1、湖北省专升本（高等数学）模拟试卷 15 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 函数 y=ln(2x)+arcsin( 1)的定义域为 ( )（A）x0（B） 0x1（C） 0x2（D）0x42 已知 f(x2)=x 24x7，则 f(x)的奇偶性是 ( )（A）奇函数（B）偶函数（C）非奇非偶函数（D）既奇又偶的函数3 设 x0 时，无穷小量 1cosxax b，则 ( )（A）以 a=2，b=1（B） a=1，b=2（C） a= ，b=2（D）a=2 ，b=4 设 f(x)= 在 x=0 处连续，则 a= ( )（A）0（B） 1（C）（D）e5 设函数
2、f(x)在 x=1 处可导，且 =2，则 f(1)= ( )（A）2（B） 2（C） 1（D）16 设函数 y=y(x)是由方程 2xy=x+y 所确定，则 y x=0= ( )（A）ln2（B） ln21（C） ln2+1（D）27 曲线 在点(0，1)处的法线方程为 ( )（A）2x+y1=0（B） x2y+1=0（C） 2x+y+1=0（D）x2y1=08 设 y=e2arccosx，则 dy= ( )9 设 y= ，则 y= ( )10 曲线 y=1+ ( )（A）有水平渐近线，无垂直渐近线（B）无水平渐近线，有垂直渐近线（C）有水平渐近线，有垂直渐近线（D）无水平渐近线，无垂直渐近线
3、11 设 f(x)=xln(1+x)，则在区间(0 ，+)内 ( )（A）f(x)单调减少，曲线 y=f(x)为凸的（B） f(x)单调增加，曲线 y=f(x)为凸的（C） f(x)单调增加，曲线 y=f(x)为凹的（D）f(x)单调减少，曲线 y=f(x)为凹的12 下列函数中，在给定区间上满足罗尔定理条件的是 ( )（A）f(x)= ，1，1（B） f(x)=xex ，1，1（C） f(x)= ， 1，1（D）f(x)=x，1，113 设两函数 f(x)及 g(x)都在 x=a 处取得极大值，则函数 F(x)=f(x).g(x)在 x=a 处 ( )（A）必取得极大值（B）必取得极小值（C
4、）不可能取得极值（D）是否取得极值不能确定14 设 =x2+C，则 f(x)= ( )（A）2x（B） e2x（C） ln2x（D）x 215 定积分 cos5xdx= ( )16 曲线 y=0x (t1)(t2)dt 在点(0，0)处的切线方程是 ( )（A）x=0（B） y=2x（C） y=0（D）y=x+117 设 f(x)在0，1上连续，且 01f(x)dx=2，则 f(cos2x)sin2xdx= ( )（A）2（B） 3（C） 4（D）118 下列广义积分收敛的是 ( )19 下列四组角中，可以作为一条有向直线的方向角的是 ( )（A）30，45，60（B） 45，60 ，60（C
5、） 30，90 ，30（D）0，30，15020 设直线 l 为 ，平面 为 4x2y+z2=0，则 ( )（A）直线 l 平行于平面 （B）直线 l 在平面 上（C）直线 l 垂直于平面 （D）直线 l 与平面 斜交21 设 z=xy2+ ，则 = ( )（A）1（B） 0（C） 1（D）222 设 z= ，则 dz= ( )23 函数 z=x3y 3+3x2+3y29x 的极小值点为 ( )（A）(1 ，0)（B） (1，2)（C） (3，0)（D）(3，2)24 交换二次积分的积分次序，则 1 0dy1y 2f(x，y)dx= ( )（A） 12dx1 x0f(x，y)dy（B） 1 0
6、dx1x 2f(x，y)dy（C） 12dx01x dxf(x，y)dy（D） 1 0dx21x f(x，y)dy25 设 D 是圆周 x2+y2=2ax，(a0) 与直线 y=x 在第一象限内围成的闭区域，则f(x，y)d= ( )26 设曲线积分 L(x4+4xyp)dx+(6xp1 y25y 4)dy 与路径无关，则 p= ( )（A）3（B） 2（C） 1（D）127 数项级数 是 ( )（A）绝对收敛级数（B）条件收敛级数（C）发散级数（D）敛散性不定的级数28 设幂级数 在 x=1 处条件收敛，则级数 ( )（A）条件收敛（B）绝对收敛（C）发散（D）敛散性不能确定29 微分方程
7、dy=x(2ydxxdy) 的通解为 ( )（A）x 2+y2=Cx（B） y=C(1+x2)（C） y*=C(1+x2)（D）y 2=Cx2+xy30 微分方程 y4y+4y(2x+1)e x 的特解可设为 ( )（A）y *=(ax+b)ex（B） y*=x(ax+b)ex（C） y*=ax2ex（D）y *=x2(ax+b)ex二、填空题31 设 f(x+2)=x2+1，则 f(x1)=_32 极限 =_33 曲面 xyz+cosxyz=2 在点(1 ，1，0)处的切平面方程为_34 设 f(x)=x(x1)(x2)(x 3)(x4)，则 f(4)=_35 函数 y=x3 在区间1，2
8、上满足拉格朗日中值定理条件的 是_36 37 已知 f(t)dt=x4，则有 01f(x)dx=_38 已知矢量 a=3，2，2与 b= 垂直，则 m=_39 若 f(x，y)= ，则 fx(2，1)=_40 判断积分符号 dxdy_0，其中区域 D 为 x2+y2441 已知函数 f(x)有连续的导数，当 f(x)满足_时，曲线积分ydxf(x)dy 与积分路径无关，若 f(1)= ，则 f(x)=_42 若正项级数 收敛，则级数 _43 幂级数 的收敛区间为_44 微分方程 yy=0 的通解为_45 微分方程 y2y+y=x2 的通解为_三、综合题46 向宽为 a 米的河修建一宽为 b 米
9、的运河，两者直角相交，问能驶进运河的船，其最大长度为多少?47 求由曲线 y2=(x1) 3 和直线 x=2 所围成的图形绕 Ox 轴旋转所得旋转体体积四、证明题48 证明：当 0x 时，sinx+tanx2x湖北省专升本（高等数学）模拟试卷 15 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 C【试题解析】 因 ln(2x)存在的条件为：2x0；arcsin( 1)存在的条件为：1 11，求解以上两个不等式，可得：0x2，选项 C 正确2 【正确答案】 B【试题解析】 因 f(x2)=x 24x7，所以 f(x)=x211，故 f(x)为偶函数3 【正
10、确答案】 C【试题解析】 因 x0 时，1cosx ，又 1cosxax b，故 ax b，于是比较得：a= ，b=2，选项 C 正确4 【正确答案】 B【试题解析】 因 ，由 f(x)在 x=0 处连续知， =f(0)，故 a=1，选项 B 正确5 【正确答案】 C【试题解析】 因，由已知，2f(1)=2，故 f(1)=1选项 C 正确6 【正确答案】 B【试题解析】 对方程两边同时微分，得：2 xy.ln2.(ydx+xdy)=dx+dy，于是 y(x)=，注意到 x=0 时，y=1，故 y x=0=(ln21)选项 B 正确7 【正确答案】 A【试题解析】 因 ，于是点(0，1)处即 t
11、=0 时，切线的斜率 k1= ，进而法线的斜率为 k2= =2，故所求法线方程为 y1=( 2)(x0)，即 2x+y1=08 【正确答案】 C【试题解析】 因 ，故选项 C 正确9 【正确答案】 B【试题解析】 因，迭项 B 正确10 【正确答案】 C【试题解析】 因 ，于是，曲线有水平渐近线 y=1又 =+，故曲线有垂直渐迈线x= 1，选项 C 正确11 【正确答案】 C【试题解析】 因 y=1 0，x(0，+)，故 f(x)单调递增；又 y=0，故曲线 y=f(x)为凹的曲线弧12 【正确答案】 A【试题解析】 选项 A，由其定义域知，f(x)在 1，1上连续，又 f(x)= ，于是 f
12、(x)在 (1，1) 内可导，且 f(1)=1=f(1)，故选项 A 正确B 选项中，f(1)f(1)；C 选项中，f(x)在 x=1 处不在连续； D 选项中，f(x)在 x=0 处不可导13 【正确答案】 D【试题解析】 如果取 f(x)=g(x)=x 2，则两者在 x=0 处皆取得极大值，而 f(x).g(x)=x4 在 x=0 处却取得极小值，于是选项 A、C 不正确；又若取 f(x)=x 2，g(x)=1 x2，则 f(x).g(x)在 x=0 处皆取得极大值，而 F(x)=f(x).g(x)=x 2(1x 2)=x4x 2，F(x)=4x 32x=2x(2x 21)=4(x 2 )
13、，于是， x0 时，F(x)0；0x ，F(x)0；故 F(x)=f(x).g(x)在 x=0 处取得极大值，选项 B 不正确，综上所述，选项 D 正确14 【正确答案】 B【试题解析】 因 =f(lnx)d(lnx)=f(lnx)+C=x2+C，故=2x，f(lnx)=2x 2；令 lnx=t，则 f(t)=2e2t，故 f(x)=e2x+C 15 【正确答案】 A【试题解析】 因 ，显然，=0；从而，原式= 选项 A 正确16 【正确答案】 B【试题解析】 因 y=(x1)(x2)，于是 y x=0=2，由导数的几何意义知，点(0，0)处的切线斜率为 k=2，进而切线方程为：y=2x 选项
14、 B 正确17 【正确答案】 A【试题解析】 选项 A 正确18 【正确答案】 D【试题解析】 对于选项 A： ，发散；对于选项 B，发散；对于选项 C： ，发散；对于选项 D： ，收敛，选项 D 正确19 【正确答案】 B【试题解析】 任一有向直线的方向角 、 、 满足： cos2+cos2+cos2=1，经验证知，选项 B 正确20 【正确答案】 C【试题解析】 直线 l 的方向向量为：s= =28i+14j7k；平面 的法向量 n =4，2，1=4i 2j+k故 sn，即直线 l 垂直于平面 选项 C 正确21 【正确答案】 D【试题解析】 因 z=xy2+ ，于是 f(x，1)=x+e
15、 x， =fx(0，1)=(1+e x) x=0=222 【正确答案】 C【试题解析】 23 【正确答案】 A【试题解析】 因 z=x3y 3+3x2+3y2=9x，于是， =3x2+6x9， =3y 2+6y，令，求解得驻点(1，0)、(1，2) ，( 3，0)、( 3，2)，又；故对于点(1，0)：B2AC=0 126=720，又 A=120，故(1，0)点为 f(x)的一个极小值点；对于点(1 ，2) ： A=12，B=0，C=6，B 2AC=72 0，该点不为极值点；对于点(3， 0)：A=12，B=0，C=6，B 2AC=72 0，该点不为极值点；对于点(3， 2)：A=12，B=0
16、，C=6，则 B2AC= 720，而 A=120，点(3， 2)为函数的极大值点综上所述，选项 A 正确24 【正确答案】 A【试题解析】 因已知积分的积分区域 D 为： ，如图积分区域 D又可表示为： ，于是 1 0dy1y 2f(x，y)dx= 12dx1x 0f(x，y)dx 选项A 正确25 【正确答案】 C【试题解析】 因积分区域 D 如图所示， 区域 D 可表示为：，选项 C 正确26 【正确答案】 A【试题解析】 因 P(x，y)=x 4+4xyp，Q(x ，y)=6x p1 y25y 4，由于积分与路径无关，于是有： ，即：4pxy p1 =6(p1)x p2 y2,比较两边，
17、得：p=3 故选项 A正确27 【正确答案】 A【试题解析】 因级数的绝对值级数为： 是 p=21的 p-级数，收敛；故由比较判别法知，绝对值级数收敛，即原级数绝对收敛28 【正确答案】 B【试题解析】 由于级数 an(x1) n 在 x=1 处条件收敛，根据幂级数的绝对收敛定理得知，级数 an(x1) n 的收敛区间为：(1，3)：又 x=2 点在此区间内，故由 x=2 得到的数项级数绝对收敛，即：级数 绝对收敛，选项 B 正确29 【正确答案】 B【试题解析】 原方程可化为： ，故原方程的通解为y= =C(1+x2)30 【正确答案】 A【试题解析】 因微分方程对应的特征方程为：r 24r
18、+4=0，故有特征根r 1，2 =2。又自由项 f(x)=(2x+1)ex，=1 ： 不是特征根，故特解应设为：y *=(ax+b)ex，(a，b为待定常数)，选项 A 正确二、填空题31 【正确答案】 x 26x+10【试题解析】 由 f(x+2)=x2+1=(x+2)24x3=(x+2) 24(x+2)+5 得 f(x)=x24x+5，所以 f(x1)=(x1) 24(x1)+5=x 26x+10 32 【正确答案】 1【试题解析】 33 【正确答案】 xz 1=0【试题解析】 令 F(x，y， z)=xyz+cosxyz 一 2，所以曲面上任一点处的切平面的法向量为：n=F x，F y，
19、F z)=1yzsinxyz，一 zxxsinxyz，一 yxysinxyz)， 于是点(1 ，1，0)处的切平面的法向量为：n 1=(1，0，1)， 故切平面方程为：(x1)+0(y1)(z0)=0 即 xz 1=0 34 【正确答案】 4！【试题解析】 由解析式可知，在导函数中，有四项含有(x4)的因子，将 4 代入这些项全为 0，而仅有 x(x 一 1)(x 一 2)(x 一 3)不含(x 一 4)因子，将 4 代入得 f(4)=4！35 【正确答案】 =1【试题解析】 y=3x 2，所以 ， 2=1，在开区间(1 ，2) 上， 只能取值 136 【正确答案】 0【试题解析】 因为 为一
20、定数，而定数的导数为 037 【正确答案】 1【试题解析】 取 x2=1，则 x4=138 【正确答案】 4【试题解析】 根据向量垂直的充要条件得 3+52m=0 所以 m=439 【正确答案】 【试题解析】 40 【正确答案】 【试题解析】 将积分区域 D 分成 D1，D 2，D 3，其中41 【正确答案】 【试题解析】 时曲线积分与路径无关，所以有 f(x)+ f(x)+1=0 即 y+ +1=0，xy+y= x，(xy)=x，xy= x2+C，当x=1 时，42 【正确答案】 收敛【试题解析】 因 收敛所以级数 收敛由正项级数比较原理，级数 收敛43 【正确答案】 (0，1)【试题解析】
21、 所以收敛半径 R= 所以收敛区间为(0，1)44 【正确答案】 y=C 1+C2ex【试题解析】 因特征方程为 r2r=0 所以 r=0，r=1 所以原方程的通解为y=C1+C2ex45 【正确答案】 y=(C 1+C2x)ex+x【试题解析】 先求对应齐次方程 y2y+y=0 的通解，因特征方程为：r22r+1=0，r=1 为重根，所以齐次方程的通解为 Y=(C1+C2x)ex设 y*=Ax+B 为原方程的特解则 y*=A，y*=0，将 y*、y*、y*代入原方程有：2A+(At+B)=x 一 2，所以 A=1，B=0，于是 y*=x，原方程的通解为 y=(C1+C2x)ex+x三、综合题
22、46 【正确答案】 如图可知船的最大长度不能超过 BC 的最小长度设 BC 长度为l，则 l=acsc+bsec， l= (6tan3a)令 l=0由 不可能为 或 0， 得。所求船长为 l=acos+bsec 其中 =47 【正确答案】 显然曲线 y2=(x1) 3 关于 x 轴对称，则它和直线 x=2 围成图形也关于 x 轴对称又曲线和 x 轴交点为(1，0)因此 V= 12y2dx=12(x1) 3dx= (立方单位)四、证明题48 【正确答案】 设 f(x)=sinx+tanx2x，则在 0x 内所以 f(x)单增，x0，则 f(x)f(0)=0，故 sinx+tanx2x， 显然 x=0 时，sinx+tanx2x 于是0x 时，sinx+tanx2x
