1、1一元二次方程及其应用一、选择题1. （2018山东菏泽3 分）关于 x 的一元二次方程（k+1）x 22x+1=0 有两个实数根，则 k 的取值范围是（ ）Ak0 Bk0 Ck0 且 k1 Dk0 且 k1【考点】AA：根的判别式；A1：一元二次方程的定义【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到 k+10 且=（2） 24（k+1）0，然后求出两个不等式的公共部分即可【解答】解：根据题意得 k+10 且=（2） 24（k+1）0，解得 k0 且 k1故选：D【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根与=b 24ac 有如下关系：当0 时，方程有两个不
2、相等的实数根；当=0 时，方程有两个相等的实数根；当0 时，方程无实数根2. （2018江苏盐城3 分）已知一元二次方程 有一个根为 1，则 的值为（ ） A. -2 B. 2 C. -4 D. 48.【答案】B 【考点】一元二次方程的根 【解析】 【解答】解：把 x=1 代入方程可得 1+k-3=0，解得 k=2。故答案为：B【分析】将 x=1 代入原方程可得关于 k 的一元一次方程，解之即可得 k 的值。3 （2018山西3 分）用配方法将二次函 数 y x2 8x 9 化为 y ax h 2 k 的形式为（）A. y x 42 7 B. y x 42 25 C. y x 42 7 D.y
3、 x 42 25【答案】 B【考点】 二 次 函 数 的 顶 点 式【解析】 y x2 8x 9 x2 8x 16 16 9 x 4 2 254 （2018山西3 分）下列一元二次方程 中 ，没有实数根的是 （ ）A. x2 2x 0 B. x2 4x 1 0 C. 2x2 4x 3 0 D. 3x2 5x 22【答案】 C【考点】 一 元 二 次 方 程 根 的 判 别 式【解析 】 0，有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ， =0，有 两 个 相 等 的 实 数 根 ， 0，没 有 实 数 根 .A. =4 B. =20 C. =-8 D. =15.（2018山东临沂3 分）一元二次方
4、程 y2y =0 配方后可化为（ ）A（y+ ） 2=1 B（y ） 2=1 C（y+ ） 2= D（y ） 2=【分析】根据配方法即可求出答案【解答】解：y 2y =0y2y=y2y+ =1（y ） 2=1故选：B【点评】本题考查一元二次方程的配方法，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型6. （2018安徽4 分） 若关于 的一元二次方程 x(x+1)+ax=0 有两个相等的实数根，则实数 a 的值为（ ）A. B. 1 C. D. 【答案】A【解析】 【分析】整理成一般式后，根据方程有两个相等的实数根，可得=0，得到关于 a的方程，解方程即可得.【详解】x(x+1)+ax=0，x2
5、+(a+1)x=0，由方程有两个相等的实数根，可得=（a+1） 2-410=0，解得：a 1=a2=-1，故选 A.【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根37. （2018甘肃白银，定西，武威3 分） 关于 的一元二次方程 有两个实数根，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】关于 的一元二次方程 有两个实数根，得 解不等式即可.【解答】关于 的一元二次方程 有两个实数根，得解得： 故选 C.【点评】考查一元二次方程 根的判别式 ，当 时，方程有两个不相等的实
6、数根 .当 时，方程有两个相等的实数根 .当 时，方程没有实数根 .8. （2018安徽4 分） 据省统计局发布，2017 年我省有效发明专利数比 2016 年增长22.1%假定 2018 年的平均增长率保持不变，2016 年和 2018 年我省有效发明专利分别为 a万件和 b 万件，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 【分析】根据题意可知 2017 年我省有效发明专利数为（1+22.1%）a 万件，2018 年我省有效发明专利数为（1+22.1%）（1+22.1%）a，由此即可得.【详解】由题意得：2017 年我省有效发明专利数为（1+22.1%）a 万件，2018 年我省有
7、效发明专利数为（1+22.1%）（1+22.1%）a 万件，即b=（1+22.1%） 2a 万件，故选 B.【点睛】本题考查了增长率问题，弄清题意，找到各量之间的数量关系是解题的关键.9. （2018 年江苏省泰州市3 分）已知 x1、x 2是关于 x 的方程 x2ax2=0 的两根，下列结论一定正确的是（ ）Ax 1x 2 Bx 1+x20 Cx 1x20 Dx 10，x 20【分析】A、根据方程的系数结合根的判别式，可得出0，由此即可得出 x1x 2，结论A 正确；4B、根据根与系数的关系可得出 x1+x2=a，结合 a 的值不确定，可得出 B 结论不一定正确；C、根据根与系数的关系可得出
8、 x1x2=2，结论 C 错误；D、由 x1x2=2，可得出 x10，x 20，结论 D 错误综上即可得出结论【解答】解：A=（a） 241（2）=a 2+80，x 1x 2，结论 A 正确；B、x 1、x 2是关于 x 的方程 x2ax2=0 的两根，x 1+x2=a，a 的值不确定，B 结论不一定正确；C、x 1、x 2是关于 x 的方程 x2ax2=0 的两根，x 1x2=2，结论 C 错误；D、x 1x2=2，x 10，x 20，结论 D 错误故选：A【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当0 时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键10. （2018四川宜宾3 分）
9、某市从 2017 年开始大力发展“竹文化”旅游产业据统计，该市 2017 年“竹文化”旅游收入约为 2 亿元预计 2019“竹文化”旅游收入达到 2.88 亿元，据此估计该市 2018 年、2019 年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（ ）A2% B4.4% C20% D44%【考点】AD：一元二次方程的应用【分析】设该市 2018 年、2019 年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为 x，根据 2017 年及 2019 年“竹文化”旅游收入总额，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论【解答】解：设该市 2018 年、2019 年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为 x，根
10、据题意得：2（1+x） 2=2.88，解得：x 1=0.2=20%，x 2=2.2（不合题意，舍去） 答：该市 2018 年、2019 年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为 20%故选：C【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键11. （2018四川宜宾3 分）一元二次方程 x22x=0 的两根分别为 x1和 x2，则 x1x2为（ ）5A2 B1 C2 D0【考点】AB：根与系数的关系【分析】根据根与系数的关系可得出 x1x2=0，此题得解【解答】解：一元二次方程 x22x=0 的两根分别为 x1和 x2，x 1x2=0故选：D【点评】本题考查了
11、根与系数的关系，牢记两根之积等于 是解题的关键12. （2018台湾分）若一元二次方程式 x28x311=0 的两根为 a、b，且 ab，则a2b 之值为何？（ ）A25 B19 C5 D17【分析】先利用因式分解法解方程得到 a=11，b=3，然后计算代数式 a2b 的值【解答】解：（x11） （x+3）=0，x11=0 或 x3=0，所以 x1=11，x 2=3，即 a=11，b=3，所以 a2b=112（3）=11+6=17故选：D【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为
12、 0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想） 13. （2018广东3 分）关于 x 的一元二次方程 x23x+m=0 有两个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围是（ ）Am Bm Cm Dm【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于 m 的不等式，求出 m 的取值范围即可【解答】解：关于 x 的一元二次方程 x23x+m=0 有两个不相等的实数根，=b 24ac=（3） 241m0，m 故选：A【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）60方程有两个不相等的实数根；（2）=0
13、方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根14. （2018广西桂林3 分）已知关于 x 的一元二次方程 有两个相等的实根，则 k 的值为（ ）A. B. C. 2 或 3 D. 或【答案】A【解析】分析：根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于 k 的一元一次方程，解之即可得出结论详解：方程 有两个相等的实根，=k 2-423=k2-24=0，解得：k= 故选：A点睛：本题考查了根的判别式，熟练掌握“当=0 时，方程有两个相等的两个实数根 ”是解题的关键15. (2018 四川省绵阳市)在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯 55 次，则参加酒会的人数为（ ） A.9
14、 人B.10 人C.11 人D.12 人【答案】C 【考点】一元二次方程的应用 【解析】 【解答】解：设参加酒会的人数为 x 人，依题可得：x（ x-1）=55，化简得：x 2-x-110=0，解得：x 1=11，x 2=-10（舍去） ，故答案为：C.【分析】设参加酒会的人数为 x 人，根据每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯 55 次，列出一元二次方程，解之即可得出答案.16. (2018 四川省眉山市 2 分 ) 我市某楼盘准备以每平方 6000 元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商7对价格经过连续两次下调后，决定以每平方 48
15、60 元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是（ ） 。 A.8%B.9%C.10%D.11%【答案】C 【考点】一元二次方程的实际应用-百分率问题 【解析】 【解答】解：设平均每次下调的百分率是 x,依题可得：6000（1-x） 2=4860，（1-x） 2=0.81，1-x= 0.9,x 1=0.1,x2=1.9（舍）,故答案为:C.【分析】设平均每次下调的百分率是 x,根据题意可列一元二次方程，解之即可得出答案.17（2018 四川省泸州市 3 分）已知关于 x 的一元二次方程 x22x+k1=0 有两个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围是（ ）Ak2 Bk0 Ck2 Dk0【分析
16、】利用判别式的意义得到=（2） 24（k1）0，然后解不等式即可【解答】解：根据题意得=（2） 24（k1）0，解得 k2故选：C【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根与=b 24ac 有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的实数根；当=0 时，方程有两个相等的实数根；当0 时，方程无实数根18. (2018 四川省眉山市 2 分 ) 若 ， 是一元二次方程 3x2+2x9=0 的两根，则 + 的值是（ ） 。 A.B. C. 8D.【答案】C 【考点】一元二次方程的根与系数的关系 【解析】 【解答】解：， 是一元二次方程 3x2+2x9=0 的两根，+=
17、- ，=- =-3， + = .故答案为:C.【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出 +=- ，=- =-3，再将原式通分变形，代入数值即可得出答案.19.（2018山东泰安3 分）一元二次方程（x+1） （x3）=2x5 根的情况是（ ）A无实数根 B有一个正根，一个负根C有两个正根，且都小于 3 D有两个正根，且有一根大于 3【分析】直接整理原方程，进而解方程得出 x 的值【解答】解：（x+1） （x3）=2x5整理得：x 22x3=2x5，则 x24x+2=0，（x2） 2=2，解得：x 1=2+ 3，x 2=2 ，故有两个正根，且有一根大于 3故选：D【点评】此题主要考查了一元二次
18、方程的解法，正确解方程是解题关键20.（2018河南3 分）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ ）A.x2+6x+9=0 B.x2=x C.x2+3=2x D.(x-1)2+1=021.（2018山东潍坊3 分）已知关于 x 的一元二次方程 mx2（m+2）x+ =0 有两个不相等的实数根 x1，x 2若 + =4m，则 m 的值是（ ）9A2 B1 C2 或1 D不存在【分析】先由二次项系数非零及根的判别式0，得出关于 m 的不等式组，解之得出 m 的取值范围，再根据根与系数的关系可得出 x1+x2= ，x 1x2= ，结合 + =4m，即可求出 m 的值【解答】解：关于 x 的一
19、元二次方程 mx2（m+2）x+ =0 有两个不相等的实数根x1、x 2， ，解得：m1 且 m0x 1、x 2是方程 mx2（m+2）x+ =0 的两个实数根，x 1+x2= ，x 1x2= ， + =4m， =4m，m=2 或1，m1，m=2故选：A【点评】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据二次项系数非零及根的判别式0，找出关于 m 的不等式组；（2）牢记两根之和等于 、两根之积等于 二.填空题(要求同上一.)101（2018 年四川省南充市）若 2n（n0）是关于 x 的方程 x22mx+2n=0 的根，则 mn的值为 【考点】A3：一元
20、二次方程的解【分析】根据一元二次方程的解的定义，把 x=2n 代入方程得到 x22mx+2n=0，然后把等式两边除以 n 即可【解答】解：2n（n0）是关于 x 的方程 x22mx+2n=0 的根，4n 24mn+2n=0，4n4m+2=0，mn= 故答案是： 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解2（2018 年四川省内江市）已知关于 x 的方程 ax2+bx+1=0 的两根为 x1=1，x 2=2，则方程a（x+1） 2+b（x+1）+1=0 的两根之和为 1 【考点】AB：根与系数的关系；A9：换元法解一元二次方程【分析】利用整体的
21、思想以及根与系数的关系即可求出答案【解答】解：设 x+1=t，方程 a（x+1） 2+b（x+1）+1=0 的两根分别是 x3，x 4，at 2+bt+1=0，由题意可知：t 1=1，t 2=2，t 1+t2=3，x 3+x4+2=3故答案为：1【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型3 （2018 四川省泸州市 3 分）已知 x1，x 2是一元二次方程 x22x1=0 的两实数根，则的值是 6 【分析】根据根与系数的关系及一元二次方程的解可得出x1+x2=2、x 1x2=1、 =2x1+1、 =2x2+1，将其代入 =11中即可得出结论【解答】解：
22、x 1、x 2是一元二次方程 x22x1=0 的两实数根，x 1+x2=2，x 1x2=1， =2x1+1， =2x2+1， = + = = = =6故答案为：6【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，将代数式变形为 是解题的关键4（2018 年四川省内江市）关于 x 的一元二次方程 x2+4xk=0 有实数根，则 k 的取值范围是 k4 【考点】AA：根的判别式【分析】根据方程的系数结合根的判别式0，即可得出关于 k 的一元一次不等式，解之即可得出结论【解答】解：关于 x 的一元二次方程 x2+4xk=0 有实数根，=4 241（k）=16+4k0，解得：k4故答案为：k4【点
23、评】本题考查了根的判别式，牢记“当0 时，方程有实数根”是解题的关键5. （2018湖南省常德3 分）若关于 x 的一元二次方程 2x2+bx+3=0 有两个不相等的实数根，则 b 的值可能是 6 （只写一个） 【分析】根据方程的系数结合根的判别式0，即可得出关于 b 的一元二次不等式，解之即可得出 b 的取值范围，取其内的任意一值即可得出结论【解答】解：关于 x 的一元二次方程 2x2+bx+3=0 有两个不相等的实数根，=b 24230，解得：b2 或 b2 故答案可以为：6【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当0 时，方程有两个不相等的实数根”是解12题的关键6.（2018山东威海3 分
24、）关于 x 的一元二次方程（m5）x 2+2x+2=0 有实根，则 m 的最大整数解是 m=4 【分析】若一元二次方程有实根，则根的判别式=b 24ac0，建立关于 m 的不等式，求出 m 的取值范围还要注意二次项系数不为 0【解答】解：关于 x 的一元二次方程（m5）x 2+2x+2=0 有实根，=48（m5）0，且 m50，解得 m5.5，且 m5，则 m 的最大整数解是 m=4故答案为：m=4【点评】考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根7. （2018四川自贡4 分）若函数
25、y=x2+2xm 的图象与 x 轴有且只有一个交点，则 m的值为 1 【分析】由抛物线与 x 轴只有一个交点，即可得出关于 m 的一元一次方程，解之即可得出m 的值【解答】解：函数 y=x2+2xm 的图象与 x 轴有且只有一个交点，=2 241（m）=0，解得：m=1故答案为：1【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点，牢记“当=b 24ac=0 时，抛物线与 x 轴有 1个交点”是解题的关键8. （2018江苏扬州3 分）若 m 是方程 2x23x1=0 的一个根，则 6m29m+2015 的值为 2018 【分析】根据一元二次方程的解的定义即可求出答案【解答】解：由题意可知：2m 23m
26、1=0，2m 23m=113原式=3（2m 23m）+2015=2018故答案为：2018【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型9. （2018江苏扬州3 分）关于 x 的方程 mx22x+3=0 有两个不相等的实数根，那么 m 的取值范围是 m 且 m0 【分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得=412m0 且 m0，求出m 的取值范围即可【解答】解：一元二次方程 mx22x+3=0 有两个不相等的实数根，0 且 m0，412m0 且 m0，m 且 m0，故答案为：m 且 m0【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+
27、c=0（a0，a，b，c 为常数）根的判别式=b24ac当0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根也考查了一元二次方程的定义10. （2018 年江苏省南京市2 分）设 x1、x 2是一元二次方程 x2mx6=0 的两个根，且x1+x2=1，则 x1= 2 ，x 2= 3 【分析】根据根与系数的关系结合 x1+x2=1 可得出 m 的值，将其代入原方程，再利用因式分解法解一元二次方程，即可得出结论【解答】解：x 1、x 2是一元二次方程 x2mx6=0 的两个根，且 x1+x2=1，m=1，原方程为 x2x6=0，即（x+2）（x3）=0，解得：x 1
28、=2，x 2=3故答案为：2；3【点评】本题考查了根与系数的关系以及因式分解法解一元二次方程，利用根与系数的关系求出 m 的值是解题的关键11. （2018 年江苏省泰州市3 分）已知 3xy=3a 26a+9，x+y=a 2+6a9，若 xy，则实数 a 的值为 3 【分析】根据题意列出关于 x、y 的方程组，然后求得 x、y 的值，结合已知条件 xy 来求14a 的取值【解答】解：依题意得： ，解得xy，a 26a9，整理，得（a3） 20，故 a3=0，解得 a=3故答案是：3【点评】考查了配方法的应用，非负数的性质以及解二元一次方程组配方法的理论依据是公式 a22ab+b2=（ab）
29、212 （2018湖北荆门3 分）已知 x=2 是关于 x 的一元二次方程 kx2+（k 22）x+2k+4=0 的一个根，则 k 的值为 【分析】把 x=2 代入 kx2+（k 22）x+2k+4=0 得 4k+2k24+2k+4=0，再解关于 k 的方程，然后根据一元二次方程的定义确定 k 的值【解答】解：把 x=2 代入 kx2+（k 22）x+2k+4=0 得 4k+2k24+2k+4=0，整理得 k2+3k=0，解得 k1=0，k 2=3，因为 k0，所以 k 的值为3故答案为3【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解13.（20
30、18湖北黄冈3 分）一个三角形的两边长分别为 3 和 6，第三边长是方程 x2-10x+21=0 的根，则三角形的周长为_.【考点】解一元二次方程，三角形三边的关系.【分析】将已知的方程 x2-10x+21=0 左边分解因式，利用两数相乘积为 0，两因式中至少有一个为 0 转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解得到原方程的解为 3 或 7，利用三角形 的两边之和大于第三边进行判断，得到满足题意的第三边的长，从而求得三角形的周长【解答】解：x 2-10x+21=0，15因式分解得：（x-3） （x-7）=0，解得：x 1=3，x 2=7，三角形的第三边是 x2-10x+21=0 的根，三角形的
31、第三边为 3 或 7，当三角形第三边为 3 时，3+3=6，不能构成三角形，舍去；当三角形第三边为 7 时，三角形三边分别为 3，6，7，能构成三角形，则第三边的长为 7三角形的周长为: 3+6+7=16.故答案为：16.【点评】本题考查了利用因式分解法求解解一元二次方程，以及三角形三边的关系. 利用因式分解法求解解一元二次方程时，首先将方程右边化为 0，左边分解因式，然后利用两数相乘积为 0，两因式中至少有一个为 0，转化为两个一元一次方程来求解。14. （2018江西3 分）一元二次方程 的两根为 , ,则24+2=0 12的值为 .1241+212【解析】 本题考察一元二次方程根与系数的
32、关系，因为 ，所以1241+2=0，1241=2因为 ，所以原式值为 2，有一定的技巧性.12=2【答案】 2 三.解答题(要求同上一)1 （2018湖北省孝感9 分）已知关于 x 的一元二次方程（x3） （x2）=p（p+1） （1）试证明：无论 p 取何值此方程总有两个实数根；（2）若原方程的两根 x1，x 2，满足 x12+x22x 1x2=3p2+1，求 p 的值【分析】 （1）将原方程变形为一般式，根据方程的系数结合根的判别式，即可得出=（2p+1） 20，由此即可证出：无论 p 取何值此方程总有两个实数根；（2）根据根与系数的关系可得出 x1+x2=5、x 1x2=6p 2p，结合
33、 x12+x22x 1x2=3p2+1，即可求出 p 值【解答】解：（1）证明：原方程可变形为 x25x+6p 2p=016=（5） 24（6p 2p）=2524+4p 2+4p=4p2+4p+1=（2p+1） 20，无论 p 取何值此方程总有两个实数根；（2）原方程的两根为 x1、x 2，x 1+x2=5，x 1x2=6p 2p又x 12+x22x 1x2=3p2+1，（x 1+x2） 23x 1x2=3p2+1，5 23（6p 2p）=3p 2+1，2518+3p 2+3p=3p2+1，3p=6，p=2【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当0 时，方程
34、有两个实数根” ；（2）根据根与系数的关系结合 x12+x22x 1x2=3p2+1，求出 p值2. （2018湖北省宜昌10 分）某市创建“绿色发展模范城市” ，针对境内长江段两种主要污染源：生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理” （下称甲方案）和“沿江工厂转型升级” （下称乙方案）进行治理，若江水污染指数记为 Q，沿江工厂用乙方案进行一次性治理（当年完工） ，从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的 Q 值都以平均值 n 计算第一年有 40 家工厂用乙方案治理，共使 Q 值降低了 12经过三年治理，境内长江水质明显改善（1）求 n 的值；（2）从第二年起，每年用乙方案新治理
35、的工厂数量比上一年都增加相同的百分数 m，三年来用乙方案治理的工厂数量共 190 家，求 m 的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量；（3）该市生活污水用甲方案治理，从第二年起，每年因此降低的 Q 值比上一年都增加个相同的数值 a在（2）的情况下，第二年，用乙方案所治理的工厂合计降低的 Q 值与当年因甲方案治理降低的 Q 值相等，第三年，用甲方案使 Q 值降低了 39.5求第一年用甲方案治理降低的 Q 值及 a 的值【分析】 （1）直接利用第一年有 40 家工厂用乙方案治理，共使 Q 值降低了 12，得出等式求出答案；（2）利用从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百
36、分数 m，三年来用乙方案治理的工厂数量共 190 家得出等式求出答案；（3）利用 n 的值即可得出关于 a 的等式求出答案【解答】解：（1）由题意可得：40n=12，解得：n=0.3；17（2）由题意可得：40+40（1+m）+40（1+m） 2=190，解得：m 1= ，m 2= （舍去） ，第二年用乙方案新治理的工厂数量为：40（1+m）=40（1+50%）=60（家） ，（3）设第一年用乙方案治理降低了 100n=1000.3=30，则（30a）+2a=39.5，解得：a=9.5，则 Q=20.5设第一年用甲方案整理降低的 Q 值为 x，第二年 Q 值因乙方案治理降低了 100n=100
37、0.3=30，解法一：（30a）+2a=39.5a=9.5x=20.5【点评】考查了一元二次方程和一元一次方程的应用解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解3（2018湖北黄石8 分）已知关于 x 的方程 x22x+m=0 有两个不相等的实数根 x1、x 2（1）求实数 m 的取值范围；（2）若 x1x 2=2，求实数 m 的值【分析】 （1）根据根的判别式得出不等式，求出不等式的解集即可；（2）根据根与系数的关系得出 x1+x2=2，和已知组成方程组，求出方程组的解，再根据根与系数的关系求出 m 即可【解答】解：（1）由题意得：=（2） 241m=
38、44m0，解得：m1，即实数 m 的取值范围是 m1；（2）由根与系数的关系得：x 1+x2=2，即 ，解得：x 1=2，x 2=0，由根与系数的关系得：m=20=0【点评】本题考查了根与系数的关系和根的判别式、一元二次方程的解，能熟记根与系数的关系的内容和根的判别式的内容是解此题的关键4. （2018江苏盐城10 分）一商店销售某种商品，平均每天可售出 20 件，每件盈利 4018元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于 25 元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低 1 元，平均每天可多售出 2 件. （1）若降价 3 元，则平均每天销售数量为_件； （2）
39、当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为 1200 元？ 23.【答案】 （1）26（2）解：解：设每件商品降价 x 元时，该商店每天销售利润为 1200 元，则平均每天销售数量为（20+2x）件，每件盈利为（40-x）元，且 40-x25,即 x15.根据题意可得（40-x） （20+2x）=1200，整理得 x2-30x+200=0,解得 x1=10,x2=20（舍去） ，答：每件商品降价 10 元时，该商店每天销售利润为 1200 元。 【考点】一元二次方程的实际应用-销售问题 【解析】 【分析】 （1）根据等量关系“原销售件数+2降价数=降价后的销售件数”计算；（2）根据等量关系“
40、每件盈利销量=利润” ，可设降价 x 元，则销量根据（1）的等量关系可得为（20+2x）件，而每件盈利为（40-x）元，利润为 1200 元，代入等量关系解答即可。5. （2018四川成都6 分）若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，求 的取值范围. 【答案】由题知： . 原方程有两个不相等的实数根， ， . 【考点】一元二次方程的求根公式及应用 【解析】 【分析】根据已知条件此方程有两个不相等的实数根，得出 b2-ac0,解不等式求解即可。6（2018北京5 分）关于 x的一元二次方程 210axb（1）当 2ba时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写
41、出一组满足条件的 a， b的值，并求此时方程的根【解析】 （1）解：由题意： 0a 22 2440b，原方程有两个不相等的实数根（2）答案不唯一，满足 2ba（ ）即可，例如：解：令 1a， ，则原方程为 210x，19解得： 12x【考点】一元二次方程7. （ 2018新疆生产建设兵团8 分）先化简，再求值：（ +1） ，其中 x是方程 x2+3x=0 的根【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后根据 x2+3x=0 可以求得 x 的值，注意代入的 x 的值必须使得原分式有意义【解答】解：（ +1）=x+1，由 x2+3x=0 可得，x=0 或 x=3，当 x=0 时，原来的分
42、式无意义，当 x=3 时，原式=3+1=2【点评】本题考查分式的化简求值、一元二次方程的解，解答本题的关键是明确分式的化简求值的计算方法8. （2018重庆(A)10 分）在美丽乡村建设中，某县通过政府投入进行村级道路硬化和道路拓宽改造。（1） 原计划是今年 1 至 5 月，村级道路硬化和道路拓宽的里程数共 50 千米，其中道路硬化的里程数至少是道路拓宽的里程数的 4 倍，那么，原计划今年 1 至 5 月，道路硬化和里程数至少是多少千米？（2） 到今年 5 月底，道路硬化和道路拓宽的里程数刚好按原计划完成，且道路硬化的里程数正好是原计划的最小值。2017 年通过政府投入 780 万元进行村级道
43、路硬化和道路拓宽的里程数共 45 千米，每千米的道路硬化和道路拓宽的经费之比为 1 : 2，且里程 数之比为 2 : 1，为加快美丽乡村建设，政府决定加大投入。经测算：从今年6 月起至年底，如果政府投入经费在 2017 年的基础上增加 10a%（a0） ，并全部用于道路硬化和道路拓宽，而每千米道路硬化、道路拓宽的费用也在 2017 年的基础上分别增加 a%，5a%，那么道路硬化和道路拓宽的里程数将会在今年 1 至 5 月的基础上分别增加 5a%，8a%，求 a 的值。【考点】一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用【解析】解：20（1） 设道路硬化的里程数至少是 x 千米。则由题意得：x4(5
44、0-x)解不等式得：x40答：道路硬化的里程数至少是 40 千米。（2） 由题意得：2017 年：道路硬化经费为：13 万/千米，里程为：30km道路拓宽经费为：20 万/千米，里程为：15km今年 6 月起：道路硬化经费为：13（1+a%）万/千米，里程数：40（1+5a%）km道路拓宽经费为：26（1+5a%）万/千米，里程数：10（1+8a%）km又政府投入费用为：780（1+10a%）万元列方程：13(1+a%)40(1+5a%)+26(1+5a%)10(1+8a%)=780(1+10a%)令 a%=t，方程可整理为：13(1+t)40(1+5t)+26(1+5t)10(1+8t)=7
45、80(1+10t) 520(1+t)(1+5t)+260(1+5t)(1+8t)=780(1+10t)化简得：2(1+t)(1+5t)+(1+5t)(1+8t)=3 (1+10t)t(10t-1)=0 10t（舍去） ， 210t. a = 10答：a 的值为 10。【点评】本题考查一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用。求出本题的关键是将道路硬化，道路拓宽的里程数及每千米需要的经费求出。（1） 利用“道路硬化的里程数是道路拓宽里程数的 4 倍”列出不等式求解。（2） 根据 2017 年道路硬化和道路拓宽的里程数及每千米经费，表示出 6 月起道路硬化及道路拓宽的里程数及每千米经费。表示出总费
46、用列方程求解。219（2018 年四川省南充市）已知关于 x 的一元二次方程 x2（2m2）x+（m 22m）=0（1）求证：方程有两个不相等的实数根（2）如果方程的两实数根为 x1，x 2，且 x12+x22=10，求 m 的值【考点】AB：根与系数的关系；AA：根的判别式【分析】根据根与系数的关系即可求出答案【解答】解：（1）由题意可知：=（2m2） 24（m 22m）=40，方程有两个不相等的实数根（2）x 1+x2=2m2，x 1x2=m22m， + =（x 1+x2） 22x 1x2=10，（2m2） 22（m 22m）=10，m 22m3=0，m=1 或 m=3【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及一元二次方程的解法，本题属于中等题型10.（2018广东广州14 分）已知抛物线 。 （1）证明：该抛物线与 x 轴总有两个不同的交点。 （2）设该抛物线与 x 轴的两个交点分别为 A，B（点 A 在点 B 的右侧） ，与 y
