1、全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷 5 及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 点( 1，2，3) 关于 y 轴的对称点的坐标是 ( )（A）(1 ，2，3)（B） (1，2，3)（C） (1，2，3)（D）(1 ，2，3)2 设函数 f(x， y)(4xx 2)(6yy2)，则 f(x，y)的一个驻点是 ( )（A）(2 ，6)（B） (4，3)（C） (0，6)（D）(0 ，3)3 设 D(x，y)1x2，1y2)，则二重积分 ( )（A）（B）（C）（D）44 微分方程 y“一 5y6yx
2、 2e3x 的一个特解 y*可设为 ( )（A）(b 0x2b 1x)e3x（B） (b0x2b 1x)xe3x（C） (b0x2b 1xb 2)e3x（D）(b 0x2b 1xb 2)xe3x5 设 为正项级数，下列结论中正确的是 ( )（A）若级数（B）若级数（C）若级数（D）若级数 发散，则存在非零常数 ，使得二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 已知向量 k ，2，1)和 2 ，1，1)垂直，则常数 k_7 已知 zf(xy，xy)，其中 f 为可微函数，则 dz_8 设二次积分 ，则交换积分次序后得 I_9 微分方程 y“2y 5y0 的通解为_10 设 f
3、(x)是周期为 2 的周期函数，它在， 上表达式为则 f(x)的傅里叶级数的和函数在 x0 处的值为_三、计算题11 求过点 P1(1，2，4)和 P1(3，1，1)的直线方程12 求经过点 P(3，0，1)，平行于平面 ：3x7y5z120 的平面方程13 已知方稗 x2y 2z 2 8z0 确定函数 zz(x，y)，求 。14 求 zsinxcosy 在点 的切平面与法线方程15 求曲线 z 2x23y 2 在点 (1，1，5) 处的切平面方程16 D 是由直线 yx，y3x，x1 和 x3 所围的区域用两种不同的方法来表达I f(x，y)dxdy 17 计算三重积分 I dxdydz，其
4、中 是由平面 x1，y1，z 1 及坐标面所围成的区域18 设 L 是圆周 x2y 22y0，求关于弧长的曲线积分 L(y2xx 4)ds19 计算对坐标的曲线积分 L(x22xy)dx(y 22xy)dy，其中 L 为图中的有向折线ABO20 求微方程 ，x (1)1，x (1)0 的解21 求幂级数 的收敛半径和收敛域22 求幂级数 的收敛区间.四、综合题23 设 ancnbn，n1，2，且级数 均收敛，证明级数 收敛24 设平面薄片所占的闭区域 D 由直线 xy2，y x 和 x 轴所围成，它的面密度(x， y)x n yn，求该薄片的质量25 求球 S1： x2y 2z 2a 2 位于
5、柱面 S2：x 2y 2ax(a 0)之内部分的面积及球 x2y 2z 2a2 位于柱面 S2 之内部分的体积全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷 5 答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 【正确答案】 C【试题解析】 点(x，y，z) 关于 y 轴的对称点坐标为(x，y，z)答案为 C2 【正确答案】 C【试题解析】 f(x，y)(4xx 2)(6yy 2)，则 ，则选项 A、B、C、D 依次代入只有选项 C 使得 fx(0，6)f y(0，6)0答案为 C3 【正确答案】 B【试题解析】 本题
6、考查二重积分的计算 由题意知积分区域如下图所示答案为 B4 【正确答案】 D【试题解析】 先求 y5y6y0 的解，其特征方程为 r25r 60 r12，r 23由 e3x 知 r23 为齐次方程的一个单根，则其特解形式设为y*xQ m(x)e3x，由 x2 可知 m2，Q m(x)b 0x2 b1xb 2，最终特解形式为y*(b 0x2b 1xb 2)xe3x答案为 D5 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查正项级数敛散性的性质由级数 收敛的充要条件知，其部分和数列S n有上界，也即 收敛，必有 Sn有上界，若，故只有 B 选项说法正确答案为 B二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错
7、填、不填均无分。6 【正确答案】 【试题解析】 本题考查空间解析几何中向量之间的关系和运算因为向量 ， 互相垂直故必有 .0，即 k，2，1).2，1，12k 210， 即 7 【正确答案】 (f 1yf 2)dx(f 1xf 2)dy【试题解析】 8 【正确答案】 【试题解析】 本题是有关多元函数二次积分的交换积分次序的问题二次积分的积分区域 D 如图阴影部分，故 9 【正确答案】 ye x (C1cos2xC 2sin2x)【试题解析】 本题考查二阶常系数齐次微分方程的通解 对应于微分方程y“ 2y5y0 的特征方程为 22 50，所以特征 根为 12i，所以微分方程的通解为 ye x (
8、C1cos2xC 2sin2x)10 【正确答案】 【试题解析】 本题考查函数傅里叶级数的和函数 因为 f(x)是周期为 2 的周期函数，x0 是 f(x)的间断点，所以 f(x)收敛于 f(00)f(00)，即 f(x)的傅里叶级数的和函数在 x0 处的值为 三、计算题11 【正确答案】 直线的方向向量为 (31，121(4)(2，3，5) 即为所求直线方程，也可用直线参数方程表示： 12 【正确答案】 本题考查平面方程的求解平面 的法向量为3，7，5)，所求平面平行于平面 ，于是其点法式方程为3(x 3)7y 5(x1) 0， 即：3x7y5z 4013 【正确答案】 x 2y 2z 28
9、z 014 【正确答案】 令 F(x，y，z)sinxcosyz 15 【正确答案】 对方程 z2x 23y 2 求偏导有 则在点(1，1， 5)处曲面切平面法向量为 grad(1，1，5)(4，6，1)16 【正确答案】 f(x,y)dx,积分区域如下图。17 【正确答案】 18 【正确答案】 L 的参数方程：19 【正确答案】 L (x22xy)dx(y 22xy)dy AB (x22xy)dx(y 22xy)dy BO (x22xy)dx (y22xy)dy 在 AB 段 dy0，y1，在 BO 段 dx0，x0.原式 AB (x22xy)dx BO (y22xy)dy AB (x22x
10、)dx BOy2dy 20 【正确答案】 解之得 x21(tC 2)2 再将 x(1) 1 代入上式得 C21，所以方程的特解为 x21(t1) 221 【正确答案】 当 x2 时，级数为为交错级数，收敛当 x2 时，级数为 ，发散收敛域为(2，2 22 【正确答案】 由比较法知在 处级数收敛 在 由上讨论知，级数绝对收敛.四、综合题23 【正确答案】 因为 cn cna na n， 从而 所以要证明收敛，只需证明 (cna n)收敛 由题设 0cna nbn n 由于 收敛 故 由正项级数比较法知 收敛 所以 收敛24 【正确答案】 设薄片的质量为 M，则质量元素 dM(x，y)d(x 2y 2)d25 【正确答案】 (1)记 S1 位于 S2 之内部分为 由于它在各个卦限的面积相等， 所以 S 的面积为 A8A 1(其中 A，为 在第一卦限部分 1 的面积) 由于 1 的方程为 (x，y) Dxy)，其中 Dxy 是 1 在 xOy 平面上的投影区域，即 Dxy(x，y)x 2y 2ax，y0)，所以由此得到 (2)记球 x2y 2z 2a2 位于柱面内的立体为 ，则 的体积为 V8V 1(其中 V1 是 位于第一卦限部分 1 的体积)
