1、全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷 23 及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 在空间直角坐标系中，方程 3y 一 4z=0 的图形是 ( )（A）垂直于 x 轴的平面（B）平行于 x 轴的直线（C）通过原点的直线（D）通过 x 轴的平面2 若函数 f(x， y)在(x 0，y 0)点存在偏导数，且在该点取得极小值，则下列结论正确的是 ( )（A）一定是最小值点（B）一定是驻点（C）一定是最大值点（D）无法判断3 设 f(x)是连续函数，区域 D：x 2+y24，则二重积分 ( )4 微分方程
2、 y“一 2y+y=0 的通解 y= ( )（A）C 1ex（B） (C1cosx+C2sinx)ex（C） (C1+C2x)ex（D）C 1sinxex5 下列无穷级数中，收敛的无穷级数是 ( )二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 已知向量 =1，4，一 2)和 =k，一 2，一 2)垂直，则常数 k=_7 设函数 z=x42xy+y2+1，则 =_8 设积分区域 D：x 2+y22x，则二重积分 在极坐标下的二次积分为_9 微分方程 的通解为_10 设分 f(x)= 则 f(x)的傅里叶级数的和函数在 x= 处的值为_三、计算题11 求经过 P(2，1，一 3)
3、，且通过 y 轴的平面 的方程12 求曲面 z=xy 上点(1 ，2，2)处的法线方程13 设方程 sin(x2+y2+z2)一 xz=1 确定函数 z=z(x，y) ，求 和 14 求函数 f(x，y)=x 2 一 xy+y2 的梯度 gardf(1，一 1)15 计算二重积分 ，其中积分区域 D：x 2+y2116 计算由(x+y) 2+z2=1，z0，x0，y0 所围成的体积17 计算对弧长的曲线积分 ，其中 C 是 x=0，y=0，x+y=1 所围成的18 计算对坐标的曲线积分 xydx+(x+y)dy，其中 C 为曲线 y=x2 从点(0，0) 到(1，1)的一段弧19 求二阶微分方
4、程 y“+y一 ex=0 的通解20 求微分方程 y“一 4y+5y=0 的通解21 判断级数 的敛散性22 求幂函数 的收敛半径和收敛区间四、综合题23 求曲面 x2+y2+z=4 将球体 x2+y2+z24z 分成两部分的体积之比24 计算 ，其中是圆锥曲面 z2=x2+y2，平面 z=0 和z=2 所围成的区域的外侧25 求旋转抛物面 z=x2+y2 被平面 z=2 和 z=0 所截部分的曲面面积全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷 23 答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 【正确答案】
5、D2 【正确答案】 B【试题解析】 偏导存在极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点；极值点不一定是最值点。3 【正确答案】 A【试题解析】 4 【正确答案】 C【试题解析】 微分方程 y“一 2y+y=0 的特征方程为 r22r+1=0，故微分方程的特征根 r1=r2=1，故微分方程的通解为 y=(C1+C2 x)ex5 【正确答案】 C【试题解析】 对于选项 A ，由于 ，故此级数发散；对于选项 B ，由于，而 发散，故也发散；对于选项 D ，由于，故选项 D 也发散；选项 C ，故 收敛。二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 【正确答案】 4【试题解析】 因为向量
6、 ，则有 =0，即 k+4(一 2)+(一 2)(一 2)=0，得k=47 【正确答案】 2【试题解析】 =一 4x3 一 2y。故 =4x3 一 =423=一 28 【正确答案】 f(rcos，rsin)rdr 【试题解析】 积分区域 D：x 2+y22x 即(x 一 1)2+y21，如下图所示故二重积分f(x，y)dxdy= f(rcos，rsin)rdr 9 【正确答案】 y 2=2x2lnx+Cx2【试题解析】 微分方程 ，将方程右边分子分母同时除以 x2 得令 ，则 ，代入上式得， 分离变量得 udu= ,两边同时积分得u2=lnx+C，将 代入得 y2=2x2lnx+Cx2，即所要
7、求的通解10 【正确答案】 【试题解析】 将 f(x)作以 2 为周期的延拓县 f(x)按段光滑而 x= 是 f(x)的间断点，故 f(x)收敛于 f( +0)+f( 一 0)= (0+1)= ，即 f(x)的傅里叶级数的和函数在 x=0 处的值为 三、计算题11 【正确答案】 所求平面 通过 y 轴，故可设其方程为 Ax+Cz=0，又因为点 P 在平面 上，所以 2A 一 3C=0，则 ，故所求平面方程为 3x+2z=012 【正确答案】 令 F(x，y，z)=z 一 xy，则则法线方程为13 【正确答案】 令 F(x，y，z)=sin(x 2+y2+z2)一 xz 一 1，则 Fx=2xc
8、os(x2+y2+z2)一z，F y=2ycos(x2+y2+z2)，F z=2zcos(x2+y2+z2)一 x，故,。14 【正确答案】 f x=2xy，f y=一 x+2y，则 =2+1=3， =一 12=一 3故 gradf(1，1)=(3，一 3)15 【正确答案】 sin(x 2 +y 2)dxdy= sinr 2rdr=2 (cosr 2) =(1cos1)16 【正确答案】 令 其中 0r1，0 ， 故17 【正确答案】 积分曲线 C 如下图所示 对于线段OA：y=0，dy=0，ds=dx，对于线段 OB：x=0，d=0，ds=dy ，对于线段 AB：y=1一 x，ds= dx
9、= dx，故18 【正确答案】 曲线 C 如下图所示y=x 2，则 dy=2xdx，故有19 【正确答案】 此微分方程属于 y“=f(x，y) 型，令 p=y，代入原方程得 p+pex=0，即 p+p=ex，该方程对应的齐次微分方程为 p+p=0，分离变量并积分 =dxp=C 1e-x，利用常数变易法，令 P=u(x)e-x，则 p=u(x)e-x 一 u(x)e-x，将 p及 p 户代入微分方程 p+p=ex 得 u(x)e-x=ex，即 u(x)=e2x，积分得 u(x)= e2x+C1，则 p=(e2x+C1)e-x= ex+C1e-x即 y= ex+C1e-x则原微分方程的通解 y=
10、ex 一 C1e-x+C220 【正确答案】 原微分方程的特征方程为 r2 一 4r+5=0， 解得特征根为r1=2+i， r2=2 一 i， 由于 r1 与 r2 是一对共轭复根，因此所求的通解为 y=e2x(C1cosx+C2sinx)21 【正确答案】 设级数部分和数列为S n，则22 【正确答案】 设 ，则，则对任意的 x都有 ，故级数的收敛半径 R=+，收敛域为（-，+ ）。四、综合题23 【正确答案】 由 得 z=1，z=4(两曲面的切点)，两曲面的交线为 如下图所示，两曲面所交的体积为 V1 和 V224 【正确答案】 由区域(如下图所示)是封闭曲面，故 x2dydz+ydzdx+zdxdy=(2x+1+1)dxdydz= (x+1)dxdydz= (rcos+1)?rd=25 【正确答案】 曲面在 Oxy 平面上的投影区域 D(如下图所示)：x 2+y22，且=2x， =2y 设所要求的曲面面积为 S，则
