1、全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷 1 及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 平面 1：x4yz 5 0 与 2：2x2yz3 0 的夹角 ( )（A）（B）（C）（D）2 设函数 f(x， y)满足 fx(x0，y 0)f(x 0，y 0)0，则函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处 ( )（A）一定连续（B）一定有极值（C）一定可微（D）偏导数一定存在3 设 B 是圆形区域 x2y 24，则二重积分 dxdy ( )（A）（B）（C） 4（D）4 已知二阶常系数线性齐次微分方程 y“P
2、yqy0 的通解为ye x(C1sin2xC 2cos2x)，则常数 p 和 q 分别为( )（A）2 和 5（B） 2 和5（C） 2 和 3（D）2 和35 级数 ( )（A）发散（B）收敛于（C）收敛于 0（D）收敛于二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 若向量 两两的夹角都为_7 设函数 _.8 二重积分 _9 微分方程 y“3ysinx 的阶数是_10 将函数 展开为(x2)的幂级数_三、计算题11 求过点(3 ，3，2) 并且与平面 2xyz 30 垂直的直线方程12 设 13 求函数 f(x，y，z) x 2yz 2 在点 P(2，1，2)处沿方向 L2
3、，1，2)的方向导数14 求函数 z x2y 2 在点 (1，1) 处，沿与 x 轴正向成 60角的方向 l 的方向导数15 计算积分 。16 计算 。17 计算对弧长的曲线积分 ，其中 C 是圆周 x2y 2118 计算 L (x2y)dxxdy，其中 L 是从点(0，1)沿曲线 (x0)到点(1，0)19 求微分方程 y“2y 3y0 的通解20 求下列微分方程满足所给初始条件的特解：y“4y29y0，y x0 0，y x0 1521 判断无穷级数 的敛散性22 求幂级数 的收敛区间四、综合题23 求函数 z x38y 36xy 5 的极值24 设曲线 yz(x)在其上点(x，y)处的切线
4、斜率为 4x2 ，且曲线过点(1，1)，求该曲线的方程25 将函数 ln(3x) 展开成 x 的幂级数，并求展开式成立的区间全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷 1 答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查空间两平面的夹角 由题意知平面 1、 1 的法线向量分别为 n11，4，1)，n 22，2，1)知n 1 ，n 23，n 1.n22819，所以 cos 答案为 C2 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查函数在某点处的性态由二元函数连续可微的定义可知，fx(
5、x0，y 0)0(x 0，y 0)0 不能推出 f(x，y)在点(x 0，y 0)处一定连续，可微而fx(x0，y 0)f y(x0，y 0)0 只是极值存在的必要条件，不能推出 f(x，y)在点(x 0，y 0)处一定有极值由偏导数的定义可知，D 选项正确答案为 D3 【正确答案】 B【试题解析】 令 xrcos，yrsin，则 02，0r2答案为 B4 【正确答案】 A【试题解析】 依题知特征方程 r2prq0 有一对共轭复根，r12i，代入特征方程得：P2，q5答案为 A5 【正确答案】 B【试题解析】 该级数是公比 故该级数收敛，且和为 。答案为 B。二、填空题请在每小题的空格中填上正
6、确答案。错填、不填均无分。6 【正确答案】 5【试题解析】 只需求出 设向量 的夹角为 ab，则 由已知条件 同理，于是 7 【正确答案】 【试题解析】 8 【正确答案】 f(a) f(0)【试题解析】 本题考查二重积分的计算 由题意知，积分区域如下图所示9 【正确答案】 3【试题解析】 由题意知：特征方程：r 3 一 3r0 r(r 23)0 r 0 或 r 故此微分方程的阶数是 3 阶10 【正确答案】 (x2) n，1x3【试题解析】 先将函数改写成变量为(x2)的表达形式，则再在1x1 内，将展开式 中的 x 代换 为(x2)，可得 ，1x21 解其中的不等式可得收敛域为 1x3三、计
7、算题11 【正确答案】 所求直线的方向向量为2，1，1 所以所求直线方程为12 【正确答案】 13 【正确答案】 14 【正确答案】 本题考查函数在某点处的方向导数z y2x，z y2y，又，(1,1)cosz y(1，1)cos 15 【正确答案】 16 【正确答案】 本题考查三重积分的计算用球坐标系： 17 【正确答案】 原式 ce2ds e 2cds 2e 218 【正确答案】 L 的参数方程为 ，故 L(x2y)dxxdy(cos3t2sin 3t)(3cos 2tsint)3sin 2tcos4tdt 19 【正确答案】 特征方程为 r 22r30 特征根为 r11，r 23 方程通
8、解为yC 1ex C 2e3x.20 【正确答案】 本题考查微分方程的求解与原齐次方程对应的特征方程为，r24r29 0 此方程的解为 r 125i，r 225i 。 故所给方程的通解为 ye 2x (C1cos5xC 2sin5x) y5e 2x (C 1sin5xC 2cos5x)2e 2x (C1cos5xC 2sin5x) e 2x (5C 12C 2)sin5x(5C 22C 1)cos5x 把初始条件 y x0 0，y x0 15 代入上面两式解得 C 10，C 23 故所求特解为y3e 2x sin5x21 【正确答案】 由达朗贝尔判别法得，原级数收敛22 【正确答案】 令 x3
9、t，原级数转化为 故级数(1)的收敛半径 R1当 t1时级数(1)成为 当 t1 时， 级数(1)成为 是交错级数，收敛因此级数(1)的收敛域为 1，1，即原级数当1x31 时收敛，从而原幂级数的收敛域为 2，4四、综合题23 【正确答案】 (1)令 ，解这个方程组第一个方程可变为x22y，第二个方程可变为 x4y 2(2y) 2于是得到 x(x 2)2x 4，进而变为x(x31)0得到 x10，x 21，从而方程组的解为 。得到两个驻点 M1(0，0)和 M2 求函数的二阶偏导数Az xx6x， Bz xy6 ，Cz yy48y 在点 M1(0，0)处，A0，B6，C 0，因此 B 2AC360则在点 M1(0，0)处函数不取得极值 在点 M2 处，A6，B6，C24，因此B 2 AC 1080 则在点 M2 处，函数取得极值因 A0，则是极小值 注：多元函数求极值一般分为两个步骤，第一步是求出可疑的极值点(驻点、不可导点) ，第二步是在可疑点处判断是否取得极值对于第一步，通常是找驻点，其方法是令函数的各个偏导数等于零，然后解这个由偏导数构成的方程组对于第二步，当函数有二阶偏导数时，可用取得极值的充分条件来判断驻点是否为极值点24 【正确答案】 25 【正确答案】 本题考查函数幂级数展开成立的区间
