1、全国自考高等数学（工专）模拟试卷 1 及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 下列反常积分中收敛的是 【 】2 设 f(x 一 3)=e2x，则 f(x)= 【 】（A）2e 2x+6（B） e2x（C） 2e2x（D）2e 2x+33 当 x0 时，下面无穷小量中与 x 等价的无穷小量是 【 】（A）5x（B） 1n(1+x3)（C） sinx（D）x+sinx4 下列积分中，可直接应用牛顿-莱布尼茨公式计算其值的是 【 】5 要使 1(1，0，1) T， 2(一 2，0，1) T 都是线性方程组
2、 Ax=0 的解，只要系数矩阵A 为【 】二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 设 f(x+1)一 f(x)=8x+3，则 f(x)=ax2+bx+5 中的 a=_，b=_7 设 f(x 一 1)= x2+1，a0，f(a)=17，则 a=_8 _9 设函数 f(x)= 在点 x=0 处连续，则常数 k=_10 设 y=f(x)在点 x=1 处可导，且 ，则 f(1)= _11 若函数 y=f(x)在 x=x0 处取得极值，则 f(x0) _12 曲线 y=x+ 的拐点是_13 设 f(x)在闭区间a，b上连续，由定积分中值定理，在a，b上至少存在一点p，使得 f(p
3、)=_14 若对任意的 n1 矩阵 X，均有 AX=0，则 A=_15 方程 y=2x(y+1)，满足 y(0)=2 的特解为_ 三、计算题16 设 若 f(x)在(，+)内连续，求 a、b的值17 设 求18 利用函数的单调性证明：当 x0 时，1n(1+x)19 求解微分方程：(x+1) 一 2y=(x+1)4 满足初始条件 y(0)= 的特解20 计算不定积分：21 求积分： 1e dx22 设 A1= 求 (A*)123 设 y=x(x+1)(x+2)(x+n)，求四、综合题24 求曲线 的凹凸区间及拐点25 求抛物线 y2=2x 与其上一点 A( ，1)处的法线围成的平面图形的面积全
4、国自考高等数学（工专）模拟试卷 1 答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 【正确答案】 C【试题解析】 选项项 A 中 选项 B 中选项 C 中选项 D 中2 【正确答案】 A【试题解析】 令 x 一 3=t，则 x=t+3， f(x 一 3)=e2x， f(t)=e 2(t+3)， f(t)=e2t+62=2e2t+6 即 f(x)=2e2x+63 【正确答案】 C【试题解析】 选项 A 中， 选项 B 中选项 C 中， 选项 D 中4 【正确答案】 C【试题解析】 选项 C 可以直接应用该定理，
5、选项 A 不符合中在0，1上连续，选项 B 不满足在一 1，1上连续选项 D 必须首先利用分部积分法求原函数5 【正确答案】 D二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 【正确答案】 4，-17 【正确答案】 3【试题解析】 因为 f(x 一 1)=x2+1=(x 一 1)2+2x=(x 一 1)2+2(x 一 1)+2， 所以 f(x)=x2+2x+2， f(a)=a 2+2a+2=17，则 a=38 【正确答案】 1【试题解析】 9 【正确答案】 2【试题解析】 函数在某点连续，则函数在该点的左右极限都等于该点的函数值，故 f(x)= ke2x=k= (1+cosx)
6、=2=f(0)，则 k=210 【正确答案】 【试题解析】 f(x)在 x=1 处可导，即 存在，而 x1 时，（x1）0，要使上式存在，应有 x1 时，f(x)f(1)，又因为，所以 f(1)= 11 【正确答案】 =0 或不存在【试题解析】 函数 f(x)在 x=x0 处取得极值的必要条件是 f(x0)=0 或 f(x)在 x= x0 处不可导，即 f(x0)不存在12 【正确答案】 【试题解析】 y0，故为拐点13 【正确答案】 abf(x)dx14 【正确答案】 O15 【正确答案】 y=3e x21【试题解析】 y=2x(y+1)，y一 2xy=2x， 则 y=e 2xdx 2xe-
7、2xdxdx+C =ex22xe-x2dx+C =ex2- e-x2+C =Cex21， 由 y(0)=C 一 1=2 知 C=3，故 y=3ex21三、计算题16 【正确答案】 要使 f(x)在( ，+)内连续，则需 f(x)在 x=0，x=1 处连续，又f(0)=2，f(1)=b，f(0+0)= (x+2)=2，f(00) 故a=2f(10)= (x+2)=3，f(1+0)= =b，故 b=317 【正确答案】 18 【正确答案】 本题即需证 x0 时，(1+x)ln(1+x)arctanx，令 f(x)=(1+x)ln(1+x)一 arctanx，则 f(x)=ln(1+x)+1 一 =
8、 ln(1+x)+ 显然 x0 时，有 f(x)0又因为 f(x)在0，+)上连续，所以 f(x)在0，+)上单调增加于是当 x0 时，有 f(x)f(0)=0，即 (1+x)ln(1+x)一 arctanx0，也即 ln(1+x) (x0)成立19 【正确答案】 原方程是一阶线性微分方程，将它化为标准式：由通解公式得 y=eP(x)dxeP(x)dxQ(x)dx+C1=即原方程的通解为 y=C(x+1)2+代入初始条件 y(0)= 得 C=0，故所求特解为20 【正确答案】 21 【正确答案】 =1e(1+ln2x)dlnx=(lnx+ ln3x)|1e=22 【正确答案】 利用公式 AA*
9、=|A|In，两边取逆得 (A*)-1A-1=|A|-1In，故(A *)-1=|A|-1 A，只须求得 A 和|A| -1 即可求出 (A*)-1由(A -1)-1=A，可求得又|A| -1=1，因此(A *)-1=23 【正确答案】 此函数的乘积因子较多，直接用乘法的求导法则将会有很多的项数，较繁因此采用对数求导法lny=lnx+ln(x+1)+ln(x+2)+ln(x+n)两边对 x 求导 解出将 x=0 代入上式，注意到y|x=0，有 y|x=0=123n=n!四、综合题24 【正确答案】 曲线的定义域为(一，+) ，令 y=0，解得 x=2又 y不存在点为 x=3，列表 x=2 时，y=；x=3 时， y=5因此曲线的凹区间为 (一，2)及(3，+)，凸区间为(2，3)，拐点为(2 ， )，(3，5)25 【正确答案】 方程 y2=2x 两端对 x 求导得 2yy=2，y= ，因此，抛物线在 A(，1) 处的法线斜率为 从而法线方程为解联立方程组 得法线与抛物线的交点 A(，1) 和 B( ，-3)(如图所示 ) 故平面图形的面积为
