1、1第四节 数列求和最新考纲 1.熟 练 掌 握 等 差 、 等 比 数 列 的 前 n项 和 公 式 .2.掌 握 非 等 差 、 等 比 数 列 求 和 的 几 种 常 见 方 法 .数列求和的常见方法1.公式法：直接利用等差数列、等比数列的前 n 项和公式求和（1）等差数列的前 n 项和公式： Sn na1 d.n(a1 an)2 n(n 1)2（2）等比数列的前 n 项和公式： SnError!（3）一些常见数列的前 n 项和公式1234 n .n(n 1)213572 n1 n2.24682 n n(n1)1 22 2 n2 .n(n 1)(2n 1)6【例 1】已知数列 an中， a
2、11， an an1 (n2)，则数列 an的前 9 项和等于_12【答案】27【解析】由 a11， an an1 (n2)，可知数列 an是首项为 1，公差为 的等差数列，12 12故 S99 a1 91827.9 9 12 12【变式训练 1】若等比数列 an满足 a1 a410， a2 a520，则 an的前 n 项和 Sn_.【答案】 Sn (2n1)109【解析】 由题意 a2 a5 q(a1 a4)，得 20 q10，故 q2，代入 a1 a4 a1 a1q310，得9a110，即 a1 .故 Sn (2n1)109 109 1 2n1 2 1092.倒序相加法：如果一个数列 an
3、的前 n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前 n 项和可用倒序相加法，如等差数列的前 n 项和公式即是用此法推导的3.并项求和法：在一个数列的前 n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和例如， Sn100 299 298 297 22 21 2(100 299 2)(98 297 2)(2 21 2)(10099)(9897)(21)5 050.【例 2】已知 an是等比数列，前 n 项和为 Sn(nN *)，且 ， S663.1a1 1a2 2a3(1)求 an的通项公式；(2)若对任意的 nN *， bn是 log2an和 log2an1 的等差中
4、项，求数列(1) nb 的前 2n 项和.2n2【答案】(1) an2 n1 ；(2) T2n2 n2.【解析】(1)设数列 an的公比为 q.由已知，有 ，解得 q2 或 q1.1a1 1a1q 2a1q2又由 S6 a1 63，知 q1，1 q61 q所以 a 1 63，得 a11.所以 an2 n1 .1 261 2(2)由题意，得 bn (log2anlog 2an1 ) (log22n1 log 22n) n ，12 12 12即 bn是首项为 ，公差为 1 的等差数列.12设数列(1) nb 的前 n 项和为 Tn，则2nT2n( b b )( b b )( b b )21 2 2
5、3 24 22n 1 2n b1 b2 b3 b4 b2n1 b2n 2 n2.2n（ b1 b2n）2【变式训练 2】数列 an的通项公式 an ncos ，其前 n 项和为 Sn，则 S2 016等于( )n2A.1 008 B.2 016 C.504 D.0【答案】A4.分组转化法求和：若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减【例 3】(2016北京高考)已知 an是等差数列， bn是等比数列，且b23， b39， a1 b1， a14 b4.(1)求 an的通项公式；(2)设 cn an bn，求数列 cn的前 n 项和【答案】
6、 （1） an2 n1( n1,2,3，)；（2） Sn n2 .3n 12【解析】 (1)等比数列 bn的公比 q 3，b3b2 93所以 b1 1， b4 b3q27.b2q设等 差数列 an的公差为 d，因为 a1 b11， a14 b427，所以 113 d27，即 d2，3所以 an2 n1( n1,2,3，)(2)由(1)知， an2 n1， bn3 n1 ，因此 cn an bn2 n13 n1 ，从而数列 cn的前 n 项和Sn13(2 n1)133 n1 n2 .n(1 2n 1)2 1 3n1 3 3n 12规律方法 分组转化法求和的常见类型(1)若 an bncn，且 bn， cn为等差或等比数列，可采用分组求和法求 an的前 n 项和(2)通项公式为 anError!的数列，其中数列 bn， cn是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和（3）某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论【变式训练 3】已知数列 an的前 n 项和 Sn ， nN .n2 n2(1)求数列 an的通项公式； 故使 Sn n2n1 50 成立的正整数 n 的最小值为 5.
