1、124 三角函数的图象和性质 1（正弦型）【考点讲解】1.能画出 xysin的图象；2. 了解三角函数的周期性.理解正弦函数在区间 02， 的性质（如单调性、最大值和最小值以及与 x 轴交点等）.一、具本目标：1.会用“五点法”作图；2.备考重点：(1) 掌握正弦函数及正弦型函数的图象；(2) 掌握正弦函数及正弦型函数的周期性、单调性、对称性以及最值.二、知识概述：1.正弦函数的图象与性质：性质 sinyx图象定义域 R值域 1,最值当 时， max1y；当 时， min1y周期性 2奇偶性,奇函数单调性 在 上是增函数；在 上是减函数 对称性对称中心对称轴 ，既是中心对称又是轴对称图形。2.
2、用五点法画出正弦型函数 的图象，先列表，令 ，求出对应的五个 x的值和五个 y值，再根据求出的对应的五个点的坐标描出五个点，再把五个点利用平滑的曲2线连接起来，即得到 在一个周期的图像，最后把这个周期的图像以周期为单位，向左右两边平移，则得到函数 的图象. 3.对于 来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.的图象有无穷多条对称轴，可由方程 解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象与 x轴的交点，可由 ，解得 ，即其对称中心为 相邻两对称轴间的距离为 ，相邻两对称中心间的距离也为 ,函数的对称轴一T2 T2定经过图象的最高点或最低点4.近几年高考在考查三角恒等变换的同时，对三角函数图象与
3、性质的考查力度有所加强，常常把恒等变换与图象和性质相结合来考查.三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，难度为中低档，对基础知识与基本技能加强了考查的力度，分值分配合理，更重视细节给分，其中对函数 Rx的图象要求会用五点作图法作出，并理解它的性质：函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的最大值与最小值间的距离为其函数的半个 周期；函数图象与 x轴的交点是其对称中心，相邻两对称中心间的距离也是其函数的半个周期；函数取最值的点与相邻的与 x轴的交点间的距离为其函数的 41个周期，注意函数图象平移的规律，是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移.5.确定函数
4、当 0时函数的单调性：对于函数 求其单调区间，要特别注意 的正负，若为负值，需要利用诱导公式把负号提出来，转化为 的形式，然后求其单调递增区间，应把 x放在正弦函数的递减区间之内；若求其递减区间，应把x放在正弦函数的递增区间之内.求函数 的单调区间的步骤：(1)将 化为正(2)将 x看成一个整体，由三角函数的单调性求解【特别提醒】解答三角函数的问题时，不要漏了“ kZ”. 三角函数存在多个单调区间时易错用“”联结求解三角函数的单调区间时若 x的系数为负应先化为正，同时切记不要漏掉考虑函数自身的定义域6.确定函数的对称性时，先将函数化成 的形式再求解其图象的对称轴是直线，图象与直线 By的交点是
5、图象的对称中心, 所以要记住三角函数的图象，3根据图象并结合整体代入的基本思想，就可经求出三角函数的对称轴与对称中心7.对于函数的奇偶性判断：如果 为偶函数，就有 ;如果 为奇函数，就有 .8.函数的周期性：求 的周期的方 法（1）定义法：使得当 x取定义域内的每一个值时，都有 .利用定义我们可采用取值进行验证的思路，非常适合选择题；（2）公式法：使用此法时先将函数转化为 的形式， 最小正周期是 2|T. (3)图象法：可以画出函数的图象，利用图象的重 复的特征进行确定，一般适应于不易直接判断，但是能够容易画出函数草图的函数；(4)绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析
6、式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定. 如的周期 都是 , 但 sinyxco的周期为 2，而， |ta|x的周期不变.2.使用周期公式，必须先将解析式化为 或 的形式；正弦余弦函数的最小正周期是 2T，正切函数的最小正周期公式是 T；注意一定要注意加绝对值。9.在函数 的图象平移变换中要注意人“ ”的影响，变换有两种顺序：一种ysinx的图象向左平移 个单位得 ，再把横坐标变为原来的 1倍，纵坐标不变，得的图象，另一种是把 ysinx的图象横坐标 变为原来的 倍，纵 坐标不变，得siyx的图象，向左平移 个单位得 的图
7、象【真题分析】41.【2018 年理天津卷】将函数 的图象向右平移 10个单位长度， 所得图象对应的函数A. 在区间 453， 上单调递增 B. 在区间 ，43上单调递减C. 在区间 2， 上单调递增 D. 在区间 ，2上单调递减也就是 xy2sin.可以求出函数 xy2sin的单调递增区间，也就是 ，.同理可以求出函数的单调递减区间，即 ，所以正确的选项是 A 选项.【答案】A2.【2018 届江西省六 校高三上学期第五次联考】函数 是偶函数的充要条件是（ ）A. B. C. D. 5【答案】C3.【2017 天津，文理】设函数 ， xR，其中 0， |.若 5()28f，()08f，且 (
8、)fx的最小正周期大于 2，则（ ）A. 23， 1B. 3， 1C. 13， 24D. 13， 24【解 析】本题考点是根据题中给出的条件求正弦型函数的解析式，要把握好题中给出的条件.由题意可得：，这里 Zk21，所以有 ，由题中的条件可知，函数的最小正周期大于 2，也就是 ，所以有当 时， 10，可得，由题中的条件 |，得到 2.【答案 】A 4.【2016 山东文理】函数 f（ x）=（ 3sin x+cos x） （ 3cos x sin x）的最小正周期是（ ）（A） 2 （B） （C） 2 （D）2【答案】B65.【2016 高考新课标 1 卷】已知函数 为 ()fx的零点,4x为
9、 ()yfx图像的对称轴,且 ()fx在 51836， 单调,则 的最大值为( )（A）11 （B）9 （C）7 （D）5【解析】本题考点是正弦型三角函数的性质，是因为 4x为 ()fx的零点, 4为 ()fx图像的对称轴,所以 ,即,所以 ,此时 59或，又因为 ()fx在 5,1836单调,所以 ，,即 12,由此 的最大值为 9.故选 B. 【答案】A8.【2018 年江苏卷】已知函数 的图象关于直线 3x对称，则 的值是 _【解析】本题考点是正弦型函数的对称性，通过给出的两个条件求待定参数的问题.所以要用好对称轴这个条件，由题意可知图象关于直线 3x对称，意味着函数在 3x处取得最大或
10、最小值是 1，因此有，也就是 ，可以求得 ，由题知，所以有【答案】 69.【2017 山东，理 16】设函数 ，其中 03.已知 ()06f.（）求 ；（）将函数 ()yfx的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再将得到的图象向左平7移 4个单位，得到函数 ()ygx的图象，求 ()gx在 3,4上的最小值.（）由（）得 从而 .根据 得到 ，进一步求最小值.解析：（）因为 ，所以由题设知 ()06f，所以 ， kZ.故 2k， Z，又 3，所以 2.（）由（）得 从而 .根据 得到 ，当 时， 4x时， xg取得最小值为 23.8【答案】 （） 2.（）得最小值 32.1
11、0.【2015 高考湖北，理 17】某同学用“五点法”画函数 在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： x0 232356sin()Ax0 5 0（）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数 ()fx的解析式；（）将 ()yfx图象上所有点向左平行移动 (0)个单位长度，得到 yg的图象. 若 ()ygx图象的一个对称中心为 5,0)12，求 的最小值. x0 232212371256132sin()Ax0 5 0 0且函数表达式为 . （）由（）知 ，得 .因为 sinyx的对称中心为 (,0)k， Z. 令 ，解得 ， k . 由于函数 ()ygx的图象关
12、于点 5(,0)12成中心对称，令 ，解得 23k， Z. 由 可知，当 1k时， 取得最小值 6. 9【答案】 （） ；（） 6.【模拟考场】1.【2016 高考新课标 2 理数】若将函数 2sinyx的图像向左平移 12个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）A. B. C. D. 【答案】B2.【2014 四川，理 3】 为了得到函数 的图象，只需把函数 sin2yx的图象上所有的点（ ）A向左平行移动 12个单位长度 B向右平行移动 12个单位长度C向左平行移动 个单位长度 D向右平行移动 个单位长度【解析】试题分析： ，所以只需把 sin2yx的图象上所有的点向左平移 12个单位.【
13、答案】A3.【2014 辽宁理 9】将函数 的图象向右平移 2个单位长度，所得图象对应的函数（ ）A在区间 7,12上单调递减 B在区间 7,1上单调递增C在区间 63上单调递减 D在区间 63上单调递增10【答案】B4.【2015 湖南理 2】将函数 的图像向右平移 个单位 后得到函数 ()gx的图像，若对满足 的 1x， 2，有 ，则 （ ）A.512 B. 3 C. 4 D. 6【解析】试题分析：向右平移 个单位后，得到 ，又 ，两函数最大与最小值的距离为 2，不妨 ， ， ，又 ， ，故选 D. 【答案】D.5.【2017 课标 3，文 6】函数 的最大值为（ ）A 65 B1 C 3
14、5 D 15 【解析】由诱导公式可得： ，11则： ,函数的最大值为65.【答案】A6.【2015 高考福建，理 19】已知函数 f()x的图像是由函数 的图像经如下变换得到：先将()gx图像上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标不变） ，再将所得到的图像向右平移 2p个单位长度.()求函数 f()的解析式，并求其图像的对称轴方程；()已知关于 x的方程 在 0,2)p内有两个不同的解 ,ab （1)求实数 m 的取值范围；（2)证明： 【答案】() ， ；()（1） (5,)-；（2）详见解析(2)1) （其中 ）依题意， 在区间 0,2)p内有两个不同的解 ,ab当且仅当 |15m，故 m 的取值范围是(5,)-. 2)因为 ,ab是方程 在区间 0,2)p内有两个不同的解，12所以 ， .当 15m时， 当 -时, 所以解法二：(1)同解法一.(2)1) 同解法一.2) 因为 ,ab是方程 在区间 0,2)p内有两个不同的解，所以 ， .当 15m时， 当 -时, 所以于是
