1、1第 4 讲 空间几何体的结构及其表面积和体积1正六棱柱的高为 6，底面边长为 4，则它的全面积为_解析： S 底 6 4224 ， S 侧 646144，所以 S 全 S 侧 2 S 底 1444834 3 48(3 )3 3答案：48(3 )32将一个边长分别为 4，8 的矩形卷成一个圆柱，则这个圆柱的表面积是_解析：当以长度为 4 的边为底面圆时，底面圆的半径为 2，两个底面的面积是 8；当以长度为 8 的边为底面圆时，底面圆的半径为 4，两个底面圆的面积为 32.无论哪种方式，侧面积都是矩形的面积 32 2.故所求的表面积是 32 28 或 32 232.答案：32 28 或 32 2
2、323一个球与一个正方体的各个面均相切，正方体的棱长为 a，则球的表面积为_解析：由题意知，球的半径 R .所以 S 球 4 R2 a2.a2答案： a24以下命题：以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台其中正确命题的个数为_解析：命题错，因这条腰必须是垂直于两底的腰命题对命题错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才行答案：15(2019江苏省重点中学领航高考冲刺卷(二)在一次模具制作大赛中，小明制作了一个母线长和底面直径相等的圆锥，而小强制作了一个球，经测量得圆锥的侧面积恰好等于球的表面积，则圆锥和球的体积的比值等于
3、_解析：设圆锥的底面半径为 r，球的半径为 R，则圆锥的母线长为 2r，高为 r.由题3意可知 r2r4 R2，2即 r R.所以 ( )3 .2V圆 锥V球13 r23r43 R3 34 (rR)3 34 2 62答案：626(2019苏锡常镇四市调研)如图，四棱锥 PABCD 中， PA底面 ABCD，底面 ABCD是矩形， AB2， AD3， PA4，点 E 为棱 CD 上一点，则三棱锥 EPAB 的体积为_解析：因为 VEPAB VPABE S ABEPA ABADPA 2344.13 13 12 13 12答案：4 7(2019江苏省高考名校联考(四)如图，在四棱柱 ABCDA1B1
4、C1D1中，上、下底面为平行四边形， E 为棱 CD 的中点，设四棱锥 EADD1A1的体积为 V1，四棱柱 ABCDA1B1C1D1的体积为 V2，则 V1 V2_解析：由题意，将侧面 ADD1A1作为四棱柱的底面，设顶点 C 到平面 ADD1A1的距离为2h，因为 E 为棱 CD 的中点，所以 E 到平面 ADD1A1的距离为 h，所以V1 V2 VEADD1A1 VBCC1B1ADD1A1 S 四边形 ADD1A1h S 四边形 ADD1A1(2h)16.13答案：168(2019南京市、盐城市高三年级第二次模拟考试)在边长为 4 的正方形 ABCD 内剪去四个全等的等腰三角形(如图 1
5、 中阴影部分所示)，折叠成底面边长为 的正四棱锥2SEFGH(如图 2)，则正四棱锥 SEFGH 的体积为_3解析：设正四棱锥 S EFGH 的高为 h，体积为 V，点 S 到 HG 的距离为 h，则 2h 4 ，得 h ，所以 h 2，所以 V ( )22 .2 2322 (322)2 (22)2 13 2 43答案：439(2019江苏省名校高三入学摸底卷)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，若某阳马的底面积为 7，最长的侧棱长为 5 ，则该阳马的体积的最大值为_2解析：设该阳马的底面边长分别为 a， b，高为 h，最长的侧棱
6、长为 l，则 ab7，由于l2 a2 b2 h2且 l5 ，所以 h2 l2( a2 b2)(5 )22 ab502736(当且仅当2 2a b 时取等号)，即有 hmax6，所以该阳马的体积的最大值为 abhmax 7614.713 13答案：1410(2019江苏省重点中学领航高考冲刺卷(八)中国古代数学名著九章算术中记载：“今有羡除” 刘徽注：“羡除，隧道也其所穿地，上平下邪 ”现有一个羡除如图所示，四边形 ABCD、 ABFE、 CDEF 均为等腰梯形，AB CD EF， AB6， CD8， EF10， EF 到平面 ABCD 的距离为 3， CD 与 AB 间的距离为10，则这个羡除
7、的体积是_解析：如图，过点 A 作 AP CD， AM EF，过点 B 作 BQ CD， BN EF，垂足分别为P， M， Q， N，连结 PM， QN，将一侧的几何体补到另一侧，组成一个直三棱柱，底面积为10315.棱柱的高为 8，体积 V158120.124答案：12011一个正三棱台的两底面的边长分别为 8 cm、18 cm，侧棱长是 13 cm，求它的全面积解：上底面周长为 c3824 cm，下底面周长 c31854 cm，斜高 h 12 cm，132 (18 82 )2 所以 S 正棱台侧 (c c)h (2454)12468 cm2， S 上底面 8216 12 12 34 3cm
8、2，S 下底面 18281 cm2，34 3所以正三棱台的全面积为S46816 81 (46897 ) cm2.3 3 312如图所示，已知 E、 F 分别是棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1的棱 A1A、 CC1的中点，求四棱锥 C1B1EDF 的体积解：法一：连结 A1C1， B1D1交于点 O1，连结 B1D， EF，过 O1作 O1H B1D 于 H.因为 EF A1C1，且 A1C1平面 B1EDF，所以 A1C1平面 B1EDF.所以 C1到平面 B1EDF 的距离就是 A1C1到平面 B1EDF 的距离因为平面 B1D1D平面 B1EDF，平面 B1D1D平面 B1E
9、DF B1D，所以 O1H平面 B1EDF，即 O1H 为棱锥的高因为 B1O1H B1DD1，所以 O1H a.B1O1DD1B1D 665所以 VC1B1EDF S 四边形 B1EDFO1H EFB1DO1H a a a a3.13 13 12 13 12 2 3 66 16法二：连结 EF， B1D.设 B1到平面 C1EF 的距离为 h1， D 到平面 C1EF 的距离为 h2，则 h1 h2 B1D1 a.2由题意得， VC1B1EDF VB1C1EF VDC1EF S C1EF(h1 h2) a3.13 161已知圆锥的轴截面是边长为 2 的正三角形，则过圆锥的高的中点的平面截圆锥
10、所得的圆台的体积为_解析：如图，在正三角形 SAB 中，AB2， SO ， OB1， O1O ，332圆台的体积为 V h(r2 rr r 2)13 .13 32(14 121 1) 7324答案：73242已知 A， B 是球 O 的球面上两点， AOB90， C 为该球面上的动点若三棱锥OABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为_解析：如图，设球的半径为 R，因为 AOB90，所以 S AOB R2.12因为 VO ABC VCAOB，而 AOB 面积为定值，所以当点 C 到平面 AOB 的距离最大时， VO ABC最大，所以当 C 为与球的大圆面 AOB 垂直的直径的端点时，体
11、积 VO ABC最大为 R2R36，13 12所以 R6，所以球 O 的表面积为 4 R246 2144.答案：1443已知三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都等于 2， A1在底面 ABC 上的射影为 BC的中点，则三棱柱的侧面积为_解析：如图所示，设点 D 为 BC 的中点，则 A1D平面 ABC，因为 BC平面 ABC，所以 A1D BC，6因为 ABC 为等边三角形，所以 AD BC，又 AD A1D D， AD平面 A1AD， A1D平面 A1AD，所以 BC平面 A1AD，因为 A1A平面 A1AD，所以 BC A1A.又因为 A1A B1B，所以 BC B1B.又因为三棱
12、柱的侧棱与底面边长都等于 2，所以四边形 BB1C1C 是正方形，其面积为 4.作 DE AB 于 E，连结 A1E，则 AB A1E，又因为 AD ， DE ，22 12 3ADBDAB 32所以 AE ，AD2 DE232所以 A1E ，72所以 S 四边形 ABB1A1 S 四边形 AA1C1C ，7所以 S 三棱柱侧 2 4.7答案：2 474.(2019苏州市高三调研测试)鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱分成三组，经 90榫卯起来若正四棱柱的高为 5，底面正方形的边长为1，现
13、将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为_(容器壁的厚度忽略不计，结果保留 )解析：由题意知，可将问题转化为求长、宽、高分别是 1，2，5 的长方体的外接球的表面积，易知该球的直径 2R ，则该球的表面积为 4 R230.12 22 52 30答案：305四面体的六条棱中，有五条棱长都等于 a.(1)求该四面体的体积的最大值；(2)当四面体的体积最大时，求其表面积解：(1)如图，在四面体 ABCD 中，设AB BC CD AC BD a， AD x，取 AD 的中点为 P， BC 的中点为 E，连结BP、 EP、 CP，得到 AD平面 BPC，7所以 VABCD VABPC V
14、DBPC S BPCAP S BPCPD S BPCAD a13 13 13 13 12xa2 x24 a24 a3a12（ 3a2 x2） x2 a12 3a22 18.(当 且 仅 当 x62a时 取 等 号 )所以该四面体的体积的最大值为 a3.18(2)由(1)知， ABC 和 BCD 都是边长为 a 的正三角形， ABD 和 ACD 是全等的等腰三角形，其腰长为 a，底边长为 a，62所以 S 表 2 a22 a a2 a a2 34 12 62 a2 (64a)2 32 62 10a4 32 15a24a2.23 1546把边长为 a 的正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的正三角形底铁皮箱，当箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？解：由题图可知，箱底边长为 x，则箱高为 h (00；当 x 时， V( x)0，(0，23a) (23a， a)所以函数 V(x)在 x a 处取得极大值，23这个极大值就是函数 V(x)的最大值：V a a3.(23a) 18 (23a)2 18 (23a)3 154所以当箱子底边长为 a 时，箱子容积最大，最大值为 a3.23 1548
