1、19.7 抛物线最新考纲 考情考向分析1.掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形及简单几何性质.2.会解决直线与抛物线的位置关系的问题.抛物线的方程、几何性质或与抛物线相关的综合问题是命题的热点.题型既有小巧灵活的选择、填空题，又有综合性较强的解答题.1.抛物线的概念平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点 F叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线.2.抛物线的标准方程与几何性质y22 px (p0) y22 px(p0) x22 py(p0) x22 py(p0)标准方程p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离图形顶点坐标 O(0，
2、0)对称轴 x 轴 y 轴焦点坐标 F(p2， 0) F( p2， 0) F(0， p2) F(0， p2)离心率 e1准线方程 x p2 x p2 y p2 y p2范围 x0， yR x0， yR y0， xR y0， xR开口方向 向右 向左 向上 向下概念方法微思考1.若抛物线定义中定点 F 在定直线 l 上时，动点的轨迹是什么图形？2提示 过点 F 且与 l 垂直的直线.2.直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的什么条件？提示 直线与抛物线的对称轴平行时，只有一个交点，但不是相切，所以直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.题组一 思考辨析1.判断下列结论是
3、否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( )(2)方程 y ax2(a0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是 ，准线(a4， 0)方程是 x .( )a4(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.( )(4)AB 为抛物线 y22 px(p0)的过焦点 F 的弦，若 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则(p2， 0)x1x2 ， y1y2 p2，弦长| AB| x1 x2 p.( )p24(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线 x22 ay
4、(a0)的通径长为 2a.( )题组二 教材改编2.P69 例 4过抛物线 y24 x 的焦点的直线 l 交抛物线于 P(x1， y1)， Q(x2， y2)两点，如果x1 x26，则| PQ|等于( )A.9B.8C.7D.6答案 B解析 抛物线 y24 x 的焦点为 F(1，0)，准线方程为 x1.根据题意可得，|PQ| PF| QF| x11 x21 x1 x228.3.P73A 组 T3若抛物线 y24 x 的准线为 l， P 是抛物线上任意一点，则 P 到准线 l 的距离与 P 到直线 3x4 y70 的距离之和的最小值是( )A.2B. C. D.3135 145答案 A解析 由抛
5、物线定义可知点 P 到准线 l 的距离等于点 P 到焦点 F 的距离，由抛物线 y24 x及直线方程 3x4 y70 可得直线与抛物线相离.点 P 到准线 l 的距离与点 P 到直线3x4 y70 的距离之和的最小值为点 F(1，0)到直线 3x4 y70 的距离，即32.故选 A.|3 7|32 424.P72T1已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点 P(2，4)，则该抛物线的标准方程为_.答案 y28 x 或 x2 y解析 设抛物线方程为 y2 mx(m0)或 x2 my(m0).将 P(2，4)代入，分别得方程为 y28 x 或 x2 y.题组三 易错自纠5.设抛物线 y2
6、8 x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4，则点 P 到该抛物线焦点的距离是( )A.4B.6C.8D.12答案 B解析 如图所示，抛物线的准线 l 的方程为 x2， F 是抛物线的焦点，过点 P 作 PA y 轴，垂足是 A，延长PA 交直线 l 于点 B，则| AB|2.由于点 P 到 y 轴的距离为 4，则点 P 到准线 l 的距离|PB|426，所以点 P 到焦点的距离| PF| PB|6.故选 B.6.已知抛物线 C 与双曲线 x2 y21 有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线 C 的方程是( )A.y22 x B.y22 x2C.y24 x D.y24 x2答案 D解析 由已知可知
7、双曲线的焦点为( ，0)，( ，0).2 2设抛物线方程为 y22 px(p0)，则 ，p2 2所以 p2 ，所以抛物线方程为 y24 x.故选 D.2 27.设抛物线 y28 x 的准线与 x 轴交于点 Q，若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是_.答案 1，1解析 Q(2，0)，当直线 l 的斜率不存在时，不满足题意，故设直线 l 的方程为y k(x2)，代入抛物线方程，消去 y 整理得 k2x2(4 k28) x4 k20，当 k0 时，符合题意，当 k0 时，由 (4 k28) 24 k24k264(1 k2)0，解得1 k1 且 k0，4综上， k 的
8、取值范围是1，1.题型一 抛物线的定义和标准方程命题点 1 定义及应用例 1 设 P 是抛物线 y24 x 上的一个动点，若 B(3，2)，则| PB| PF|的最小值为_.答案 4解析 如图，过点 B 作 BQ 垂直准线于点 Q，交抛物线于点 P1，则| P1Q| P1F|.则有| PB| PF| P1B| P1Q| BQ|4，即| PB| PF|的最小值为 4.引申探究1.若将本例中的 B 点坐标改为(3，4)，试求| PB| PF|的最小值.解 由题意可知点 B(3，4)在抛物线的外部.| PB| PF|的最小值即为 B， F 两点间的距离， F(1，0)，| PB| PF| BF| 2
9、 ，42 22 5即| PB| PF|的最小值为 2 .52.若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为 y24 x，直线 l 的方程为 x y50，在抛物线上有一动点 P 到 y 轴的距离为 d1，到直线 l 的距离为 d2，求 d1 d2的最小值.解 由题意知，抛物线的焦点为 F(1，0).点 P 到 y 轴的距离 d1| PF|1，所以 d1 d2 d2| PF|1.易知 d2| PF|的最小值为点 F 到直线 l 的距离，故 d2| PF|的最小值为 3 ，|1 5|12 12 2所以 d1 d2的最小值为 3 1.25命题点 2 求标准方程例 2 设抛物线 C： y22 px(p0)的焦
10、点为 F，点 M 在 C 上，| MF|5，若以 MF 为直径的圆过点(0，2)，则 C 的标准方程为( )A.y24 x 或 y28 x B.y22 x 或 y28 xC.y24 x 或 y216 x D.y22 x 或 y216 x答案 C解析 由题意知， F ，抛物线的准线方程为 x ，则由抛物线的定义知，(p2， 0) p2xM5 ，设以 MF 为直径的圆的圆心为 ，所以圆的方程为 2 2 ，p2 (52， yM2) (x 52) (y yM2) 254又因为圆过点(0，2)，所以 yM4，又因为点 M 在 C 上，所以 162 p ，解得 p2 或(5p2)p8，所以抛物线 C 的标
11、准方程为 y24 x 或 y216 x，故选 C.思维升华 (1)与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.“看到准线想焦点，看到焦点想准线” ，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径.(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.跟踪训练 1(1)设 P 是抛物线 y24 x 上的一个动点，则点 P 到点 A(1，1)的距离与点 P 到直线 x1 的距离之和的最小值为_.答案 5解析 如图，易知抛物线的焦点为 F(1，0)，准线是 x1，由抛物线的定义知，点 P 到直线
12、x1 的距离等于点 P 到 F 的距离.于是，问题转化为在抛物线上求一点 P，使点 P 到点 A(1，1)的距离与点 P 到 F(1，0)的距离之和最小，显然，连接 AF 与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为 .1 12 0 12 5(2)如图所示，过抛物线 y22 px(p0)的焦点 F 的直线交抛物线于点 A， B，交其准线 l 于点C，若| BC|2| BF|，且| AF|3，则此抛物线的标准方程为( )6A.y2 x B.y29 x32C.y2 x D.y23 x92答案 D解析 分别过点 A， B 作 AA1 l， BB1 l，且垂足分别为 A1， B1，由已知条件| BC
13、|2| BF|，得| BC|2| BB1|，所以 BCB130.又| AA1| AF|3，所以| AC|2| AA1|6，所以| CF| AC| AF|633，所以 F 为线段 AC 的中点.故点 F 到准线的距离为 p |AA1| ，12 32故抛物线的标准方程为 y23 x.题型二 抛物线的几何性质例 3 (1)已知抛物线 C： y22 px(p0)，过焦点 F 且斜率为 的直线与 C 相交于 P， Q 两点，3且 P， Q 两点在准线上的射影分别为 M， N 两点，则 S MFN等于( )A. p2 B. p283 233C. p2 D. p2433 833答案 B解析 不妨设 P 在第
14、一象限，过 Q 作 QR PM，垂足为 R，7设准线与 x 轴的交点为 E，直线 PQ 的斜率为 ，直线 PQ 的倾斜角为 60.由抛物线焦3点弦的性质可得| PQ| PF| QF| p.p1 cos60 p1 cos60 2psin26083在 Rt PRQ 中，sin RPQ ，|QR|PQ| QR| PQ|sin RPQ p p，由题意可知| MN| QR| p， S83 32 433 433MNF |MN|FE| pp p2.故选 B.12 12 433 233(2)过点 P(2，0)的直线与抛物线 C： y24 x 相交于 A， B 两点，且| PA| |AB|，则点 A12到抛物线
15、 C 的焦点的距离为( )A. B. C. D.253 75 97答案 A解析 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，分别过点 A， B 作直线 x2 的垂线，垂足分别为点D， E.| PA| |AB|，12Error! 又Error!得 x1 ，23则点 A 到抛物线 C 的焦点的距离为 1 .23 53思维升华在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.跟踪训练 2(1)已知直线 l 过抛物线 C 的焦点，且与 C 的对称轴垂直， l 与 C 交于 A， B 两点，|AB|12， P 为 C 的准线上一点，
16、则 ABP 的面积为( )A.18B.24C.36D.48答案 C解析 以抛物线的顶点为原点，水平方向为 x 轴，竖直方向为 y 轴，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为 y22 px(p0)，则焦点坐标为 ，将 x 代入 y22 px，可得(p2， 0) p2y2 p2，| AB|12，即 2p12，所以 p6.因为点 P 在准线上，所以点 P 到 AB 的距离为8p6，所以 PAB 的面积为 61236.12(2)(2015浙江)如图，设抛物线 y24 x 的焦点为 F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A， B， C，其中点 A， B 在抛物线上，点 C 在 y 轴上，则 BCF 与 ACF
17、 的面积之比是( )A. B.|BF| 1|AF| 1 |BF|2 1|AF|2 1C. D.|BF| 1|AF| 1 |BF|2 1|AF|2 1答案 A解析 由图形可知， BCF 与 ACF 有公共的顶点 F，且 A， B， C 三点共线，则 BCF 与 ACF 的面积之比就等于 .由抛物线方程知焦点 F(1，0)，作准线 l，则 l 的|BC|AC|方程为 x1.点 A， B 在抛物线上，过 A， B 分别作 AK， BH 与准线垂直，垂足分别为点 K， H，且与 y 轴分别交于点 N， M.由抛物线定义，得| BM| BF|1，| AN| AF|1.在 CAN 中， BM AN， .|
18、BC|AC| |BM|AN| |BF| 1|AF| 1题型三 直线与抛物线例 4 设抛物线的顶点在坐标原点，焦点 F 在 y 轴正半轴上，过点 F 的直线交抛物线于A， B 两点，线段 AB 的长是 8， AB 的中点到 x 轴的距离是 3.(1)求抛物线的标准方程；(2)设直线 m 在 y 轴上的截距为 6，且与抛物线交于 P， Q 两点.连接 QF 并延长交抛物线的准线于点 R，当直线 PR 恰与抛物线相切时，求直线 m 的方程.解 (1)设抛物线的方程是 x22 py(p0)， A(x1， y1)， B(x2， y2)，由抛物线定义可知 y1 y2 p8，又 AB 的中点到 x 轴的距离
19、为 3，9 y1 y26， p2，抛物线的标准方程是 x24 y.(2)由题意知，直线 m 的斜率存在，设直线 m： y kx6( k0)， P(x3， y3)， Q(x4， y4)，由Error! 消去 y 得 x24 kx240，Error! (*)易知抛物线在点 P 处的切线方程为 y (x x3)，(x3，x234) x234 x32令 y1，得 x ， R ，x23 42x3 (x23 42x3， 1)又 Q， F， R 三点共线， kQF kFR，又 F(0，1)， ，x244 1x4 1 1x23 42x3即( x 4)( x 4)16 x3x40，23 24整理得( x3x4)
20、24( x3 x4)22 x3x41616 x3x40，将(*)式代入上式得 k2 ， k ，14 12直线 m 的方程为 y x6.12思维升华 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点(设焦点在 x 轴的正半轴上)，可直接使用公式| AB| x1 x2 p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求” 、 “整体代入”等解法.提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.(4)设 AB
21、 是过抛物线 y22 px(p0)焦点 F 的弦，若 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1x2 ， y1y2 p2.p24弦长| AB| x1 x2 p ( 为弦 AB 的倾斜角).2psin2以弦 AB 为直径的圆与准线相切.10通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于 2p，通径是过焦点最短的弦.跟踪训练 3 已知抛物线 C： x22 py(p0)和定点 M(0，1)，设过点 M 的动直线交抛物线 C 于A， B 两点，抛物线 C 在 A， B 处的切线交点为 N.(1)若 N 在以 AB 为直径的圆上，求 p 的值；(2)若 ABN 面积的最小值为 4，求抛物线 C 的方程.解
22、 (1)可设 AB： y kx1， A(x1， y1)， B(x2， y2)，将 AB 的方程代入抛物线 C，得x22 pkx2 p0， 4 p2k28 p0，显然方程有两不等实根，则 x1 x22 pk， x1x22 p.由 x22 py 得 y ，xp则 A， B 处的切线斜率乘积为 1，x1x2p2 2p则有 p2.(2)设切线 AN 为 y x b，x1p又切点 A 在抛物线 y 上，x22p y1 ， b ，x212p x212p x21p x212p yAN x .x1p x212p同理 yBN x .x2p x22p又 N 在 yAN和 yBN上，Error! 解得 N .(x1
23、 x22 ， x1x22p) N(pk，1).|AB| |x2 x1| ，1 k2 1 k24p2k2 8p点 N 到直线 AB 的距离 d ，|kxN 1 yN|1 k2 |pk2 2|1 k2S ABN |AB|d 2 ，12 ppk2 23 2p2 4， p2，2p故抛物线 C 的方程为 x24 y.直线与圆锥曲线问题的求解策略11例 (15 分)已知抛物线 C： y mx2(m0)，焦点为 F，直线 2x y20 交抛物线 C 于 A， B两点， P 是线段 AB 的中点，过 P 作 x 轴的垂线交抛物线 C 于点 Q.(1)求抛物线 C 的焦点坐标；(2)若抛物线 C 上有一点 R(
24、xR， 2)到焦点 F 的距离为 3，求此时 m 的值；(3)是否存在实数 m，使 ABQ 是以 Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由.规范解答解 (1)抛物线 C： x2 y，1m它的焦点为 F .2 分(0，14m)(2)| RF| yR ，14m2 3，得 m .4 分14m 14(3)存在，联立方程Error!消去 y 得 mx22 x20( m0)，依题意，有 (2) 24 m(2)8 m40 恒成立，方程必有两个不等实根.7 分设 A(x1， mx )， B(x2， mx )，则Error!(*)21 2 P 是线段 AB 的中点， P ，(x1
25、 x22 ， mx21 mx22 )即 P ， Q ，10 分(1m， yP) (1m， 1m)得 ， .QA (x1 1m， mx21 1m) QB (x2 1m， mx2 1m)若存在实数 m，使 ABQ 是以 Q 为直角顶点的直角三角形，则 0，QA QB 即 0，13 分(x11m) (x2 1m) (mx21 1m)(mx2 1m)结合(*)式化简得 40，4m2 6m即 2m23 m20， m2 或 m ，12 m0， m2.12存在实数 m2，使 ABQ 是以 Q 为直角顶点的直角三角形.15 分解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤第一步：联立方程，得关于 x 或 y 的一元二
26、次方程；第二步：写出根与系数的关系，并求出 0 时参数范围(或指出直线过曲线内一点)；第三步：根据题目要求列出关于 x1x2， x1 x2(或 y1y2， y1 y2)的关系式，求得结果；第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况.1.(2018浙江省名校联考)抛物线 y x2的焦点坐标为( )18A.(2，0) B.(0，2)C. D.(12， 0) (0， 12)答案 B解析 抛物线的标准方程为 x28 y，则其焦点坐标为(0，2)，故选 B.2.已知抛物线 C： y24 x 的焦点为 F，准线为 l，点 A l，线段 AF 交抛物线 C 于点 B，若3 ，则| |等于( )FA FB AF
27、A.3B.4C.6D.7答案 B解析 由已知 B 为 AF 的三等分点，作 BH l 于 H，如图，则| BH| |FK| ，23 43| | | ，BF BH 43| |3| |4，故选 B.AF BF 133.抛物线 x24 y 的焦点为 F，过点 F 作斜率为 的直线 l 与抛物线在 y 轴右侧的部分相交33于点 A，过点 A 作抛物线准线的垂线，垂足为 H，则 AHF 的面积是( )A.4B.3 C.4 D.83 3答案 C解析 由抛物线的定义可得| AF| AH|， AF 的斜率为 ， AF 的倾斜角为 30， AH33垂直于准线， FAH60，故 AHF 为等边三角形.设 A ，
28、m0，过 F 作 FM AH 于 M，则在 FAM(m，m24)中，| AM| |AF|， 1 ，解得 m2 ，故等边三角形 AHF 的边长12 m24 12(m24 1) 3|AH|4， AHF 的面积是 44sin604 .故选 C.12 34.抛物线 C： y22 px(p0)的焦点为 F， M 是抛物线 C 上的点，若 OFM 的外接圆与抛物线 C的准线相切，且该圆的面积为 36，则 p 等于( )A.2B.4C.6D.8答案 D解析 OFM 的外接圆与抛物线 C 的准线相切， OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径.圆的面积为 36，圆的半径为 6.又圆心在 OF 的垂直平分
29、线上，| OF| ，p2 6， p8.故选 D.p2 p45.过抛物线 y22 px(p0)的焦点 F 且倾斜角为 120的直线 l 与抛物线在第一、四象限分别交于 A， B 两点，则 的值等于( )|AF|BF|A. B. C. D.13 23 34 43答案 A解析 记抛物线 y22 px 的准线为 l，如图，作 AA1 l， BB1 l， AC BB1，垂足分别是 A1， B1， C，14则 cos ABB1 ，|BC|AB| |BB1| |AA1|AF| |BF| |BF| |AF|AF| |BF|即 cos60 ，由此得 .|BF| |AF|AF| |BF| 12 |AF|BF| 1
30、36.(2018浙江省杭州市四校联考)直线 l 交抛物线 y24 x 于 A， B 两点， C(1，2)，若抛物线的焦点 F 恰好为 ABC 的重心，则直线 AB 的方程是( )A.2x y30B.2x y50C.2x y50 或 2x y30D.2x y30答案 D解析 方法一 由题意知，抛物线的焦点 F(1，0).设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则Error!x1 x24， y1 y22，线段 AB 的中点坐标为(2，1).设直线 AB 的方程为 t(y1) x2，与抛物线方程联立，消去 x 并整理得 y24 ty4( t2)0，所以 y1 y24 t2， t ，则直线 AB
31、 的方程为 (y1) x2，即12 122x y30，故选 D.方法二 由题意知，抛物线的焦点 F(1，0).设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则Error!x1 x24， y1 y22，线段 AB 的中点坐标为(2，1)，所以 x1 x2.又 A， B 在抛物线上，所以 y 4 x1， y 4 x2， kAB 2，21 2y1 y2x1 x2 4y1 y2则直线 AB 的方程为 y12( x2)，即 2x y30，故选 D.7.动点 P 到点 A(0，2)的距离比它到直线 l： y4 的距离小 2，则动点 P 的轨迹方程为_.15答案 x28 y解析 动点 P 到点 A(0，2)
32、的距离比它到直线 l： y4 的距离小 2，动点 P 到点A(0，2)的距离与它到直线 y2 的距离相等.根据抛物线的定义可得点 P 的轨迹为以A(0，2)为焦点，以直线 y2 为准线的抛物线，其标准方程为 x28 y.8.(2018浙江省名校协作体联考)已知 F 是抛物线 C： y24 x 的焦点， M 是抛物线 C 上一点，FM 的延长线交 y 轴于点 N.若 ，则| FN|_.FM 12MN 答案 5解析 如图，过点 M， N 分别向抛物线 y24 x 的准线 x1 作垂线段 MA， NB，其中 MA 交 y 轴于点 C，因为抛物线 y24 x 的焦点为 F(1，0)，所以| OF|1，
33、因为 ，所以| MC| |OF| ，所以| MA| ，由抛物线的定义可得| MF| ，FM 12MN 23 23 53 53所以| MN| ，所以| FN|5.1039.(2018湖州模拟)过抛物线 y22 px(p0)的焦点 F 且斜率为 1 的直线交抛物线于 A， B 两点，| AF|FB|8，则 p_.答案 2解析 方法一 由题意知，直线方程为 y x ，得 x y 代入抛物线方程，得 y22 pp2 p2，即 y22 py p20.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则(yp2)y1y2 p2，| AF|FB| |y1| |y2|2| y1y2|2 p28，得 p2.2 2方
34、法二 由题意可知， ，得| FA| FB| |FA|FB| ，即| AB|1|FA| 1|FB| 2p 2p 16p ，得 p2.2psin24516p10.如图，已知抛物线 C： x22 y， F 是其焦点， AB 是抛物线 C 上的一条弦.若点 A 的坐标为(2，2)，点 B 在第一象限上，且| BF|2| AF|，则直线 AB 的斜率为_， ABF 的外接圆的标准方程为_.16答案 2 212 (x 12) (y 134) 12516解析 因为| BF|2| AF|，所以 yB 2 2 ，解得 yB ，代入抛物线的12 (yA 12) (2 12) 92方程得点 B 的坐标为 ，则直线
35、AB 的斜率 kAB ，直线 AF 的斜率 kAF(3，92) 92 23 2 12 ，直线 BF 的斜率 kBF ，则 kAFkBF1，直线 AF 与直线 BF 相互垂直，2 12 2 0 3492 123 0 43即 ABF 为直角三角形，则 ABF 的外接圆的圆心为 ，即 ，半径为(3 22 ， 92 22 ) (12， 134) 12 ，所以外接圆的标准方程为 2 2 . 2 32 (2 92)2 554 (x 12) (y 134) 1251611.(2018浙江七彩阳光联盟联考)已知 F 是抛物线 C： x24 y 的焦点，点 P 是不在抛物线上的一个动点，过点 P 向抛物线 C
36、作两条切线 l1， l2，切点分别为 A(x1， y1)， B(x2， y2).(1)如果点 P 在直线 y1 上，求 的值；1|AF| 1|BF|(2)若点 P 在以 F 为圆心，半径为 4 的圆上，求| AF|BF|的值.解 (1)因为抛物线 C 的方程为 y ，x24所以 y ，x2所以切线 PA 的方程为 y y1 (x x1)，x12即 x y y10，x12同理切线 PB 的方程为 x y y20，x22设 P(x0， y0)，则由得 x1x02 y12 y00 及 x2x02 y22 y00，所以直线 AB 的方程为 x0x2 y2 y00.由于点 P 是直线 y1 上的一个动点
37、，所以 y01，17即直线 AB 的方程为 x0x2 y20，因此它过抛物线的焦点 F(0，1).当 x00 时， AB 的方程为 y1，此时| AF| BF|2，所以 1；1|AF| 1|BF|当 x00 时，把直线 AB 的方程代入抛物线 C 的方程，得 y2( x 2) y10，20从而有 y1y21， y1 y2 x 2，20所以 1.1|AF| 1|BF| 1y1 1 1y2 1 y1 y2 2y1y2 y1 y2 1综上可知， 1.1|AF| 1|BF|(2)由(1)知，切线 PA 的方程为 y x ，x12 x214切线 PB 的方程为 y x ，x22 x24联立得点 P .(
38、x1 x22 ， x1x24 )设直线 AB 的方程为 y kx m，代入抛物线 C： x24 y，得 x24 kx4 m0，则x1 x24 k， x1x24 m，所以点 P 的坐标为(2 k， m)，所以| PF| 4，即4k2 m 12(m1) 2164 k2，从而| AF|BF|( y11)( y21)( kx1 m1)( kx2 m1) k2x1x2 k(m1)( x1 x2)( m1) 24 mk24 k2(m1)164 k216.12.如图，过抛物线 M： y x2上一点 A(点 A 不与原点 O 重合)作抛物线 M 的切线 AB 交 y 轴于点 B，点 C 是抛物线 M 上异于点
39、 A 的点，设 G 为 ABC 的重心(三条中线的交点)，直线 CG交 y 轴于点 D.(1)设 A(x0， x )(x00)，求直线 AB 的方程；20(2)求 的值.|OB|OD|解 (1)因为 y2 x，所以直线 AB 的斜率 k 0|xy 2 x0，所以直线 AB 的方程为 y x 2 x0(x x0)，20即 y2 x0x x .2018(2)由题意及(1)得，点 B 的纵坐标 yB x ，20所以 AB 的中点坐标为 .(x02， 0)设 C(x1， y1)， G(x2， y2)，直线 CG 的方程为 x my x0.12由Error!得 m2y2( mx01) y x 0.142
40、0因为 G 为 ABC 的重心，所以 y13 y2.由根与系数的关系，得y1 y24 y2 ， y1y23 y .1 mx0m2 2 x204m2所以 ，1 mx0216m4 x2012m2解得 mx032 .3所以点 D 的纵坐标 yD ，x02m x20643故 4 6.|OB|OD| |yByD| 313.如图所示，过抛物线 y22 px(p0)的焦点 F 的直线交抛物线于点 A， B，交其准线 l 于点C，若 F 是 AC 的中点，且| AF|4，则线段 AB 的长为( )A.5 B.6C. D.163 203答案 C解析 方法一 如图所示，设 l 与 x 轴交于点 M，过点 A 作
41、AD l，交 l 于点 D，19由抛物线的定义知，| AD| AF|4，由 F 是 AC 的中点，知| AF|2| MF|2 p，所以2p4，解得 p2，所以抛物线的方程为 y24 x.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则| AF| x1 x114，p2所以 x13，解得 y12 ，3所以 A(3，2 )，3又 F(1，0)，所以直线 AF 的斜率 k ，233 1 3所以直线 AF 的方程为 y (x1)，3代入抛物线方程 y24 x，得 3x210 x30，所以 x1 x2 ，| AB| x1 x2 p .故选 C.103 163方法二 如图所示，设 l 与 x 轴交于点 M，
42、过点 A 作 AD l，交 l 于点 D，由抛物线的定义知，| AD| AF|4，由 F 是 AC 的中点，知| AF|2| MF|2 p，所以 2p4，解得 p2，所以抛物线的方程为 y24 x.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则| AF| x1 x114，所以p2x13，又 x1x2 1，所以 x2 ，所以| AB| x1 x2 p .故选 C.p24 13 163方法三 如图所示，设 l 与 x 轴交于点 M，过点 A 作 AD l，交 l 于点 D，由抛物线的定义知，| AD| AF|4，由 F 是 AC 的中点，知| AF|2| MF|2 p，所以 2p4，解得 p2，
43、所以抛物线的方程为 y24 x.因为 ，| AF|4，1|AF| 1|BF| 2p所以| BF| ，43所以| AB| AF| BF|4 .故选 C.43 1632014.如图所示，抛物线 y x2， AB 为过焦点 F 的弦，过 A， B 分别作抛物线的切线，两切线14交于点 M，设 A(xA， yA)， B(xB， yB)， M(xM， yM)，则若 AB 的斜率为 1，则|AB|4；| AB|min2； yM1；若 AB 的斜率为 1，则 xM1； xAxB4.以上结论正确的个数是( )A.1B.2C.3D.4答案 B解析 由题意得，焦点 F(0，1)，对于， lAB的方程为 y x1，
44、与抛物线的方程联立，得Error! 消去 x，得 y26 y10，所以 yA yB6，则| AB| yA yB p8，则错误；对于，| AB|min2 p4，则错误；因为 y ，则 lAM： y yA (x xA)，x2 xA2即 y xAx ， lBM： y yB (x xB)，12 x2A4 xB2即 y xBx ，12 x2B4联立 lAM与 lBM的方程得Error!解得 M .(xA xB2 ， xAxB4 )设 lAB的方程为 y kx1，与抛物线的方程联立，得Error! 消去 y，得 x24 kx40，所以 xA xB4 k， xAxB4，所以 yM1，和均正确；对于，当 AB
45、 的斜率为 1 时， xM2，则错误，故选 B.15.(2019浙江省镇海中学模拟)已知抛物线 y24 x，焦点记为 F，过点 F 作直线 l 交抛物线于 A， B 两点，则| AF| 的最小值为_.2|BF|答案 2 2221解析 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y k(x1)( k0)，代入 y24 x 可得k2x2(2 k24) x k20，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1x21.由抛物线的定义可得| AF| x11，| BF| x21，所以| AF| x11 .2|BF| 2x2 1 x1 1x2 1 2x2 1 x1 x2x2 1 1 x2x2 x2 11 x2 1x2 1令 x21 t(t0)，则 x2 t1，所以| AF| 2|BF| 11 tt2 2t 211 12 t 2t
