1、全国自考高等数学（工专）综合模拟试卷 1 及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 设函数 f(x)在 x=x0 处可导，且 f(x0)=3，则 ( )（A）一 2（B） 2（C） （D）2 函数 f(x)=xlnx 在区间1，e上使得拉格朗日中值定理成立的 = ( )（A）e e-1（B）（C）（D）3 设 f(x)为连续函数，则 ab f(x)dxabf(a+bx)dx= ( )（A）0（B） 1（C） a+b（D） abf(x)dx4 广义积分 -11 dx ( )（A）收敛（B）敛散性不能确定
2、（C）收敛于一 2（D）发散5 级数 ( )（A）收敛（B）的敛散性不能确定（C）发散（D）的和为+二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 设 A 为 m 阶方阵，存在非零的 mn 矩阵 B，使 AB=O 的充分必要条件是_7 若 则 k=_8 设 f(x)= 则 x=0 是 f(x)的第_类间断点9 设 a0，则 _10 行列式 =_三、计算题11 设 f(x)可微，f(0)=0，f(0)=1，F（x）= 0x2f(u)du，求12 设 A 是三阶方阵，|A|= ，计算|(3A) -12A*|13 设 A-1= 求（ A*)-114 设 A、B 为 n 阶方阵，且 A
3、+B=AB，试证：(1)AE 可逆，(2)AB=BA.15 求极限16 求极限17 设 若 f(x)在( 一，+)内连续，求 a、b 的值18 求函数 f(x)= 的间断点，并判定其类别19 设 试讨论 f(x)在 x=0 处的连续性和可导性20 已知函数 求 f(x)21 求由方程 y=1+xey 所确定的隐函数 y=y(x)的导数22 求函数 的单调区间和极值23 确定函数 f(x)=ex 一 x 一 1 的单调区间24 求不定积分cscx(cscx cotx)dx25 计算定积分 -11(x+ )2dx26 求微分方程(1+y)dx 一 (1-x)dy=0 的通解27 求微分方程 +2x
4、y=4x 满足 y(0)=1 的特解28 判定级数 的敛散性29 设 n 阶矩阵 A 满足 A2 一 A 一 6E=O，试问 A 一 3E 是否可逆，若可逆，则求其逆30 设 A，B 均为二阶或三阶矩阵，A 可逆并且 A 2+AB+B2=O 试证：B 和 A+B 都是可逆矩阵31 设三阶方阵 A，B 满足关系式 BA=E+6A，其中 求 B.32 设 (2E3C-1B)A=C-1，求 A.四、综合题33 求由曲线 y=x3 与直线 x=2，y=0 所围平面图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体积34 求由抛物线 y2=4ax(a0)及直线 x=x0 (x00)所围成的平面图形绕 x 轴旋转而成
5、的旋转体的体积35 设三阶方阵 其中 ， 1， 2 均为三维行向量，且已知|A|=18，|B|=2 ，求|AB|全国自考高等数学（工专）综合模拟试卷 1 答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 【正确答案】 A【试题解析】 f(x)在点 x0 处可导必有 =f(x0)=3 所以选 A2 【正确答案】 C【试题解析】 函数 f(x)=xlnx 在区间1，e 上连续、可导，从而满足拉格朗日中值定理的条件，所以存在 (1，e)，使得 f(e)f(1)=f()(e 一 1)而 f(1)= 0，f(e)一f(1
6、)=e，f(x)=lnx+1 ，因此 e=(1n+1)(e 一 1)，由此推出 从而答案应选C3 【正确答案】 A【试题解析】 令 a+bx=t，则 x=a 时，t=b x=b 时， t=a，dx=一 dt，故 abf(x)dxabf(a+bx) =abf(x)dx+abf(t)dt =abf(x)dxab f(t)dt =0 本题也可按下面方法求解 令 f(x)的一个原函数为 F(x)则 abf(x)dxabf(a+bx)dx =abf(x)dx+abf(a+bx)d(a+bx) =F(b)一 F(a)+F(a+b 一 b)一 F(a+b 一 a) =F(b)一 F(a)+F(a)一 F(b
7、) =0 所以选 A4 【正确答案】 D【试题解析】 有 故广义积分 -11 dx 发散故选 D5 【正确答案】 A【试题解析】 正项级数收敛的充分必要条件是它的前 n 项和数列S n有上界，由题意知 当 n时，即数列S n有上界，故级数收敛，选 A.二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 【正确答案】 |A|=0【试题解析】 因为 AB=O，将 B 看作是 Ax=0 的解，而 B 是非零矩阵故|A|=07 【正确答案】 【试题解析】 由 可推出， =e2k=e 可推出 2k=1，所以 k= 8 【正确答案】 一【试题解析】 故 f(x)在 x=0 处左右极限存在但不相
8、等，属于第一类间断点9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 1【试题解析】 三、计算题11 【正确答案】 12 【正确答案】 因为(3A) -1= 所以|(3A) -12A*|=|A*=( )3|A*|又由于 AA*=|A|E3，所以|AA *|=|A|3，即|A|A *|=|A|3，故|A *|=|A|2=，因为|(3A) -12A*|=13 【正确答案】 利用公式 A*=|A|In，两边取逆得（A *） -1A-1=|A|In，故（A *） -1=|A|-1，只须求得 A 和|A| -1 即可求出（A *） -1(A -1，I 3) 由 (A-1)-1=A 可求得 又|A| -
9、1=|A-1|=1，因此（A *） -1=14 【正确答案】 (1)由 A+B=AB， 得 ABAB+E=E， 即 A(BE) (BE)=(AE)(BE)=E， 故 A E 可逆，且(AE) -1=BE (2)由上一题知，A E 与BE 互为逆矩阵，于是由逆矩阵定义知 (AE)(B 一 E)=ABAB+E =(BE)(AE) =BA 一 B 一 A+E 即 AB=BA15 【正确答案】 16 【正确答案】 所以，原式=e 2=117 【正确答案】 要使 f(x)在( 一，+)内连续，只需 f(x)在 x=0，x=1 处连续，又 f(0)=2，f(1)=6，f(0+0)= (x+2)=2， 故得
10、a=2f(1 一 0)= (x+2)=3，f(1+0)= =3，故 b=318 【正确答案】 显然 x=0，1 是 f(x)的间断点在 x=1 处，说明 f(x)在 x=1 处左、右极限都不存在，故 x=1 属于第二类间断点在 x=0 处 f(x)在 x=0 处左、右极限都存在但不相等，因而 x=0 属于第一类间断点(跳跃间断点)19 【正确答案】 (1)由 可知 f(x)=1=f(0)，函数 f(x)在 x=0 处连续(2)分别求 f(x)在 x=0 处的左，右导数所以 f(0)= f+(0)，f(x) 在 x=0 处可导，且 f(0)=020 【正确答案】 分段函数求导时，在分段点处必须用
11、导数定义求导，而在每段内仍用初导函数求导法则求导当 x0 时，f(x)=ln(1+x)，故有 f(x)= 当 x=0 时，所以 f(0)=1综上， f(x)=21 【正确答案】 两边对 x 求导，注意到 y 是 x 的函数，有 y=ey+xeyy所以 y(1 一xey)=ey 从而 y=22 【正确答案】 因为 令 y=0 得驻点x1=0， x1=一 1，列表讨论如下： 由此可见，递增区间为(一，一 1)，(0，+)；递减区间为(一 1，0)极大值为 f(一 1)=，极小值为 f(0)=23 【正确答案】 f(x)=e x 一 1，令 f(x)=0 得 x=0， 函数 f(x)=ex 一 x
12、一 1 的定义域为(一 ，+)，因为在( 一 ，0内 f(x)x 一 x 一 1 在(一，0上单调减少； 因为在(0，+) 内 f(x)0，所以函数 f(x)=ex 一 x 一 1 在0 ，+)上单调增加24 【正确答案】 cscx(cscx cotx)dx =csc2xdxcscxcotxdx =cotx+cscx+C.25 【正确答案】 -11(x+ )2dx=-11x2+2x +(1x2)=-11(2x +1)dx=0+2=226 【正确答案】 (1+y)dx=(1 一 x)dy，分离变量得 两端积分得 ln(1+y)=lnCln(1 一 x)(1+y)(1 一 x)=C，所以 y=一
13、1 为所求通解，其中 C 为任意常数.27 【正确答案】 先求通解 P(x)=2x ，Q(x)=4x， 由通解公式得通解为 y=e 2xdx4xe2xdxdx+C =ex24xex2dx+C =ex22ex2+C =Cex2+2 将 y(0)=1 代入通解得 C=一 l， 所以 y=一 ex2+2 是所求的特解28 【正确答案】 由于此级数的前 n 项和 Sn 为=ln(n+1)由函数 y=ln(x+1)的图像知极限ln(n+1)不存在，所以极限 Sn 不存在，故级数发散29 【正确答案】 由 A2 一 A 一 6E=O 知(A 一 3E)(A+2E)=E，故 A 一 3E 可逆，且(A 一
14、3E)1=A+2E30 【正确答案】 由已知条件可知 B2+AB=一 A2，进一步有 (B+A)B=一 A2， 两边取行列式得 |B+A|B|=|A|A|， 因为 A 可逆，所以一 A 也可逆，从而|A|0 ，|A|0 因此， |B+A|B|0， 于是|B|0 以及|B+A|0， 因此，B 和 A+B 都是可逆矩阵31 【正确答案】 由等式 BA=E+6A 两边同时右乘 A-1，得 B=A-1+6E故32 【正确答案】 由已知|2E 3C-1B|A|=|C-1|0，所以|2E 3C-1B|0，|A|0 从而(2E3C-1B)和 A 都可逆，因此 A=(2E3C-1B)-1C-1=C(2E3C-1B) -1=(2CB)-1四、综合题33 【正确答案】 V=兀 02(x3)2dx=34 【正确答案】 V= 0x0y2dx =0x04axdx =2ax0235 【正确答案】 于是
