1、1专题训练(四) 特殊平行四边形中的折叠类型之一 把一个顶点折叠到一条边上1如图 4ZT1 所示，在矩形 ABCD 中，点 E 在边 AB 上，将矩形 ABCD 沿直线 DE 折叠，点 A 恰好落在边 BC 上的点 F 处若 AE5， BF3，求 CD 的长图 4ZT12如图 4ZT2，已知矩形纸片 ABCD， AD2， AB4.将纸片折叠，使顶点 A 与边CD 上的点 E 重合，折痕 FG 分别与 AB， CD 交于点 G， F， AE 与 FG 交于点 O.求证： A， G， E， F 四点围成的四边形是菱形图 4ZT2类型之二 把一条边折叠到对角线上图 4ZT332017宜宾 如图 4Z
2、T3，在矩形 ABCD 中， BC8， CD6，将 ABE 沿 BE 折叠，使点 A 恰好落在对角线 BD 上的点 F 处，则 DE 的长是( )A3 B. C5 D.245 89164将矩形纸片 ABCD 按图 4ZT4 所示的方式折叠，得到菱形 AECF.若 AB3，则 BC的长为_图 4ZT4类型之三 把一个顶点折叠到另一个顶点上2图 4ZT55把一张矩形纸片 ABCD 按图 4ZT5 所示的方式折叠，使点 B 和点 D 重合，折痕为EF.若 AB3 cm， BC5 cm，则重叠部分 DEF 的面积为_cm 2.6如图 4ZT6 所示，在矩形 ABCD 中， AB8， BC16，将矩形
3、ABCD 沿 EF 折叠，使点 C 与点 A 重合，求折痕 EF 的长图 4ZT67.如图 4ZT7 所示，将矩形 ABCD 沿直线 EF 折叠，使点 C 与点 A 重合，折痕交 AD于点 E，交 BC 于点 F，连结 CE.(1)求证：四边形 AFCE 为菱形；(2)设 AE a， ED b， DC c，请写出 a， b， c 三者之间的数量关系式，并说明理由图 4ZT7类型之四 沿一条直线折叠8将矩形 ABCD 沿 AE 折叠，得到如图 4ZT8 所示的图形若 CED56，则 AED_.图 4ZT8图 4ZT939如图 4ZT9，在边长为 2 的菱形 ABCD 中， A60， M 是 AD
4、 边的中点， N 是AB 边上一动点，将 AMN 沿 MN 所在的直线翻折得到 A MN，连结 A C，则 A C 长度的最小值是_10如图 4ZT10，将矩形 ABCD 沿对角线 BD 对折，顶点 C 落在点 E 处， BE 交 AD 于点 O.若 BC10， AB5.(1)求证： ABO EDO；(2)求 AO 的长图 4ZT1011对一张矩形纸片 ABCD 进行折叠，具体操作如下：第一步：先对折，使 AD 与 BC 重合，得到折痕 MN，展开；第二步：再一次折叠，使点 A 落在 MN 上的点 A处，并使折痕经过点 B，得到折痕BE，同时，得到线段 BA， EA，展开，如图 4ZT11；第
5、三步：再沿 EA所在的直线折叠，点 B 落在 AD 上的点 B处，得到折痕 EF，同时得到线段 B F，展开，如图.求证：(1) ABE30；(2)四边形 BFB E 为菱形图 4ZT114详解详析专题训练(四) 特殊平行四边形中的折叠1解：根据折叠的性质，得 EF AE5.根据矩形的性质， B90.在 Rt BEF 中， B90， EF5， BF3，根据勾股定理，得BE 4， CD AB AE BE54 9.EF2 BF2 52 322证明：连结 AF，由折叠的性质可得， AG EG， AGF EGF. DC AB， EFG AGF， EFG EGF， EF EG.又 AG EG， EF A
6、G，四边形 AGEF 是平行四边形又 AG EG， AGEF 是菱形，即 A， G， E， F 四点围成的四边形是菱形3解析 C 由 AB CD6， BC8，应用勾股定理，得 BD10，由折叠可知BF AB，故 BF6，则 DF4.在 Rt DEF 中，设 DE x，则 EF AE8 x，应用勾股定理，得 DE2 EF2 DF2， x2(8 x)24 2，解得 x5.4答案 35答案 5110解析 设 ED x，则根据折叠和矩形的性质，得 A E AE5 x， A D AB3.根据勾股定理，得 ED2 A E2 A D2，即 x2(5 x)23 2，解得 x ，175 S DEF 3 (cm2
7、)12 175 51106解：设 BE x，则 CE BC BE16 x.沿 EF 翻折后点 C 与点 A 重合， AE CE16 x.在 Rt ABE 中， AB2 BE2 AE2，即 82 x2(16 x)2，解得 x6， AE16610.由翻折的性质，得 AEF CEF.矩形 ABCD 的对边 AD BC， AFE CEF， AEF AFE， AF AE10.过点 E 作 EH AD，交 AD 于点 H，则四边形 ABEH 是矩形， EH AB8， AH BE6， FH AF AH1064.在 Rt EFH 中， EF 4 .EH2 FH2 82 42 57解：(1)证明：四边形 ABC
8、D 是矩形， AD BC， AEF CFE.由折叠的性质，可得 AFE CFE， AF CF， AEF AFE， AF AE， AF CF AE. AD CD， D D， D E DE， AD E CDE，5 AE CE， AF CF CE AE，四边形 AFCE 为菱形(2)a， b， c 三者之间的数量关系式为 a2 b2 c2.理由如下：由(1)知 CE AE. AE a， CE AE a.四边形 ABCD 是矩形， D90.在 Rt DCE 中， CE2 ED2 DC2， a2 b2 c2.8答案 62 9答案 1710解：(1)证明：四边形 ABCD 为矩形， ED CD AB， O
9、ED C OAB90.在 ABO 与 EDO 中， AOB EOD， OAB OED，AB ED， ABO EDO(A.A.S.)(2)由(1)知 ABO EDO， BO DO， AO BO AO DO AD BC10.设 AO x，则 BO10 x.在 Rt ABO 中，根据勾股定理得 x25 2(10 x)2，解得 x3.75.故 AO 的长为 3.75.11证明：(1)第二步折叠使点 A 落在 MN 上的点 A处，并使折痕经过点 B，得到折痕 BE， AEB A EB.第三步折叠，点 B 落在 AD 上的点 B处，得到折痕 EF，同时得到线段 B F， A EB FEB. AEB A EB FEB180， AEB A EB FEB60， ABE30.(2) A EB FEB60， EB BF， A EB FEB BFE EFB60， BEF 和 EFB都是等边三角形， BE BF EF EB FB，四边形 BFB E 为菱形
