1、全国自考（高等数学一）模拟试卷 5 及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 设 f(x)是以 5 为周期的奇函数，且 f(1)=1，则 f(11)（A）1（B） 1（C） 2（D）22 （A）0（B）（C） 1（D）3 当 x0 时，x 2+3x+x3sin 是 x 的（A）低阶无穷小量（B）同阶但不等价的无穷小量（C）等价无穷小量（D）高阶无穷小量4 设 f(x)=x|x|，则 f(0)=（A）1（B） 1（C） 0（D）不存在5 设 y=f(t)，t=(x)都可微，则 dy=（A）f(z)dt（
2、B） (x) dx（C） f(t)(x)dx（D）f(t)dx6 f(x)0，x(a，b)是函数 f(x)在(a，b)内单调减少的（A）充分条件（B）必要条件（C）充分必要条件（D）无关条件7 函数 cos x 的一个原函数为8 微分方程 xy= ylny 的通解是（A）e x+C（B） ex+C（C） eCx（D）e x+C9 无穷限积分 0+xex2dx=（A）1（B） 0（C）（D）10 若 f(x0，y 0)=0，f y(x0，y 0)=0，则 f(x，y)在点(x 0，y 0)处（A）偏导数必存在（B）必可微（C）必连续（D）必有极值二、计算题（一）11 12 y=ln(1+ex)+
3、 ，求 dy13 14 求微分方程 =x 满足初始条件 y|=1=4 的特解15 计算二重积分 I= sin2 xsin2 ydxdy三、计算题（二）16 设 求 a，b 的值，使 f(x)在 (一 ，+) 的连续17 设 f(x)= ，求 f(n)(0)18 设 (1)求 f(0)；(2) 确定 f(x)的单调区间19 函数 G(x)= t2etdt，求 G(x)20 计算二重积分 I= (x+y)dxdy，其中积分区域 D 是由曲线 x2+y2=1 与 x 轴所围的下半圆四、应用题21 某企业产品的需求函数为 Q=100P，生产该产品的固定成本为 2400 元，每增加一单位的产量，需增加成
4、本 10 元，试建立该企业生产该产品的总收益函数 R(Q)、总成本函数 C(Q)和总利润函数 L(Q)22 设某商店售出 x 台录像机时的边际利润为 L(x)=125 (x0)，且已知 L(0)=0试求： (1)售出 40 台时的总利润 L；(2)售出 60 台时，前 30 台的平均利润和后30 台的平均利润(其中 L(x)的单位为百元/台)23 求曲线 y=lnx 在区间(2 ，6) 内的一条切线，使得该切线与直线 x=2，x=6 及曲线y=lnx 所围成的图形的面积最小24 求内接于半径为 R 的球内而体积最大的圆柱体的高全国自考（高等数学一）模拟试卷 5 答案与解析一、单项选择题在每小题
5、列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 【正确答案】 A【试题解析】 因为 f(x+5)=f(x)且 f(x)=一 f(x)，所以 f(1)=一 f(1)=一 1，即 f(1)=1，而 f(11)=f(1+25)=f(1)=12 【正确答案】 B【试题解析】 3 【正确答案】 B【试题解析】 =3，x 2+3x+x3sin 是 x 的同阶但不等价的无穷小量4 【正确答案】 C【试题解析】 f(x)=x|x|， 故有 f(0)=05 【正确答案】 C【试题解析】 由微分运算法则知 dy=f(t)dt，将 t=(x)代入，得：dy=f(
6、t)(x) dx6 【正确答案】 A【试题解析】 由单调的充分条件，即如果 f(x)在(a，b) 内可导，且 f(x)0，则f(x)在(a，b)内单调减少，7 【正确答案】 D【试题解析】 由原函数与不定积分的定义或关系可得之，8 【正确答案】 C【试题解析】 该方程为可分离变量的方程，分离变量得 两边积分 得 ln(ln y) =ln x+ln C=ln(Cx) ，即 ln y=Cx，y=e Cx9 【正确答案】 D【试题解析】 10 【正确答案】 A【试题解析】 f x(x0，y 0)=0，f y(x0，y 0)=0 f(x，y)在(x 0，y 0)处偏导数存在，但不能推出可微或连续一阶偏
7、导数等于 0 的点只能说明是驻点，不能判断是否是极值点二、计算题（一）11 【正确答案】 12 【正确答案】 13 【正确答案】 14 【正确答案】 分离变量得 ydy=一 xdx，两端积分得 y2= x2+C1，或x2+y2=C由初始条件得 C=17，则所求特解为 x2+y2=1715 【正确答案】 I= 0dx0sin2 xsin2 ydy=(02sin2 xdx)2三、计算题（二）16 【正确答案】 a=3，b=3 17 【正确答案】 f(x)=一 ln(1+x)，f(x)= =一(1+x) 1，f“(x)= 一(1)(1+x) 2，f“(x)=一( 1)(一 2)(1+x)3，f (n
8、)(x)=一(1)(2)(n+1)(1+x) n 故 f(n)(0)=(一 1)n(n1)!18 【正确答案】 (1)f (0)= f+(0)= ff(0)=f+(0)=0， f(0)=0(2) 当 x0 时，f(x)=一 3x20，x0 时，f(x)=arctanx+ 0 所以 f(x)的单调增加区间为(0，+) ，减少区间为 (一 ，0) 19 【正确答案】 G(x)= t2etdt，积分上限变量为 x3是 x 的函数，G(x)可以看成是由函数 F(u)=t2etdt 与 u=x3 复合而得的复合函数，由复合函数的求导法则和积分上限函数的性质，得到 G(x)= =u2eu3x2= 3x8
9、20 【正确答案】 (注：也可利用积分区域 D 关于 y 轴对称，被积函数是 x 的奇函数，和 I1=0)四、应用题21 【正确答案】 R(Q)=100Q Q2，C(Q)=2400+10Q，L(Q)=一 2400+90QQ222 【正确答案】 (1)已知 L(x)，L(0)=0，故售出 40 台时总利润 L=L(x)dx=010(125 一 )dx=(125x )|040=490(百元 )(2)前 30 台的平均利润后 30 台的平均利润23 【正确答案】 如右图所示，设切点为(x 1，lnx 1)，则过此点的切线方程为 y=(xx1)+lnx1，此时 S=26 (xx1)+lnx1lnxdx= +41nx14ln26ln3令 =0得 x 1=4因为 x14 时， 0； x 14 时， 0，所以当x1=4 时， S 取得最小值，因此所求切线为 y= (x4)+ln424 【正确答案】 设圆柱体底面半径为 r，高为 2h，则 h2+r2=R2，内接圆柱体体积V 为 V=r22h=2(R2 一 h2)h令 V=2R2=6h2=0，得 h= 因此在讨论问题的范围内 h= 是惟一驻点又 V“=12h，故 所以高为 时内接圆柱体体积最大
