1、1一元二次方程及其应用一.选择题1.（2018云南省昆明4 分）关于 x的一元二次方程 x22 x+m=0有两个不相等的实数根，则实数 m的取值范围是（ ）Am3 Bm3 Cm3 Dm3【分析】根据关于 x的一元二次方程 x22 x+m=0有两个不相等的实数根可得=（2） 24m0 ，求出 m的取值范围即可【解答】解：关于 x的一元二次方程 x22 x+m=0有两个不相等的实数根，=（2 ） 24m0，m3，故选：A【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0，a，b，c 为常数）的根的判别式=b24ac当0 时，方程有两个不相等的实数根；当=0 时，方程有两个相等的实数根；当0
2、 时，方程没有实数根2. （2018呼和浩特3 分）下列运算及判断正确的是（ ）#ERR1A5 （ ）5=1B方程（x 2+x1） x+3=1有四个整数解C若 a5673=103，a10 3=b，则 ab=D有序数对（m 2+1，m）在平面直角坐标系中对应的点一定在第一象限【解答】解：A5 （ ）5=1（5）5=25，故错误；B方程（x 2+x1） x+3=1有四个整数解：x=1，x=2，x=3，x=1，故正确；C若 a5673=103，a10 3=b，则 ab= = ，故错误；D有序数对（m 2+1，m）在平面直角坐标系中对应的点一定在第一象限或第四象限或 x轴正半轴上，故错误；故选：B3.
3、（2018湖北咸宁3 分）已知一元二次方程 2x2+2x1=0 的两个根为 x1，x 2，且x1x 2，下列结论正确的是（ ）A. x1+x2=1 B. x1x2=1 C. |x 1|x 2| D. x12+x1=【答案】D【解析】 【分析】直接利用根与系数的关系对 A.B进行判断；由于 x1+x20，x 1x20，则2利用有理数的性质得到 x1.x2异号，且负数的绝对值大，则可对 C进行判断；利用一元二次方程解的定义对 D进行判断【详解】根据题意得 x1+x2= =1，x 1x2= ，故 A.B选项错误；x 1+x20，x 1x20，x 1.x2异号，且负数的绝对值大，故 C选项错误；x 1
4、为一元二次方程 2x2+2x1=0 的根，2x 12+2x11=0，x 12+x1= ，故 D选项正确，故选 D【点睛】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握相关内容是解题的关键.4.（2018辽宁大连3 分）如图，有一张矩形纸片，长 10cm，宽 6cm，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是 32cm2，求剪去的小正方形的边长设剪去的小正方形边长是 xcm，根据题意可列方程为（ ）A10646x=32 B （102x） （62x）=32 C （10x）（6x）=32 D1064x 2=32解：设剪去的小
5、正方形边长是 xcm，则纸盒底面的长为（102x）cm，宽为（62x）cm，根据题意得：（102x） （62x）=32故选 B二.填空题1. （2018湖北荆州3 分）关于 x的一元二次方程 x22kx+k 2k=0 的两个实数根分别是 x1.x2，且 x12+x22=4，则 x12x 1x2+x22的值是 【解答】解：x 22kx+k 2k=0 的两个实数根分别是 x1.x2，x 1+x2=2k，x 1x2=k2k，x 12+x22=4， =4，（2k） 22（k 2k）=4，2k2+2k4=0，k2+k2=0，3k=2 或 1，=（2k） 241（k 2k）0，k0，k=1，x 1x2=k
6、2k=0，x 12x 1x2+x22=40=4故答案为：42.（2018云南省曲靖3 分）关于 x的方程 ax2+4x2=0（a0）有实数根，那么负整数a= 2 （一个即可） 【解答】解：关于 x的方程 ax2+4x2=0（a0）有实数根，=4 2+8a0，解得 a2，负整数 a=1 或2故答案为23.（2018浙江省台州5 分）已知关于 x的一元二次方程 x2+3x+m=0有两个相等的实数根，则 m= 【分析】利用判别式的意义得到=3 24m=0，然后解关于 m的方程即可，【解答】解：根据题意得=3 24m=0，解得 m= 故答案为 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+
7、c=0（a0）的根与=b 24ac 有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的实数根；当=0 时，方程有两个相等的实数根；当0 时，方程无实数根4. （4 分）已知 x1，x 2是方程 2x23x1=0 的两根，则 x12+x22= 【分析】找出一元二次方程的系数 a，b 及 c的值，利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，然后利用完全平方公式变形后，将求出的两根之和与两根之积代入，即可求出所求式子的值【解答】解：x 1.x2是方程 2x23x1=0 的两根，x 1+x2= x 1x2= ，x 12+x22= ，4故答案为：【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，对所求的代数式进行正确的
8、变形是解决本题的关键三.解答题1. （2018广西梧州6 分）解方程：2x 24x30=0【分析】利用因式分解法解方程即可；【解答】解：2x 24x30=0，x 22x15=0，（x5） （x+3）=0，x 1=5，x 2=3【点评】本题考查一元二次方程的解法因式分解法，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的解法，属于中考基础题2. （2018湖北江汉7 分）已知关于 x的一元二次方程 x2+（2m+1）x+m 22=0（1）若该方程有两个实数根，求 m的最小整数值；（2）若方程的两个实数根为 x1，x 2，且（x 1x 2） 2+m2=21，求 m的值【分析】 （1）利用判别式的意义得到=（2
9、m+1） 24（m 22）0，然后解不等式得到 m的范围，再在此范围内找出最小整数值即可；（2）利用根与系数的关系得到 x1+x2=（2m+1） ，x 1x2=m22，再利用（x 1x 2） 2+m2=21得到（2m+1） 24（m 22）+m 2=21，接着解关于 m的方程，然后利用（1）中 m的范围确定 m的值【解答】解：（1）根据题意得=（2m+1） 24（m 22）0，解得 m ，所以 m的最小整数值为2；（2）根据题意得 x1+x2=（2m+1） ，x 1x2=m22，（x 1x 2） 2+m2=21，（x 1+x2） 24x 1x2+m2=21，（2m+1） 24（m 22）+m
10、2=21，整理得 m2+4m12=0，解得 m1=2，m 2=6，m ，m 的值为 23. （2018湖北十堰7 分）已知关于 x的一元二次方程 x2（2k1）x+k 2+k1=0 有实数根5（1）求 k的取值范围；（2）若此方程的两实数根 x1，x 2满足 x12+x22=11，求 k的值【分析】 （1）根据方程有实数根得出=（2k1） 241（k 2+k1）=8k+50，解之可得（2）利用根与系数的关系可用 k表示出 x1+x2和 x1x2的值，根据条件可得到关于 k的方程，可求得 k的值，注意利用根的判别式进行取舍【解答】解：（1）关于 x的一元二次方程 x2（2k1）x+k 2+k1=
11、0 有实数根，0，即（2k1） 241（k 2+k1）=8k+50，解得 k （2）由根与系数的关系可得 x1+x2=2k1，x 1x2=k2+k1，x 12+x22=（x 1+x2） 22x 1x2=（2k1） 22（k 2+k1）=2k 26k+3，x 12+x22=11，2k 26k+3=11，解得 k=4，或 k=1，k ，k=4（舍去） ，k=1【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法4 （2018辽宁省沈阳市） （8.00 分）某公司今年 1月份的生产成本是 400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3 月份的生产成本是
12、 361万元假设该公司 2.3.4月每个月生产成本的下降率都相同（1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测 4月份该公司的生产成本【分析】 （1）设每个月生产成本的下降率为 x，根据 2月份、3 月份的生产成本，即可得出关于 x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）由 4月份该公司的生产成本=3 月份该公司的生产成本（1下降率） ，即可得出结论【解答】解：（1）设每个月生产成本的下降率为 x，根据题意得：400（1x） 2=361，解得：x 1=0.05=5%，x 2=1.95（不合题意，舍去） 答：每个月生产成本的下降率为 5%（2）361（15%）=342.95（万元） 答
13、：预测 4月份该公司的生产成本为 342.95万元6【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算5 （2018重庆市 B卷） （10.00 分）在美丽乡村建设中，某县政府投入专项资金，用于乡村沼气池和垃圾集中处理点建设该县政府计划：2018 年前 5个月，新建沼气池和垃圾集中处理点共计 50个，且沼气池的个数不低于垃圾集中处理点个数的 4倍（1）按计划，2018 年前 5个月至少要修建多少个沼气池？（2）到 2018年 5月底，该县按原计划刚好完成了任务，共花费资金 78万元，且修建的沼气池个数恰好是原计划的最小值据
14、核算，前 5个月，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用之比为 1：2为加大美丽乡村建设的力度，政府计划加大投入，今年后 7个月，在前 5个月花费资金的基础上增加投入 10a%，全部用于沼气池和垃圾集中处理点建设经测算：从今年 6月起，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用在 2018年前 5个月的基础上分别增加 a%，5a%，新建沼气池与垃圾集中处理点的个数将会在 2018年前 5个月的基础上分别增加 5a%，8a%，求 a的值【分析】 （1）设 2018年前 5个月要修建 x个沼气池，则 2018年前 5个月要修建（50x）个垃圾集中处理点，根据沼气池的个数不低于垃圾集中处理点个数的
15、4倍，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论；（2）根据单价=总价数量可求出修建每个沼气池的平均费用，进而可求出修建每个垃圾集中点的平均费用，设 y=a%结合总价=单价数量即可得出关于 y的一元二次方程，解之即可得出 y值，进而可得出 a的值【解答】解：（1）设 2018年前 5个月要修建 x个沼气池，则 2018年前 5个月要修建（50x）个垃圾集中处理点，根据题意得：x4（50x） ，解得：x40答：按计划，2018 年前 5个月至少要修建 40个沼气池（2）修建每个沼气池的平均费用为 7840+（5040）2=1.3（万元） ，修建每个垃圾处理点的平均费用为 1.32
16、=2.6（万元） 根据题意得：1.3（1+a%）40（1+5a%）+2.6（1+5a%）10（1+8a%）=78（1+10a%） ，设 y=a%，整理得：50y 25y=0，解得：y 1=0（不合题意，舍去） ，y 2=0.1，a 的值为 10【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据沼气池的个数不低于垃圾集中处理点个数的 4倍，列出关于 x的一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程76. （2018呼和浩特7 分）已知关于 x的一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）有两个实数根x1，x 2，请用配方法探索有实数根的条件，并推导出
17、求根公式，证明 x1x2= 解：ax 2+bx+c=0（a0） ，x 2+ x= ，x 2+ x+（ ） 2= +（ ） 2，即（x+ ） 2= ，4a 20，当 b24ac0 时，方程有实数根，x+ = ，当 b24ac0 时，x 1= ，x 2= ；当 b24ac=0 时，x 1=x2= ；x 1x2= = = = ，或 x1x2=（ ） 2= = = ，x 1x2= 7. （2018乐山10 分）先化简，再求值：（2m+1） （2m1）（m1） 2+（2m）3（8m） ，其中 m是方程 x2+x2=0 的根解：原式=4m 21（m 22m+1）+8m 3（8m）=4m21m 2+2m1m
18、 2=2m2+2m2=2（m 2+m1） m 是方程 x2+x2=0 的根，m 2+m2=0，即 m2+m=2，则原式=2（21）=27. （2018乐山10 分）已知关于 x的一元二次方程 mx2+（15m）x5=0（m0） （1）求证：无论 m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；（2）若抛物线 y=mx2+（15m）x5=0 与 x轴交于 A（x 1，0） 、B（x 2，0）两点，且|x1x 2|=6，求 m的值；（3）若 m0，点 P（a，b）与 Q（a+n，b）在（2）中的抛物线上（点 P、Q 不重合） ，求8代数式 4a2n 2+8n的值（1）证明：由题意可得：=（15m） 24m（5）=1+25m220m+20m=25m2+10，故无论 m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；（2）解：mx 2+（15m）x5=0，解得：x 1= ，x 2=5，由|x 1x 2|=6，得| 5|=6，解得：m=1 或 m= ；（3）解：由（2）得：当 m0 时，m=1，此时抛物线为 y=x24x5，其对称轴为：x=2，由题已知，P，Q 关于 x=2对称， =2，即 2a=4n ，4a 2n 2+8n=（4n）2n 2+8n=16
