函数概念可知f(x)dx=f(x)+c，df(x)=f(x)+C， f(x)dx=f(x)，由微分与导数关系可知 df(x)dx=f(x)dx，可见选项 C 正确4 【正确答案】 A【试题解析】 根据向量叉积的几何意义得 SAOB =3i3jk ，所以， 可见选项 A正确5 【正确答案】 D【试题解析】 发散，故 D正确二、填空题6 【正确答案】 x1【试题解析】 0故 x1 是函数 f(
7、x)的第一类跳跃间断点7 【正确答案】 a=(5， )【试题解析】 由题意设向量 a 的方向角为 ，60，120，故由 cos2cos 260cos 21201可得 cos2，即 a=8 【正确答案】 e【试题解析】 据题意知 f(ln2)1，所以 gf(ln2)g(1)e 1e9 【正确答案】 y一 2y+2y=0【试题解析】 由通解可知该方程的特征根为 r11+i ，r 21 一 i，从而可知特征方程为 r2 一 2r+2=0，故此二阶常系数齐次线性微分方程为 y一 2y+2y010 【正确答案】 a 1， b3【试题解析】 由 一(ax+b+2)0 直线 y=ax+b+2 可看成 f(x
8、)= 1b+21，故 b311 【正确答案】 7【试题解析】 f(x)dx2f(2)一f(x) 2f(2)一 f(2)+f(0)712 【正确答案】 一 dx【试题解析】 对数求导法，lnyxln(1+sinx) ，则 y=ln(1+sinx)+ 所以yln(1+sinx)+ x=，因此，dy x=dx13 【正确答案】 【试题解析】 14 【正确答案】 a 2【试题解析】 左边 e a，右边etdtae a et(a 1)a，所以 ea (a1)e a，故 a215 【正确答案】 C【试题解析】 dxC三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。16 【正确答案】 17 【正确答案】 当 x0 时
9、，F(x)=所以 F(x)=当 x0 时，显然 F(x)处处连续，又因为所以F(x)在 x=0 处也连续，综上可知， F(x)在( 一，+)内处处连续 18 【正确答案】 由 f(x)=(x+1)3 =(x+1)3 知，定义域 xR，x=1是不可导点当 x1 时，f(x)=3(x+1) 2 (x+1)3令 f(x)=0，得到驻点 x=1，x= 当 x1 或 x 时，f(x)0；当 x1 时，f(x) 0，故函数 f(x)的单调增区间为 x(一， ，1，+) ；单调减区间为 ( ，1) 19 【正确答案】 当 0x1 时，f(x)= xn(1+xn+= =x；当 1x2 时，f(x)=x2；当
10、x2 时 f(x)=所以 f(x)=20 【正确答案】 设 x=t2，则 f(x)= (x0) 由公式：f(x)一 f(0)= f(t)dt； 又因为： f(t)dt= du=2 du=2 (u1)du+2du=(u22u) +2ln(u1) =x2 +2ln( +1)21 【正确答案】 原方程可化为一阶线性微分方程 y+ ，其中 P(x)=，Q(x)= 故原方程的通解为 y=eP(x)dx Q(x).eP(x)dxdx+C=dx+C=eln(lnx) eln(lnx)dx+C= lnxdx+C=将初始条件 y x=e=1 代入，得到 C= 故微分方程xlnxdy+(ylnx)dx=0 满足初
11、始条件 y x=e=1 的特解为 y=22 【正确答案】 据题意，所围平面图形如下阴影部分所示所求体积 Vy= (6 一 y)2dy dy = (x213y36)dy=23 【正确答案】 令 g(x)=arctanx，则 g(x)= 因 (1)nxn，x(1，1)，所以 (1) nx2n，x(1，1)所以 g(x)=(1) nx2n，x (1，1)将幂级数 (1) nx2n 逐项积分，可得，x( 1，1) 另一方面 g(t)dt=g(x)一 g(0)=g(x)故 g(x)=，x( 1，1) 所以 f(x)=xarctanx= ，x (1，1)四、综合题24 【正确答案】 据题意，函数 y= .
12、(x 一 1)的定义域为 x(一，+)，且 y=，令 y=0，解得唯一驻点 x= y=，令 y=0，解得 x= 另外，显然 x=0 是函数y= .(x 一 1)的不可导点则将函数 f(x)的定义域划分，并列表如下：由表可知，函数 f(x)的单调增区间为( 一，0)，( ，+)函数 f(x)的单调减区间为0， 函数 f(x)在 x=0 处取得极大值，且极大值为 f(0)=0 函数 f(x)在 x=处取得极小值，且极小值为 f 函数 f(x)的凹区间为或(一，25 【正确答案】 据题意得 f(x)一 f(x)=(a+1)所以 f(x)=dx+C=x2.(a+1).( )dxC=x 2( C)=Cx
13、2(a1)x 再由 f(1)=1 知 Ca故 f(x)ax 2(a1)x 令 f(x)=0，求得曲线与 x 轴的两个交点分别为 x=0，x=1+ 所以由曲线 y=f(x)(x1)与直线 x=1，y=0所围成的平面图形 D 如下图所示 平面图形 D 的面积= ax 2+(a+1)xdx=( = ，所以 a=1，即 f(x)=x 2+2x26 【正确答案】 由(1)知 f(x)x 2+2x，则平面图形 D 绕 x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积 Vx=27 【正确答案】 令 yx 2+2x，所以 y1(x1) 2，x=1+ (舍去)，x=1一 平面图形 D 绕 y 轴旋转一周所形成的旋转体的体积 Vy=.1228 【正确答案】 因为 f(x)在闭区间a ，b上连续，且 ac db 所以 f(x)在闭区间c， d上连续，故 f(x)在闭区间c，d 上可取得最大值 M 和最小值即 mf(x)M，xc，d 所以 mf(c)M，mf(d)M 又因 P，q 为任意正常数所以 pmpf(c)pM，qmf(d)qM 所以 m M 由介值定理可知，至少存在一点(c， d) (a，b) ，使得 f()
