1、9.5 椭圆,-2-,知识梳理,考点自诊,1.椭圆的定义 平面内与两个定点F1,F2的距离的和 (大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 集合P=M|MF1|+|MF2|=2a,|F1F2|=2c,其中a0,c0,且a,c为常数: (1)若 ,则点P的轨迹为椭圆; (2)若 ,则点P的轨迹为线段; (3)若 ,则点P不存在.,等于常数,2a|F1F2|,2a=|F1F2|,2a|F1F2|,-3-,知识梳理,考点自诊,2.椭圆的标准方程及性质,-4-,知识梳理,考点自诊,-5-,知识梳理,考点自诊,-6-,知识梳理,考点自诊,1.判断下列
2、结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆. ( ) (2)椭圆是轴对称图形,也是中心对称图形. ( ) (3)椭圆上一点P与两个焦点F1,F2构成PF1F2的周长为2a+2c(其中a为椭圆的长半轴长,c为椭圆的半焦距). ( ) (4)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆. ( ) (5)关于x,y的方程mx2+ny2=1(m0,n0,mn)表示的曲线是椭圆. ( ),-7-,知识梳理,考点自诊,2.(2018山东烟台一模,5)设F1、F2是椭圆的两个焦点,点P为椭圆上的点,且|F1F2|=8,|PF1|+|PF2|=10,则椭圆
3、的短轴长为( ) A.6 B.8 C.9 D.10,A,解析:由题意,知椭圆满足|PF1|+|PF2|=10,|F1F2|=8,由椭圆的定义可得2a=10,2c=8,解得a=5,c=4,又b2=a2-c2=52-42=9,解得b=3,所以椭圆的短轴为2b=6,故选A.,-8-,知识梳理,考点自诊,A,-9-,知识梳理,考点自诊,-10-,考点1,考点2,考点3,考点4,椭圆的定义及其标准方程,B,D,-11-,考点1,考点2,考点3,考点4,-12-,考点1,考点2,考点3,考点4,思考何时利用定义解决有关问题? 解题心得(1)解答椭圆的问题时,遇到椭圆上动点到焦点的距离,要联想到椭圆的定义,
4、解题时莫忘记2a|F1F2|这一条件;,-13-,考点1,考点2,考点3,考点4,C,D,-14-,考点1,考点2,考点3,考点4,-15-,考点1,考点2,考点3,考点4,椭圆的标准方程及应用,-16-,考点1,考点2,考点3,考点4,-17-,考点1,考点2,考点3,考点4,-18-,考点1,考点2,考点3,考点4,-19-,考点1,考点2,考点3,考点4,-20-,考点1,考点2,考点3,考点4,思考如何利用待定系数法求椭圆的标准方程?若焦点位置不定,如何根据题意设椭圆的方程? 思路点拨(1)根据焦点位置设出椭圆的方程 (ab0)代入点坐标,利用|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差
5、数列,求出a,c关系,根据c2=a2-b2联立方程求解;(2)设出一般的方程mx2+ny2=1(m0,n0且mn),代入点求解;(3)讨论焦点位置,代入点的坐标结合离心率求解.,-21-,考点1,考点2,考点3,考点4,-22-,考点1,考点2,考点3,考点4,-23-,考点1,考点2,考点3,考点4,-24-,考点1,考点2,考点3,考点4,椭圆的几何性质及应用,A,D,-25-,考点1,考点2,考点3,考点4,C,-26-,考点1,考点2,考点3,考点4,-27-,考点1,考点2,考点3,考点4,-28-,考点1,考点2,考点3,考点4,2.解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析,即使
6、不画出图形,思考时也要联想到图形,当涉及顶点、焦点、长轴、短轴、椭圆的基本量时,要理清它们之间的关系,挖掘出它们之间的内在联系.,思考求离心率的方法有哪些?如何实施这些方法?,-29-,考点1,考点2,考点3,考点4,C,D,-30-,考点1,考点2,考点3,考点4,A,-31-,考点1,考点2,考点3,考点4,解析: (1)圆M的方程可化为(x+m)2+y2=3+m2,则由题意得m2+3=4,即m2=1(m0).所以m=-1,则圆心M的坐标为(1,0).由题意知直线l的方程为x=-c,又直线l与圆M相切,所以c=1.所以a2-3=1,所以a=2.故选C. (2)因为PF1F2为等腰三角形,F
7、1F2P=120, 所以PF2=F1F2=2c,-32-,考点1,考点2,考点3,考点4,-33-,考点1,考点2,考点3,考点4,直线与椭圆的综合应用(多考向) 考向1 有关弦长问题,-34-,考点1,考点2,考点3,考点4,-35-,考点1,考点2,考点3,考点4,思考利用哪种弦长公式能使求直线和椭圆相交所得的弦长变简单?如何设直线的方程能减少计算量?,-36-,考点1,考点2,考点3,考点4,考向2 中点弦、弦中点问题,思考如何快捷求解弦中点、中点弦的问题?点差法应用何种题型?,-37-,考点1,考点2,考点3,考点4,-38-,考点1,考点2,考点3,考点4,考向3 直线与椭圆的综合应
8、用,(1)求椭圆C的方程; (2)过(0,-1)的直线l交椭圆于A,B两点,试问:是否存在一个定点T,使得以AB为直径的圆恒过点T?若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.,-39-,考点1,考点2,考点3,考点4,解 (1)因为椭圆C的两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形,-40-,考点1,考点2,考点3,考点4,(2)由已知动直线l过(0,-1)点.当l与x轴平行时,以AB为直径的圆的方程为x2+(y+1)2=16; 当l与y轴重合时,以AB为直径的圆的方程为x2+y2=9.所以两圆相切于点(0,3),即两圆只有一个公共点.因此,所求点T如果存在,只能是点(0,3).以下证
9、明以AB为直径的圆恒过点T(0,3):当l与x轴垂直时,以AB为直径的圆过点T(0,3);,-41-,考点1,考点2,考点3,考点4,-42-,考点1,考点2,考点3,考点4,-43-,考点1,考点2,考点3,考点4,-44-,考点1,考点2,考点3,考点4,3.直线方程的设法,根据题意,如果需要讨论斜率不存在的情况,则设直线方程为x=ty+m,避免讨论;若所研究的直线的斜率存在,则可设直线方程为y=kx+b的形式,若平行于坐标轴的直线都包含,则莫忘记斜率不存在的情况的讨论. 4.要证明直线过一个定点,可以先用一个变量表示出这个定点,当这个量取某一定值时,某一方程恒成立即可.,-45-,考点1
10、,考点2,考点3,考点4,对点训练4(1)在平面直角坐标系xOy中,M,N是x轴上的动点,且|OM|2+|ON|2=8,过点M,N分别作斜率为 的两条直线交于点P,设点P的轨迹为曲线E. 求曲线E的方程; 过点Q(1,1)的两条直线分别交曲线E于点A,C和B,D,且ABCD,求证:直线AB的斜率为定值.,-46-,考点1,考点2,考点3,考点4,-47-,考点1,考点2,考点3,考点4,ABCD, 设 = , = (0),A(xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC),D(xD,yD), 则(1-xA,1-yA)=(xC-1,yC-1), 即xA=1+-xC,yA=1+-yC(), 同理
11、xB=1+-xD,yB=1+-yD(),-48-,考点1,考点2,考点3,考点4,化简得3(xA+xB)(xA-xB)=-4(yA+yB)(yA-yB)() 把()()代入(),得 3(2+2)(xC-xD)-3(xC+xD)(xC-xD) =-4(2+2)(yC-yD)+4(2+2)(yC+yD)(yC-yD), 将C(xC,yC),D(xD,yD)代入椭圆方程,同理得 3(xC+xD)(xC-xD)=-4(yC+yD)(yC-yD),代入上式得3(xC-xD)=-4(yC-yD).,-49-,考点1,考点2,考点3,考点4,-50-,考点1,考点2,考点3,考点4,-51-,考点1,考点2
12、,考点3,考点4,-52-,考点1,考点2,考点3,考点4,-53-,考点1,考点2,考点3,考点4,1.求椭圆标准方程的两种常用方法,求椭圆的方程,先定性,后定量,利用待定系数法求解,注意焦点位置不定的要讨论.,-54-,考点1,考点2,考点3,考点4,2.椭圆定义的应用技巧,3.直线与椭圆相交时有关弦问题的处理方法 一般是先把直线方程与椭圆方程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程,注意直线斜率存在与否的讨论和判别式的符号判断的应用.,-55-,考点1,考点2,考点3,考点4,4.弦中点问题,-56-,考点1,考点2,考点3,考点4,1.判断椭圆的两种标准方程的方法为比较标准方程
13、形式中x2和y2的分母大小. 2.关于离心率的取值范围问题,一定不要忘记椭圆离心率的取值范围为(0,1). 3.注意椭圆的范围,在设椭圆 (ab0)上点的坐标为P(x,y)时,则|x|a,这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用,也是容易被忽略而导致求最值错误的原因.,-57-,数学核心素养例释数学抽象 数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象,得到数学研究对象的素养.主要包括:从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系,从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构,并用数学语言予以表征. 数学抽象主要表现为:获得数学概念和规则,提出数学命题和模型,形成数学方法与思想,认识数学结构与体系.,-58-,椭圆中点弦斜率公式及其应用,-59-,评析:数学抽象体现在求结论应用并转化为离心率的求解上.,-60-,评析:数学抽象体现在利用结论求弦所在直线的斜率上.,-61-,评析:数学抽象体现在利用结论求轨迹方程上.,-62-,-63-,反思提升圆锥曲线中点弦问题是高考中的一个常见的考点.其解题方法一般是利用点差法和根与系数的关系,设而不求.但一般来说解题过程是相当烦琐的.若能巧妙地利用上面的定理则可以方便快捷地解决问题. 评析:数学抽象体现在利用结论为媒介利用中点横坐标范围求解参数范围上.,
