1、第五节 直角三角形,考点一 勾股定理及其逆定理 (5年2考) 命题角度 勾股定理及其逆定理 例1 (2016东营中考)在ABC中，AB10，AC2 ，BC 边上的高AD6，则另一边BC等于( ) A10 B8 C6或10 D8或10,【分析】 BC边上的高AD可能在ABC内部，也可能在ABC 外部，故需分情况讨论 【自主解答】分以下两种情况： 如图1，AB10，AC2 ，AD6， 在RtABD中，由勾股定理得BD 8； 在RtACD中，由勾股定理得CD 2， 此时BCBDCD8210.,如图2，AB10，AC2 ，AD6， 在RtABD中，由勾股定理得BD 8； 在RtACD中，由勾股定理得C
2、D 2， 此时BCBDCD826. 综上可知，BC的长为6或10.故选C.,应用勾股定理的注意问题 (1)应用勾股定理的前提必须是在直角三角形中； (2)当直角三角形的斜边不确定时，要注意分类讨论,1(2018泸州中考)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证 明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲如图所示的“赵爽 弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一 个大正方形设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边 长为b.若ab8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长 为( ) A9 B6 C4 D3,D,2(2017安顺中考)三角形三边长分别为3，4，5，那么最 长边上的中线长等于_ 3(201
3、8襄阳中考)已知CD是ABC的边AB上的高，若CD，AD1，AB2AC，则BC的长为 ,2.5,命题角度 利用勾股定理解决最短路径问题 例2 (2018东营中考) 如图所示，圆柱的高AB3，底面直径BC3，现在有一只蚂 蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短 距离是( ),【分析】 首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最 短，然后利用勾股定理即可求解 【自主解答】 把圆柱沿AB剪开并展开，如图所示，由题意得 AB3，展开图BC ，蚂蚁从点A沿圆柱表面爬到点C的最 短距离为线段AC的长，AC 故选C.,4(2014潍坊中考)我国古代有这样一道数学问题：“枯 木一根直立地上，高
4、二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上， 五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图，把枯木 看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底 面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰 好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是_尺,25,5(2018黄冈中考)如图，圆柱形玻璃杯高为14 cm，底面 周长为32 cm，在杯内壁离杯底5 cm的点B处有一滴蜂蜜，此 时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3 cm与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为_ cm(杯壁 厚度不计),20,考点二 直角三角形的性质 (5年1考) 例2 (2018黄冈中考)如图，在RtABC中，
5、ACB90， CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD2，CE5，则 CD( )A2 B3 C4 D2,【分析】 根据直角三角形的性质得出AECE5，进而得出 DE3，利用勾股定理解答即可 【自主解答】 在RtABC中，ACB90，CE为AB边上 的中线，CE5，AECE5. AD2，DE3. CD为AB边上的高， 在RtCDE中，CD 故选C.,与直角三角形有关的解题思路 (1)在一个题目中，若直角三角形较多，可考虑利用等面积 的方法求线段的长度 (2)可利用直角三角形两锐角互余，根据同(等)角的余角相 等求角度 (3)在直角三角形中，有30锐角可考虑30角所对直角边 等于斜边的一半,
6、(4)在直角三角形中，若有斜边中点，可考虑直角三角形斜 边上的中线等于斜边的一半,6(2018淄博中考)如图，在RtABC中，CM平分ACB交 AB于点M，过点M作MNBC交AC于点N，且MN平分AMC.若AN 1，则BC的长为( )A4 B6 C4 D8,B,7(2017大连中考)如图，在ABC中，ACB90， CDAB，垂足为D，点E是AB的中点，CDDEa，则AB的长 为( )A2a B2 a C3a D. a,B,考点三 等腰直角三角形的性质与判定 (5年0考) 例3 (2018滨州中考)已知，在ABC中，A90，AB AC，点D为BC的中点 (1)如图1，若点E，F分别为AB，AC上
7、的点，且DEDF，求证： BEAF； (2)若点E，F分别为AB，CA延长线上的点，且DEDF，那么BE AF吗？请利用图2说明理由,【分析】 (1)利用等腰直角三角形的性质，连接AD，构造 BDE和ADF，通过ASA证明全等即可得出结论； (2)类比(1)，通过连接AD，仍然可以构造BDE和ADF，通 过ASA证明全等得出结论 【自主解答】 (1)如图，连接AD.,BDAEDF90， BDEEDAEDAADF， BDEADF. 又D为BC中点，ABC是等腰直角三角形， BDAD，BDAC45， BDEADF(ASA)， BEAF.,(2)BEAF.理由如下： 如图，连接AD. BDAEDF9
8、0， BDEBDFBDFADF， BDEADF. 又D为BC中点，ABC是等腰直角三角形，,BDAD， ABCDAC45， EBDFAD18045135， BDEADF(ASA)，BEAF.,8(2018枣庄中考)如图是由8个全等的小矩形组成的大正 方形，线段AB的端点都在小矩形的顶点上，如果点P是某个 小矩形的顶点，连接PA，PB，那么使ABP为等腰直角三角 形的点P的个数是( ) A2个 B3个 C4个 D5个,B,9(2018绵阳中考)如图，ACB和ECD都是等腰直角三 角形，CACB，CECD，ACB的顶点A在ECD的斜边DE上， 若AE ，AD ，则两个三角形重叠部分的面积为( ) A. B3 C. 1 D3,D,
