1、湖北省专升本（高等数学）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 函数 y=lnx+arcsinx 的定义域为( )（A）(0 ，+)（B） (0，1（C） -1，1（D）-1，0)2 函数 f(x)=x 是( )（A）偶函数（B）奇函数（C）非奇非偶（D）可能是奇函数也可能是偶函数3 极限 =( )（A）23（B） 32（C） 0（D）4 已知 =6，则 a，b 取值为( )（A）a=-2，b=-3（B） a=0，b=-9（C） a=-4，b=3（D）a=-1，b=-65 要使函数 f(x) (n 为自然数)在 x=0 处的导函数连续，则 n=(
2、 )（A）0（B） 1（C） 2（D）n36 曲线 y= 的渐近线有( )（A）1 条（B） 2 条（C） 3 条（D）4 条7 函数 f(x)=(x2-x-2)|x3-x|不可导点个数是( )（A）0（B） 1（C） 2（D）38 函数 f(x)在a，b上连续是积分 abf(x)dx 存在的( )（A）充分条件（B）必要条件（C）充要条件（D）既不充分又不必要9 若 f(x)= 0xsin(t-x)dt，则必有( )（A）f(x)=-sinx（B） f(x)=-1+cosx（C） f(x)=sinx（D）f(x)=1-sinx10 已知 f(x)连续，且 f(0)=0，设 (x)= 则 (0
3、)=( )（A）f(0)（B） f(0)（C） 1（D）1311 已知向量 a、b 的夹角为 4，且|a|=1 ，|b|= 则|a+b|=( )12 曲面 x2+y2=1+2x2 表示 ( )（A）旋转单叶双曲面（B）旋转双叶双曲面（C）圆锥面（D）椭球面13 极限 =( )（A）e -1（B） e（C） 1（D）014 设 z=f(x，y)可微，且当 y=x2 时，f(x ，y)=1 及=x，则当 y=x2(x0)时( )（A）12（B） -（C） 0（D）115 利用变量替换 u=x，v=yx，一定可把方程 x =z 化成( )16 曲面 xy+yz+zx=1 在点 P(1，-2，-3)处
4、的切平面方程为( )（A）5x+2y+z+2=0（B） 5x-2y+z+2=0（C） 5x+2y-z+2=0（D）5x+2y-z-4=017 设 D 由 y2=x，y=x 围成，则 xydxdy=( )18 设 D 由 x0，y0 及 x2+y21 所围成，则 xy2dxdy=( )19 L 为 y=x3，y=x 所围边界线第一象限部分，f(x，y)连续，则 Lf(x，y)ds=( )20 L 是沿 y=1-|1-x|从点 O(0，0)到点 B(2，0)的折线段，则曲线积分 L(x2+y2)dx-(x2-y2)dy=( )（A）53（B） 23（C） 43（D）121 （A）收敛于 0（B）收
5、敛于（C）发散（D）敛散性无法确定22 已知幂级数 在点 x=2 处收敛，则实数“的取值范围为( )（A）1a3（B） 1a3（C） 1a3（D）1a323 已知 anx2n 的收敛域是( )（A）-1，3（B） -2，2（C）（D）-4，424 设连续函数 f(x)满足 f(x)=02xf(t2)dt+ln2，则 f(x)=( )（A）e xln2（B） e2xln2（C） ex+ln2（D）e 2x+ln225 微分方程 y“+y=2x2ex 的特解应设为 y*=( )（A）(Ax 2+Bx+C)ex（B） (Ax3+Bx2+Cx)ex（C） (Ax2+Bx+C)e-x（D）(Ax 3+B
6、x2+Cx)e-x26 求极限 =( )（A）1（B） 0（C） 12（D）227 若 un 满足( )（A）收敛（B）发散（C）敛散性不确定（D）收敛于 028 微分方程 y“+xy=1 的通解为 ( )（A）y=-x+C 1ln|x|（B） y=x+C1ln|x|+C2（C） y=x+C2（D）y=C 1ln|x|+C229 函数 f(x)在点 x=1 处可导，且 ，则 f(1)=( )30 函数 f(x)是连续函数，则 -aax2f(x)-f(-x)dx=( )（A）1（B） 2（C） -1（D）0二、填空题31 设 f(x)+f( )=2x,其中 x0，x1，则 f(x)=_32 极限
7、 =8，则 a=_，b=_33 曲线 y=1 x 上的切线斜率等于- 的点的坐标为_34 设 y= 则 dy|x=2=_35 函数 y=2x3-9x2+12x-3 在区间(3，10)上为单调递 _36 曲线 y=4- 的拐点为_37 曲面 z-ez4-2xy=3 在点(1，2，0)处的切平面方程为 _38 已知 f(x)的一个原函数为(1+sinx)lnx，则xf(x)dx=_ 39 函数 y=0x (t-1)(t+1)2dt 的极值点是_40 不定积分41 已知点 A(0，0，0) ，B(1 ，0，-1) ，C(0，1，2)则ABC 中 BC 边上的高为_42 设 z=z(x，y)是由方程
8、z-y-x+xez-y-x=0 所确定，则 dz=_43 设区域 D 由 x=2，y= dxdy=_44 将函数 y= 展开为(x-5) 的幂级数是_ 45 微分方程 y“+y=xcos2x 的特解应设为 y*=_三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。46 47 函数 y=y(x)由方程 arctan 确定，求 y48 计算广义积分 0+ dx49 求函数 z=exysin(x+y) 的全微分50 计算 dxdy，其中区域 D 由直线 y=0，y=x 及 x=1 围成51 求 C ds，其中 C 为圆 x2+y2=a2，直线 y=x 及 x 轴在第一象限所围扇形边界线52 将函数 f(x)=
9、展开成关于 x 的幂级数53 求微分方程 y+ =0 满足条件 y|x=0=1 的特解四、综合题54 向宽为以米的河修建一宽为 b 米的运河，两者直角相交，问能驶进运河的船，其最大长度为多少?55 求由曲线 y2=(x-1)3 和直线 x=2 所围成的图形绕 Ox 轴旋转所得旋转体体积五、证明题56 证明：方程 ln(1+x2)=x-1 有且仅有一个实根湖北省专升本（高等数学）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 B【试题解析】 要使函数有意义，须 ，求解得：0x1选 B2 【正确答案】 A【试题解析】 因 f(-x)=-x =f(
10、x)3 【正确答案】 B【试题解析】 用等价无穷小代换简单些，4 【正确答案】 B【试题解析】 因为当 x3 时，分母0 必有分子0，否则一定无极限，即有9+3a+b=0，应用洛必达法则，左端= (2x+a)=6+a=6，所以 a=0，这时 b=-95 【正确答案】 D【试题解析】 A 错，因函数在 x=0 处不连续；B 错，虽然函数在 x=0 处连续，但不可导；C 也错，函数在 x=0 处可导，进而函数在(-，+)上均可导，但导函数在 x=0 处不连续，下面证明所以当 x0 时，f(x)不存在，所以 f(x)在 x=0 处不连续；仅 D 正确，当 n3 时，f(x)=当 x0 时，f(x)=
11、nx n-1sin，此时有 f(x)f(0)=0x0 所以导函数 f(x)在 x=0 处连续6 【正确答案】 B【试题解析】 当 x0 时，y，所以 x=0 为垂直渐近线，当 x时，y 4，所以 y=4 为水平渐近线，当 x1 或 x-22 时，y ，所以在x=1，x=2 处无渐近线7 【正确答案】 C【试题解析】 因 f(x)=(x-2)(x-1)|x|x+1|x-1|，可知函数在 x=0，x=-1 处不可导，而在 x=1 处函数可导，原因是函数 g(x)=(x-1)|x-1|在 x=1 处左、右导数存在且相等，即 g(1)=08 【正确答案】 A【试题解析】 连续为条件，积分存在为结论，显
12、然由|f(x)dx 存在 连续，肯定不是必要条件，但 成立，所以连续为可积的充分条件，不是必要条件9 【正确答案】 A【试题解析】 令 t-x=u，dt=du，t=0，u=-x ，t=x，u=0 所以 f(x)=-0-xsinudu=-sin(-x)(-1)=-sinx10 【正确答案】 B【试题解析】 为求 (0)，先判断 (x)在 x=0 处连续，考虑=f(0)=0=(0)，所以 (x)在 x=0 处连续，而11 【正确答案】 D【试题解析】 因为|a+b| 2=(a+b)2=a2+b2+2ab=1 2+12 【正确答案】 A【试题解析】 该曲面可看做由双曲线 绕 x 轴旋转而成13 【正
13、确答案】 A【试题解析】 14 【正确答案】 B【试题解析】 15 【正确答案】 A【试题解析】 16 【正确答案】 A【试题解析】 令 F(x，y， z)=xy+yz+zx-1，则曲面上任一点处的切平面的法向量为：n=(Fx， Fy，F z=y+z，x+z，y+x 于是点 P(1，-2，-3)处的切平面的法向量为：n1=-5，-2 ， -1 故切平面方程为：-5(x-1)-2(y+2)-(z+3)=0 即 5x+2y+z+2=017 【正确答案】 C【试题解析】 观察被积函数先积谁都一样，再看积分区域 D，应先积 x，否则，会出现根号18 【正确答案】 C【试题解析】 用极坐标19 【正确答
14、案】 C【试题解析】 因为 I=L= +AO= +OA 当沿 y=x3 从 O 到 A 时，y=3x 2 这时 ds=dx 当沿 y=x 从 O 到 A 时，y=1 ，这时 ds= dx 所以 Lf(x，y)dx=01f(x，x 3)20 【正确答案】 C【试题解析】 L=OA+AB=012x2dx+12(x2+(2-x)2-(x2-(2-x)2dx=21 【正确答案】 B【试题解析】 22 【正确答案】 A【试题解析】 由幂级数的系数可得其收敛半径为 1，所以其收敛域为a-1，a+1，因为 2a-1，a+1)，即 a-12，2a+1 ，所以 1 a323 【正确答案】 C【试题解析】 由已知
15、条件知，幂级数的收敛半径为 2，且在端点处收敛，所以级数antn 收敛域为-2 ，23，即-2t2，令 t=x2，则-24 【正确答案】 B【试题解析】 f(x)=f(x) 2，即 y=2y，所以 y=Ce2x，当 x=0 时，y=ln2，所以C=ln2，所以 f(x)=e2xln225 【正确答案】 B【试题解析】 因为与方程对应的齐次方程 y“+y=0 的通解为 Y=C1+C2e-x，由于齐次方程中不含有 ex，且原方程缺函数 y，于是特解应设为： y*=(Ax2+Bx+C)xe x26 【正确答案】 C【试题解析】 (其中当 x1 时，lnxx-1)27 【正确答案】 A【试题解析】 2
16、8 【正确答案】 B【试题解析】 微分方程变形(xy)=1，所以 xy=x+C，即 y=1+ ，所以通解为y=x+C1ln|x|+C229 【正确答案】 B【试题解析】 f(1)=1 430 【正确答案】 D【试题解析】 被积函数 x2f(x)-f(-x)是奇函数，故 -aax2f(x)-f(-x)3dx=0二、填空题31 【正确答案】 【试题解析】 32 【正确答案】 -1；-4【试题解析】 联立，得 a=-1，b=-433 【正确答案】 【试题解析】 设切点坐标34 【正确答案】 【试题解析】 该题若直接求较麻烦，可先利用对数性质展开35 【正确答案】 增【试题解析】 y=2x 3-9x2
17、+12x-3，y=6x 2-18x+12=6(x-1)(x-2) 驻点x=1；x=2x 1，y0； 1x2，y0；x2，y 0 故在区间(3，10)上曲线单调递增36 【正确答案】 (1，4)【试题解析】 y=4-，x1，y“0；x1，y“ 0，所以曲线拐点为(1，4) 37 【正确答案】 2x+y-4=0【试题解析】 令 F(x，y， z)=z-ez+2xy-3，则曲面上任一点处的切平面的法向量为：n=(Fx， Fy，F z=2y，2x，1-e z 于是，点(1，2，0)处的切平面的法向量为n1=4， 2，0，故所求切平面方程为： 4(x-1)+2(y-2)+0(z-0)=0 即 2x+y-
18、4=038 【正确答案】 x(cosxlnx+ )-(1+sinx)lnx+C【试题解析】 由于xf(x)dx=xf(x)-f(x)dx，又(1+sinx)lnx 为 f(x)的一个原函数，因为 f(x)=(1+3sinx)lnx=coslnx+ 则f(x)dx=(1+sinx)lnx+C故xf(x)dx=(x)dxxlnx+ )-(1+sinx)lnx+C39 【正确答案】 x=1【试题解析】 y= (x-1)(x+1)2，令 y=0得 x=0，x=1，x=-1由于 y 的定义域为0，+) ，因此，有唯一驻点 x=1，当 0x1 时， y0，当 x1 时，y0所以 x=1 为极小值点40 【
19、正确答案】 ln|lnsinx|+C【试题解析】 41 【正确答案】 【试题解析】 42 【正确答案】 【试题解析】 F=z-y-x+xe z-y-xFx=-1+ez-y-x-xez-y-x，F y=-1-xez-y-x，F z=1+xez-y-x因此，dz=(1- )dx+dy本题也可方程两端取微分来做43 【正确答案】 【试题解析】 44 【正确答案】 )(n-5)2(2 x7)【试题解析】 45 【正确答案】 y*=(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x【试题解析】 微分方程 y“+y=xcos2x 所对应的齐次 方程为 y“+y=0特征方程为r2+1=0特征根为 r=i，齐次方
20、程的通解为 Y=C1cosx+C2sinx 对于 y“+y=x，由于方程含 y所以特解可设 ax+b 对于 y“+y=cos2x 考虑到齐次方程通解，所以特解可设 ccos2x+dsin2x 故原方程特解可设为 y*=(ax+b)(ccos2x+dsin2x) 即 y*=(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。46 【正确答案】 47 【正确答案】 方程两端 y 对 x 求导有 即xy-y=x+yy，所以 y=48 【正确答案】 令 =t，x=t 2，dx=2tdt，x=0，t=0；x+，t+所以0+ dx=20+te-tdt=-20+tde-t=-
21、2te-t|0+20+e-tdt=-2e-t|0+=249 【正确答案】 因 z=exysin(x+y)，于是 dz=de xysin(x+y)=d(exy)sin(x+y)+exydsin(x+y) =exy(ydx+xdy)sin(x+y)+e xycos(x+y)(dx+dy) =e xyysin(x+y)+cos(x+y)dx+xsin(x+y)+cos(X+y)dy (注：或先求偏导，再求全微分)50 【正确答案】 积分区域如图所示 由被积表达式知，该题必须先积 y，于是：51 【正确答案】 积分路径 C 如图所示 C=OA+ +BO52 【正确答案】 53 【正确答案】 变量分离
22、dy+exdx=0四、综合题54 【正确答案】 如图可知船的最大长度不能超过 BC 的最小长度设 BC 长度为l，则 l=acsc+bsec，l= (btan3-a)令 l=0由 不可能为 2 或 0，所求船长为 l=acsc+bsec 其中 =arctan55 【正确答案】 显然曲线 y2=(x-1)3 关于 x 轴对称，则它和直线 x=2 围成图形也关于 x 轴对称，又曲线和 x 轴交点为(1，0)因此 V= 12y2dx=12(x-1)3dx=4(立方单位)五、证明题56 【正确答案】 由方程：ln(1+x 2)=x-1 知，变量的取值范围为：x1令 f(x)=ln(1+x2)-x+1，于是 f(x)= 0，故 f(x)为严格递减函数又=-，从而由函数 f(x)单调性知，y=f(x)与 x 轴仅有一个交点，即方程有且仅有一个实根
