1、浙江专升本（高等数学）模拟试卷 4 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 曲线 y= 3 的水平渐近线方程为 ( )（A）x0（B） y3（C） y0（D）y22 已知函数 f(x)在(，)内可导，周期为 4，且 1，则曲线 y=f(x)在点(5，f(5)处的切线斜率为 ( )（A）（B） 0（C）一 1（D）一 23 下列不等式中正确的是 ( )（A） ln2xdx（B） x2lnxdx0（C） x3dx0（D） ex dx ey2 dx4 平面 1：x 一 4y+z 一 2=0 和平面 2：2x 一 2yz 一 5=0 的夹角为 ( )（A）（B）（C）
2、（D）5 下列正项级数收敛的是 ( )（A）（B）（C）（D）二、填空题6 _7 y一 3y+10y=0 的通解为 _8 定积分 (1+xcos3x)出的值为_ 9 函数 y=lnarcsinx 的连续区间为_10 设 f(x)=ex ，则 dx_11 设函数 f(x)在0，+)上连续，且 f(t)dt=x，则 f(7)=_12 级数 的和为_13 曲线 x2+xy+2y2=8 上的点 (2，1)处的切线方程为 _14 设 f(x)为奇函数，则当 f(x0)=3 时，f( x 0)_15 f(x)=2x 在 x=1 处的幂级数展开式_三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。16 17 求函数 的
3、间断点，并说明其所属类型18 判别级数 的敛散性19 求通过点(1，1，1) 且与直线 垂直，又与平面 2xz 一 5=0 平行的直线方程20 设函数 f(x)满足关系式：f(x)=2x f(x)dx求解 f(x)21 求函数 f(x)=x4(12lnx 一 7)的凹凸区间和拐点22 计算定积分 f(x 一 1)dx，其中 f(x)=23 将函数 f(x)= 展开成 x 一 1 的幂级数，并写出收敛区间四、综合题24 设 x0，n 为正整数，证明：f(x)= (t 一 t2)sin2ntdt 的最大值不超过24 设函数 f(x)在1，)上连续，若由曲线 y=f(x)，直线 x1，x=t(t1)
4、与 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所成的旋转体体积为 V(t)= t2f(t)一 f(1)，求：25 y=f(x)所满足的微分方程；26 该微分方程满足条件 y x=2= 的解26 己知函数 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)=1，证明：27 存在 (0，1)，使得 f()=1 一 ；28 存在两不同的点 ， (0，1)，使得 f()f()=1浙江专升本（高等数学）模拟试卷 4 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 B【试题解析】 由于 一 3)3，则：y3 为水平渐近线2 【正确答案】 D【试题解析
5、】 导数定义 f(1)1 所以 f(1)2可见选项 D 正确3 【正确答案】 B【试题解析】 由定积分的性质可知，若在闭区间a，b 上，f(x)0，则 f(x)dx0(ab) ；f(x) g(x) ，则 f(x)dx g(x)dx(ab) ，易知选项 A，C，D 均错误，只有选项 B 正确4 【正确答案】 D【试题解析】 平面 1 的法向量 n1=(1，一 4，1)，平面 2 的法向量 n2=(2，一 2，一 1)cos(n1，n 2)= ，故(n 1，n 2)= ，选项 D 正确5 【正确答案】 C【试题解析】 对于选项 A，同敛性，由 发散，得到 发散；对于选项 D，同理由 =1，可知发散
6、，对于选项 B，因为 的一般项 ，其极限为 0，故由级数收敛的必要条件可知 是发散的，对于 C 选项，利用比较判别法的极限形式可知 收敛二、填空题6 【正确答案】 1【试题解析】 由=17 【正确答案】 y= (C1cos3x+C2sin3x)【试题解析】 特征方程为 r23r+10=0，特征根为 r1= +3i，r 2= 3i，故微分方程 y一 3y+10y=0 的通解为 y= (C1cos3x+C2sin3x)8 【正确答案】 2【试题解析】 xcos3xdx=2=29 【正确答案】 (0，1【试题解析】 由 0arcsinx 可得 0x1，所以函数 y=lnarcsinx 的连续区间为x
7、(0，110 【正确答案】 +C【试题解析】 f(t)dt=f(t)+C=f(lnx)+C=+C11 【正确答案】 【试题解析】 方程 f(t)dt=x 两边同时对 x 求导，得 f(x3 一 1).3x2=1 把 x=2 代入可得 f(7)= 12 【正确答案】 【试题解析】 直接由几何数求和知13 【正确答案】 y=【试题解析】 隐函数方程求导，2xyxy4y.y=0，将 x=2，y=1 代入可得 y(2)= ，所以，过点点(2，1)处的切线方程为 y 一 1= (x2)，即 y= 14 【正确答案】 3【试题解析】 因 f(x)是奇函数，所以 f(x)=f(x)又因f(x)=f(x)，而
8、f( x)=一 f(x)=f(x) ，故f(x)=f(x)，即 f(x)=f(x) 所以 f(x 0)=f(x0)=315 【正确答案】 (x1) n【试题解析】 因为 ex= ，x(一，+)，所以 2x=2.2x1 =2e(x1)ln2 =2(x1) n，x(，+)故 2x= (x1) n三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。16 【正确答案】 17 【正确答案】 函数 f(x)= 有间断点 x=0，x=1,x=1 因为所以1，1，故 x0 为跳跃间断点 ，但 f(x)在 x=1 处无定义，故 x=1 为可去间断点 ，故 x1 为无穷间断点18 【正确答案】 因为对任意正整数 n， ，而对于
9、正项级数 ，由于 1，所以由比值判别法可知，正项级数参收敛，从而由比较判别法知，正项级数 收敛19 【正确答案】 由已知得，直线 的方向向量为 s0=(1，2，3)，平面2xz 一 5=0 的法向量 n=(2，0，一 1)，则所求直线的方向向量 s=s0n=(一 2，7，一 4) 由点向式方程知，所求直线方程为20 【正确答案】 令 s= lf(x)dx则 f(x)=2x f(x)dx变为：f(x)=2xs 在此等式两边关于区间0，1 求积分得到： f(x)dx= (2xs)dx即为：s=1 一 s 则s= f(x)=2xs=2x21 【正确答案】 函数 f(x)的定义域为(0 ，) ，且 f
10、(x)=16x3(3lnx1) f(x)=144x2lnx，令 f(x)=0 可得 x=1， 当 x1 时，f(x)0；当 x1 时，f(x) 0，所以 f(x)的凹区间为(1，)，凸 区间为(0，1) 拐点为 (1，7)22 【正确答案】 =(e t )+ln(t1) =e3+ln21 23 【正确答案】 因为 =f(x)，且 xn，x(1，1) 所以 (x1) n，1x11 所以 f(x)=n(x1) n1 ，x(0，2)四、综合题24 【正确答案】 f(x)= (tt2)sin2ntdt，x0，+)，nN f(x)=(xx 2)sin2nx=x(x 1)sin2nx，令 f(x)=0，得
11、驻点为 x=0，x=1，x=k(k Z 且 k0)当0x1 时，f(x)0；当 x0 或 x1 时，f(x) 0，f(x) 在 x=0 处取得极小值，在 x=1 处取得极大值，在 x=k(kz 且 k0)不取极值，且极大值 f(1)是最大值 又f(1)= (t 一 t2)sin2ntdt (t 一 t2)t2ndt 而f(1)，即 f(x)= (t 一 t2)sin2ntdt 的最大值不超过25 【正确答案】 据题意，V(t)= f(x)2dx= t2f(t)一 f(1)，即 3 f(x)2dx=t2f(t)一 f(1)上式两边同时对 t 求导得， 3f2(t)=2tf(t)+t2f(t)，即
12、 y=f(x)所满足的微分方程为x2y+2xy3y 2=026 【正确答案】 将微分方程 x2y+2xy3y 2=0，化为 ，即为齐次方程令 u= ，则 y=ux， +u，代入方程并化简得 x =3u23u，变量分离得 ，两端积分并代入 u= 得通解为 yx=Cx 3y，再把 y x=2= 代入可得 C= 1，故该微分方程满足条件 y x=2= 的解为 y 一 x=x 3y27 【正确答案】 令 F(x)=f(x)x1，x0，1因为 f(x)在0，1上连续，且 f(0)=0，f(1)=1所以因为 F(x)在0，1 上连续，且 F(0)=10，F(1)=10所以由零点定理可知，至少存在一点 (0，1)，使得 F()=0，即 f()=1 一 28 【正确答案】 因为 f(x)在0 ， ，1上连续，在(0，)，( ，1)内可导，所以由拉格朗日中值定理知，至少分别存在一点 (0，)， (，1)，使得 f()f(0)=f()，f(1) 一 f()=f()(1 一 )所以 f()f()=1
