1、第 二 章,数列,2.4 等比数列,第2课时 等比数列的性质,自主预习学案,1915年，波兰数学家谢尔宾斯基(W.Sierpinski)创造了一个美妙的“艺术品”，被人们称为谢尔宾斯基三角形，如图所示如果我们来看一看图中那些白色三角形的个数，并把它们按面积大小，从小到大依次排列起来，可以得到一列数：1,3,9,27,81，我们知道，这些数构成等比数列，那么等比数列具有哪些独特的性质呢？,1等比数列的项与序号的关系 (1)两项关系 通项公式的推广： anam_(m、nN*),qnm,(2)多项关系 项的运算性质 若mnpq(m、n、p、qN*)， 则aman_. 特别地，若mn2p(m、n、pN
2、*)， 则aman_.,apaq,an1,ank1,cq,|q|,q1q2,4等比数列的单调性 (1)当a10，q1或a10,01时，等比数列an为递_数列； (3)当q1时，数列an是常数列； (4)当q0时，数列an是摆动数列,增,减,1等比数列an中，a44，则a2a6等于 ( ) A4 B8 C16 D32 解析 an是等比数列， a2a6a4216.,C,B,3已知an是等比数列，且an0，a2a42a3a5a4a625，那么a3a5 ( ) A5 B10 C15 D20,A,4等比数列an中，a11，a99，则a5_.,3,互动探究学案,命题方向1 等比数列的性质,在等比数列an中
3、，已知a4a7512，a3a8124，且公比为整数，则a10_.,例题 1,512,跟踪练习1 (1)在等比数列an中，已知a7a125，则a8a9a10a11_； (2)an为等比数列，且a1a964，a3a720，则a11_； (3)在等比数列an中，若a2a836，a3a715，则公比q值的个数可能为 ( ) A1个 B2个 C3个 D4个,25,1或64,D,命题方向2 等比数列的设项技巧,已知四个数前三个成等差，后三个成等比，中间两数之积为16，首尾两个数之积为128，求这四个数 分析 求四个数，给出四个条件，若列四个方程组成方程组虽可解，但较麻烦，因此可依据条件减少未知数的个数设未
4、知数时，可以根据前三个数成等差来设，也可以依据后三个数成等比来设，还可以依据中间(或首尾)两数之积来设，关键是要把握住未知量要尽量少，下一步运算要简捷,例题 2,跟踪练习2 (1)有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13，则成等差数列，则这四个数为_. (2)三个互不相等的数成等差数列，如果适当排列三个数，又可成为等比数列，这三个数的和为6，则这三个数为_. 分析 (1)四个数成等比数列，可用第一个数与公比q表示各数，然后按所给条件列方程组求解 (2)三个数适当排列，不同的排列方法有6种，但这里不必分成6种，因为若以三个数中哪一个数为等比中项分类，则只有三种情况，因此对于分类讨论
5、问题，恰当的分类是解决问题的关键,3,6,12,24,4,2,8,(2)由已知，可设这三个数为ad，a，ad，则adaad6，a2， 这三个数可表示为2d,2,2d， 若2d为等比中项，则有(2d)22(2d)，解之得d6，或d0(舍去)此时三个数为4,2,8. 若2d是等比中项，则有(2d)22(2d)，解之得d6，或d0(舍去)此时三个数为8,2，4. 若2为等比中项，则22(2d)(2d)，d0(舍去) 综上可知此三数为4,2,8.,例题 3,忽视等比数列中奇数项符号相同、偶数项符号相同而致错,例题 4,方程思想在等比数列中的应用,1已知an，bn都是等比数列，那么 ( ) Aanbn，
6、anbn都一定是等比数列 Banbn一定是等比数列，但anbn不一定是等比数列 Canbn不一定是等比数列，但anbn一定是等比数列 Danbn，anbn都不一定是等比数列 解析 当两个数列都是等比数列时，这两个数列的和不一定是等比数列，比如取两个数列是互为相反数的数列，两者的和就不是等比数列两个等比数列的积一定是等比数列,C,B,3(20182019学年度山东荣成六中高二月考)已知等比数列an中，a2a518，a3a432，若an128，q1，则n ( ) A8 B7 C6 D5,A,4已知等比数列an中，a47，a621，则a12_.,567,5已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数,
