1、1考点 42 直线、平面平行的判定与性质1如图，在棱长为 1 的正方体中 ，点 在线段 上运动，则下列命题错误的是（ ）A 异面直线 和 所成的角为定值B 直线 和平面 平行C 三棱锥 的体积为定值D 直线 和平面 所成的角为定值【答案】D2，由线面夹角的定义，令 与 的交点为 ，可得 即为直线 和平面 所成的角，当 移动时这个角是变化的，故错误故选2平面 过正方体 ABCDA1B1C1D1的顶点 A， ， ，则m， n 所成角的正切值为（ ）A B C D 【答案】A3已知直三棱柱 ABCA1B1C1的底面为等边三角形，且底面积为 ，体积为 ，点 P，Q 分别为线段A1B，B 1C 上的动点
2、，若直线 PQ平面 ACC1A1 ，点 M 为线段 PQ 的中点，则点 M 的轨迹长度为A B C D 【答案】D34棱长为 2 的正方体 中， 为棱 中点，过点 ，且与平面 平行的正方体的截面面积为（ ）A 5 B C D 6【答案】C【解析】结合两个平行平面与第三个平面相交，交线平行的结论，找到平面截正方体所得的截面多边形，画好之后能够确定其为菱形，之后借助于菱形的面积公式等于两条对角线乘积的一半，从而求得结果.取 BC 中点 M，取 中点 N，则四边形 即为所求的截面，根据正方体的性质，可以求得 ，根据各边长，可以断定四边形 为菱形，4所以其面积 ，故选 C.5在菱形 中， 且 ，点 分
3、别是棱 的中点，将四边形 沿着 转动，使得 与 重合，形成如图所示多面体，分别取 的中点 .（）求证： 平面 ；（）若平面 平面 ，求 与平面 所成的正弦值.【答案】 （1）见解析；（2） 与平面 所成的正弦值为 .56如图，四棱锥 ， ， ， ， ， M， O 分别为 CD 和 AC 的中点， 平面 ABCD求证：平面 平面 PAC； 是否存在线段 PM 上一点 N，使得 平面 PAB，若存在，求 的值，如果不存在，说明理由【答案】 （1）见解析（2）当 N 为 PM 靠近 P 点的三等分点时， 平面 PAB677如图，四棱锥 中，底面 为矩形， 平面 ， 为 的中点.（1）证明： 平面 ；
4、（2）设 ，若点 到平面 的距离为 ,求二面角 的大小.【答案】(1)见解析（2）【解析】（1）证明：连结 交 于点 ，连结 ,因为 为矩形，所以 为 的中点，又 为 的中点，所以 ，平面 平面 ，所以 平面 88如图 1，在 中， 分别为 的中点， 为 的中点， 将 ADE 沿 DE折起到 的位置，使得平面 如图 2（）求证： ;（）求二面角 的平面角的余弦值.图 1 图 2【答案】(I)见解析；（II） .9,设面 的法向量 ，则 ，解得，所以， ，所以所以二面角 的平面角的余弦值109如图，在多面体 中， 是正方形， 平面 ， 平面 ， ，点 为棱的中点.()求证：平面 平面 ；()若
5、，求直线 与平面 所成的角的正弦值.【答案】(1)见解析.(2) .1110如图，已知平面 平面 ， 为线段 的中点， ，四边形 为边长为 1的正方形，平面 平面 ， ， ， 为棱 的中点.12(1)若 为线 上的点，且直线 平面 ，试确定点 的位置；(2)求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值.【答案】 （1）见解析；（2）1314又平面 的一个法向量所求锐二面角的余弦值约：.11如图所示, 平面 ,平面 平面 ,四边形 为正方形， , ,点 在棱 上.(1)若 为 的中点 为 的中点,证明:平面 平面 ；(2)设 ,是否存在 ,使得平面 平面 ?若存在,求出 的值;若不存在,说明理由.【答
6、案】(1)见解析(2) 不存在 ,使得平面 平面1516则 1712在三棱柱 中，已知侧棱与底面垂直， ，且 ， ， 为 的中点， 为 上一点， 18（1）若三棱锥 的体积为 ，求 的长；（2）证明： 平面 【答案】 （1） （2）见解析19又 ， ，而 平面 ， 平面 ， 平面 .13如图，三棱柱 中，四边形 为菱形， ，平面平面 ， 在线段 上移动， 为棱 的中点.20（1）若 为线段 的中点， 为 中点，延长 交 于 ，求证： 平面 ；（2）若二面角 的平面角的余弦值为 ，求点 到平面 的距离.【答案】 （1）见解析（2）21则2214在四棱锥 中，侧面 底面 ，底面 为直角梯形， ，
7、， ， ， 分别为 ， 的中点. （1）求证： 平面 ；（2）若 ，求二面角 的余弦值.【答案】(1)见解析;(2) .23平面 中，设法向量为 ，则 ,取 ,，所以二面角 的余弦值为 .15如图，在四棱锥 中，四边形 是边长为 的菱形，且 ， 与 交于点 ，24底面 ， .（1）求证：无论 为何值，在棱 上总存在一点 ，使得 平面 ；（2）当二面角 为直二面角时，求 的值【答案】 （1）见解析；（2）1设平2516四棱锥 中，底面 是边长为 2 的菱形， . ,且 平面 ，点 分别是线段 上的中点， 在 上.且 .（）求证： 平面 ；（）求直线 与平面 的成角的正弦值；（）请画出平面 与四棱
8、锥的表面的交线，并写出作图的步骤.【答案】 （1）见解析（2） （3）四边形 为平面 与四棱锥的表面的交线【解析】分析：（）推导出 ，由此能证明 平面 ；（）推导出 ， ， ，以 O 为原点，OA、OB、OP 分别为 x、y、z 轴建立空间直角做消息，利用向量法能求出直线 AB 与平面 EFG 的所成角的正弦值；（）法 1：延长 分别交 延长线于 ，连接 ，发现刚好过点 ，,连接 ，则四边形26所以直线 与平面 的成角的正弦值为（）法：延长 分别交 延长线于 ，连接 ，发现刚好过点 ，,连接 ，则四边形为平面 与四棱锥的表面的交线.法 2：记平面 与直线 的交点为 ，设 ，则27由 ，可得 .
9、所以 即为点 .所以连接 ， ，则四边形 为平面 与四棱锥的表面的交线.17如图，四棱柱 为长方体，点 是 中点， 是 的中点.(I)求证: 平面 ；(l)若 ，求证:平面 平面 .【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.2818在等腰直角 中， ， 分别为 ， 的中点， ，将 沿 折起，使得二面角为 .（1）作出平面 和平面 的交线 ，并说明理由；（2）二面角 的余弦值.【答案】 （1）见解析（2）【解析】分析：（1）通过 找到解题思路，再根据线面平行的判定、性质以及公理“过平面内一点，作平面内一条直线的平行线有且只有一条”说明理由.（2）过点 作 的垂线，垂足为 ，以 F 为坐标原点，FB 所在方向为 轴正方向，建立空间直角坐标系，应用空间向量，分别求得两平面的法向量 ，两平面法向量夹角详解：（1）在面 内过点 作 的平行线 即为所求.2919如图，四边形 和四边形 均是直角梯形， ，二面角 是直二面角， ， .30（1）求证： 面 ；（2）求二面角 的大小.【答案】 （1）见解析（2）
