1、第3讲 立体几何中的向量方法,体验真题,1考查形式 题型：解答题，一般第(1)问位置关系的证明，第(2)问求空间角；难度：中档 2命题角度 利用空间向量解决立体几何中的位置关系的判断、空间角的计算等问题，高考每年必考 3素养目标 提升数学运算、逻辑推理等素养,感悟高考,设直线l的方向向量为a(a1，b1，c1)，平面、的法向量分别为(a2，b2，c2)，v(a3，b3，c3)则有： (1)线面平行 laa0a1a2b1b2c1c20.,热点一 利用空间向量证明平行与垂直(探究变通),(2)线面垂直 laaka1ka2，b1kb2，c1kc2(k0) (3)面面平行 vva2a3，b2b3，c2
2、c3(0) (4)面面垂直 vv0a2a3b2b3c2c30.,互动探究 例1条件不变，若M是BC中点，试判断MA与平面CDE是否平行？证明你的结论,互动探究答案,方法技巧 向量法证明平行与垂直的步骤 (1)建立空间直角坐标系，建系时，要尽可能地利用载体中的垂直关系； (2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素； (3)通过空间向量的运算求出平面向量或法向量，再研究平行、垂直关系； (4)根据运算结果解释相关问题,突破练1 如图所示，平面PAC平面ABC，ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC16，PA
3、PC10. (1)设G是OC的中点，证明：FG平面BOE； (2)证明：在ABO内存在一点M，使FM平面BOE.,证明 (1)如图所示，连接OP， 因为PAPC，所以OPAC， 因为平面PAC平面ABC， 所以OP平面ABC，OPOB， 又因为ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，所以OBAC.以O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，,热点二 利用空间向量求空间角（多维贯通）,命题点1 利用空间向量求线线角、线面角(2018浙江)如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，ABC120，A1A4，C1C1
4、，ABBCB1B2. (1)证明：AB1平面A1B1C1； (2)求直线AC1与平面ABB1 所成的角的正弦值,例2,【解析】 (1)证明 如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz.,命题点2 利用空间向量求二面角(2018天津)如图，ADBC且AD2BC，ADCD，EGAD且EGAD，CDFG且CD2FG，DG平面ABCD，DADCDG2.,例3,(1)若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN平面CDE； (2)求二面角EBCF的正弦值； (3)若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60，求线段DP的长,易错警示 求空
5、间角的关注点 (1)两条异面直线所成的角不一定是直线的方向向量的夹角，与的关系为cos |cos |. (2)两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，有可能为两法向量夹角的补角 (3)直线和平面所成的角的正弦值等于平面法向量与直线方向向量夹角的余弦值的绝对值，即注意函数名称的变化,解析 (1)证明 设AC，BD交于点E，连接ME，如图， 因为PD平面MAC，平面MAC平面PDBME， 所以PDME.因为四边形ABCD是正方形， 所以E为BD的中点，所以M为PB的中点,图,(2)如图，取AD的中点O，连接OP，OE. 因为PAPD，所以OPAD. 又因为平面PAD平面ABCD，面PAD面ABC
6、DAD，且OP平面PAD，所以OP平面ABCD. 因为OE平面ABCD，所以OPOE. 因为四边形ABCD是正方形，所以OEAD.,图,热点三 向量法解决探索性问题（深研通法）,例4,【解析】 (1)证明 因为ABCD是菱形，所以ADAB， 因为DAB60， 所以ABD为等边三角形，E为AB中点， 所以DEAB，所以DECD， 因为ADMN是矩形，所以NDAD， 又平面ADMN平面ABCD，平面ADMN平面ABCDAD， 所以ND平面ABCD，所以NDDE，因为CDNDD，所以DE平面NDC，,因为DE平面MDE，所以平面MDE平面NDC. 因为平面ABM平面NDC， 所以平面DEM平面ABM. (2)假设存在点P符合题意 由(1)知，DE，DC，DN两两垂直，以D为原点，建立空间直角坐标系Dxyz(如图)，,突破练3 (2018泰安模拟) 如图所示，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD平面ABCD，NB平面ABCD，且MDNB1，E为BC的中点 (1)求异面直线NE与AM所成角的余弦值； (2)在线段AN上是否存在点S，使得ES平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由,解析 (1)如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz.,
