1、陕西专升本（高等数学）模拟试卷 6 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 设函数 ，当 x0 时，F(x)=f(x)，且 F(x)在点 x=0 处连续，则 F(0)等于( ) （A）-1 （B） 0（C） 1（D）22 设函数 f(x)=f(0)+2x+a(x)，且 ，则 f(0)等于( )（A）1（B） 2（C） 1 3 （D）3 设f(x)的一个原函数为 e-x，则 ( )（A）lnlnx+C（B）（C） x+C（D）4 如果级数 发散，那么级数 ( )（A）收敛（B）发散（C）敛散性不定（D）上述结论都不正确5 微分方程 xy+(1+x)y=xex 的
2、通解是( ) （A）y=e x+Ce-x（B） y=ex+2x+Ce-x（C）（D）y=2x(e x+Ce-x)二、填空题6 已知函数 f(x+y,ex-y)=4xyex-y，则函数 f(x，y)=_.7 曲面 在点 处的法线方程为_8 设 D=(x， y)0x 2+y24，则二重积分 在极坐标系下的二次积分是_.9 若 =_.10 微分方程 y=y的通解 y=_.三、综合题11 已知极限12 已知曲线 y=ax2+bx2+cx 在点(1，2)处有水平切线，且原点为该曲线的拐点，试求该曲线方程中的 a，b， c 的值13 设函数 z=f(xy2，x+y)，其中 f(u，v)具有二阶连续偏导数，
3、求14 设函数 f(x)为连续函数，且 求 f(x)15 一平面过点(1，一 2，1)，且平行于向量 a=1，2，一 3与 b=一 1，0，2)，求此平面的方程16 求函数 z=x2+3xy2 一 15x 一 12y 的极值17 分别用直角坐标和极坐标计算二重积分 ，其中 D=(x，y)x 2+y2x)18 计算曲线积分 I=L(x+ey+1)dx+(xey+y2)dy，其中 L 是从点(0 ，0)到(1，1)的任意连续曲线19 求幂级数 的和函数，指出成立的区间，并求数项级数 的和20 求微分方程 y一 4y+4y 一 2x+e2x 的通解四、证明题21 在曲线族 y=a(1 一 x2)(a
4、0)中选一条曲线，使这条曲线和它在(一 1，0)及(1，0)两点处的法线所围成的图形面积比这族曲线中其他曲线以同样方式围成的面积都小22 证明方程 在区间(e， e3)内仅有一个实根陕西专升本（高等数学）模拟试卷 6 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 C【试题解析】 当 x0 时，F(x)=f(x)，所以有：所以为使 F(x)在点x=0 处连续，则 F(0)=1，所以选 C.2 【正确答案】 B【试题解析】 原式变形为：f(x)一 f(0)=2x+a(x)，两边取 x0 时，即有 f(0)=2，所以选 B.3 【正确答案】 D【试题解析】 因
5、为 f(x)的一个原函数为 e-x，所以有所以选 D.4 【正确答案】 B【试题解析】 收敛，矛盾，所以应发散5 【正确答案】 C【试题解析】 二、填空题6 【正确答案】 f(x，y)=(x 2 一 ln2y).y【试题解析】 7 【正确答案】 【试题解析】 给曲面在点处的法向量为 故所求的法线方程为8 【正确答案】 【试题解析】 所给区域 D 是以原点为心，内半径为 1 而外半径为 2 的圆环区域，其在极坐标系下的表示为9 【正确答案】 【试题解析】 原积分的内层是 t 的表达式，可记为10 【正确答案】 C 1+C2ex【试题解析】 原方程即 y一 y=0，是一个二阶常系数线性齐次方程，其
6、特征方程为 2 一 =0，特征根为 1=0， 2=1，对应的两个线性无关的解为 y1=1 和 y2=ex，故所求的通解为 y=C1y1+C2y2=C1+C2ex(其中 C1 和 C2 为任意常数) 三、综合题11 【正确答案】 12 【正确答案】 13 【正确答案】 14 【正确答案】 15 【正确答案】 16 【正确答案】 在(2，1)处0，A0 所以(2，1) 是极小值点在 (1，2) 处0 所以(1 ，2)不是极值点在(-2，一1)处0，A0 所以(-2，一 1)是极大值点在(-1，一 2)处 0 所以(-1 ，一 2)不是极值点极大值 z(-2，一 1)=28 极小值 z(2，1)=一
7、 2817 【正确答案】 利用直角坐标计算：积分区域 D 如图所示，是一圆盘区域，关于 x 轴对称，而被积函数 关于 y 是偶函数，所以18 【正确答案】 令 P=x+ey+1，Q=xe y 一 y2，则 P，Q 处处有连续的一阶偏导数，且 ，故由曲线积分与路径无关的条件可知：所给的曲线积分与路径无关如图所示，选取从 O(0，0)到 B(1，1)的折线段 来做积分(把每段直线段上的积分直接化为定积分来计算)，便得19 【正确答案】 先求收敛半径和收敛区间(这很容易)： ，不缺项，R=1 当是收敛的交错级数，而当 x=1 时， 是发散的调和级数，所以，收敛区间为 x一 1，1)令 ，两端求导，得
8、，两端再从 0 到 x 积分，得但 S(0)=0，故要求的和函数为 S(x)=一 ln(1一 x)20 【正确答案】 分两步：第一步，先求对应的齐次方程 y一 4y+4y=0 的通解Y齐次方程的特征方程为 2 一 4+4=0，特征根为 1=2=2 是二重根，两个线性无关的解为 y1=e2x，y 2=xex，所以，齐次方程 y一 4y+4y=0 的通解 Y 为Y=C1y1+C2y2=(C1+C2x)e2x第二步：再求非齐次方程 y一 4y+4y=2x+e2x 的一个特解 y*：非齐次方程 y一 4y+4y=2x 的一个特解 非齐次方程 y一 4y+4y=e2x 的一个特解 (注意：2 是二重根)所以，非齐次方程 y一 4ty+4y 一 2x+e2x 的一个特解 y*为故要求的通解为四、证明题21 【正确答案】 在(1，0)处曲线的法线方程： 由对称性，22 【正确答案】
