1、18.2 空间几何体的表面积和体积考纲解读考点 内容解读 要求 高考示例 常考题型 预测热度1.空间几何体的表面积通过对柱、锥、台体、球的研究,掌握柱、锥、台体、球的表面积的求法2017课标全国,16;2017课标全国,15;2016课标全国,4;2016课标全国,10;2015课标,112.空间几何体的体积1.理解柱、锥、球、台体的体积概念2.能运用公式求解球、柱体、锥体和台体的体积,并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系2017课标全国,9;2017天津,11;2016课标全国,19;2015课标,6选择题、填空题分析解读高考对本节内容的考查形式有两种:一是直接求柱、锥、球、台的表面积或体
2、积,考查化归思想的应用.二是已知某几何体的表面积或体积求某些元素的量或元素之间的关系.考查形式以选择题和填空题为主,分值约为5分,主要以三视图为背景进行考查,对学生的识图能力和空间想象能力要求较高,所以在备考复习时应加强训练.2五年高考考点一 空间几何体的表面积1.(2016课标全国,4,5分)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( )A.12 B. C.8 D.4323答案 A 2.(2016课标全国,10,5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为( )A.18+36 B.54+18 C.90 D.815 5答案 B 3.
3、(2015课标,10,5分)已知A,B是球O的球面上两点,AOB=90,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为( )3A.36 B.64 C.144 D.256答案 C 4.(2015课标,11,5分)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20,则r=( )A.1 B.2 C.4 D.8答案 B 5.(2015福建,9,5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于( )A.8+2 B.11+2 C.14+2 D.152 2 2答案 B 6.(2017课标全国,
4、15,5分)长方体的长,宽,高分别为3,2,1,其顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为 .答案 147.(2013课标全国,15,5分)已知H是球O的直径AB上一点,AHHB=12,AB平面,H为垂足,截球O所得截面的面积为,则球O的表面积为 .答案 92教师用书专用(813)8.(2015陕西,5,5分)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )A.3 B.4 C.2+4 D.3+44答案 D 9.(2014大纲全国,10,5分)正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为( )A. B.16 C.9 D.814 274答案 A 10.(201
5、3重庆,8,5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )A.180 B.200 C.220 D.240答案 D 11.(2014山东,13,5分)一个六棱锥的体积为2 ,其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的3侧面积为 .答案 1212.(2013课标全国,15,5分)已知正四棱锥O-ABCD的体积为 ,底面边长为 ,则以O为球心,OA为半径的球的表面积为 .322 3答案 2413.(2013陕西,12,5分)某几何体的三视图如图所示,则其表面积为 .答案 3考点二 空间几何体的体积1.(2017课标全国,9,5分)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2
6、的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为( )A. B. C. D.34 2 4答案 B 2.(2015课标,6,5分)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分5之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有( )A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛答案 B 3.(2014课标,7,5分)正三棱柱ABC-A 1B1C1的底面边长为2,侧棱长为 ,D为BC中
7、点,则三棱锥A-3B1DC1的体积为( )A.3 B. C.1 D.32 32答案 C 4.(2017江苏,6,5分)如图,在圆柱O 1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O 1O2的体积为V 1,球O的体积为V 2,则 的值是 .12答案 325.(2016浙江,9,6分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是 cm 2,体积是 cm3.答案 80;406.(2017课标全国,18,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC= AD,BAD=ABC=90.12(1)证明:直线BC平面PAD;(2)若
8、PCD的面积为2 ,求四棱锥P-ABCD的体积.76解析 (1)证明:在平面ABCD内,因为BAD=ABC=90,所以BCAD.又BC平面PAD,AD平面PAD,故BC平面PAD.(2)取AD的中点M,连接PM,CM.由AB=BC= AD及BCAD,ABC=90得四边形ABCM为正方形,则CMAD.12因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,所以PMAD,PM底面ABCD.因为CM底面ABCD,所以PMCM.设BC=x,则CM=x,CD= x,PM= x,PC=PD=2x.2 3取CD的中点N,连接PN,则PNCD,所以PN= x.142因为PCD的面积为
9、2 ,7所以 x x=2 ,12 2 142 7解得x=-2(舍去)或x=2.于是AB=BC=2,AD=4,PM=2 .3所以四棱锥P-ABCD的体积V= 2 =4 .13 2(2+4)2 3 37.(2016课标全国,19,12分)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于点H.将DEF沿EF折到DEF的位置.(1)证明:ACHD;(2)若AB=5,AC=6,AE= ,OD=2 ,求五棱锥D-ABCFE的体积.54 27解析 (1)证明:由已知得ACBD,AD=CD.又由AE=CF得 = ,故ACEF.(2 分)由此得EFHD,EFHD
10、,所以ACHD.(4分)(2)由EFAC得 = = .(5分)14由AB=5,AC=6得DO=BO= =4.2-2所以OH=1,DH=DH=3.于是OD 2+OH2=(2 )2+12=9=DH2,故ODOH.2由(1)知ACHD,又ACBD,BDHD=H,所以AC平面BHD,于是ACOD.又由ODOH,ACOH=O,所以OD平面ABC.(8分)又由 = 得EF= . 92五边形ABCFE的面积S= 68- 3= .(10分)12 12 92 694所以五棱锥D-ABCFE的体积V= 2 = .(12分)13 694 22322教师用书专用(827)8.(2015浙江,2,5分)某几何体的三视图
11、如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是( )A.8 cm3 B.12 cm3 C. cm3 D. cm3323 403答案 C 9.(2015湖南,10,5分)某工件的三视图如图所示.现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的正方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为（材料利用率= ）( 新工件的体 积原工件的体 积)8A. B. C. D.89 827 24( 2-1)3 8( 2-1)3答案 A 10.(2014湖北,10,5分)算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周
12、,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式V L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似136取为3.那么,近似公式V L2h相当于将圆锥体积公式中的近似取为( )275A. B. C. D.227 258 15750 355113答案 B 11.(2014四川,4,5分)某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示,则该三棱锥的体积是( )（锥体体积公式:V= Sh,其中S为底面面积,h为高）13A.3 B.2 C. D.13答案 D 12.(2014重庆,7,5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.12 B.18 C.2
13、4 D.30答案 C 13.(2013课标全国,11,5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )9A.16+8 B.8+8 C.16+16 D.8+16答案 A 14.(2013浙江,5,5分)已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是( )A.108 cm3 B.100 cm3 C.92 cm3 D.84 cm3答案 B 15.(2016四川,12,5分)已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是 .答案 3316.(2015天津,10,5分)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为 m 3.答案 8317.(2015四川,14,5分
14、)在三棱柱ABC-A1B1C1中,BAC=90,其正视图和侧视图都是边长为1的正方形,俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形.设点M,N,P分别是棱AB,BC,B 1C1的中点,则三棱锥P-A 1MN的体积是 .答案 12418.(2014天津,10,5分)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为 m 3.10答案 20319.(2013湖北,16,5分)我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平地降雨量是 寸.(注:平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面
15、积;一尺等于十寸)答案 320.(2013天津,10,5分)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若球的体积为 ,则正方体的棱长为 92.答案 321.(2015安徽,19,13分)如图,三棱锥P-ABC中,PA平面ABC,PA=1,AB=1,AC=2,BAC=60.(1)求三棱锥P-ABC的体积;(2)证明:在线段PC上存在点M,使得ACBM,并求 的值.1122.(2015课标,19,12分)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA 1=8,点E,F分别在A 1B1,D1C1上,A 1E=D1F=4.过点E,F的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(1
16、)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(2)求平面把该长方体分成的两部分体积的比值.解析 (1)交线围成的正方形EHGF如图:(2)作EMAB,垂足为M,则AM=A 1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.因为EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH= =6,AH=10,HB=6.2-2因为长方体被平面分成两个高为10的直棱柱,所以其体积的比值为 .97(79也正确 )23.(2014福建,19,12分)如图,三棱锥A-BCD中,AB平面BCD,CDBD.(1)求证:CD平面ABD;(2)若AB=BD=CD=1,M为AD中点,求三棱锥A-MBC的体积.解析 (1)证明:
17、AB平面BCD,CD平面BCD,ABCD.又CDBD,ABBD=B,AB平面ABD,BD平面ABD,CD平面ABD.(2)解法一:由AB平面BCD,得ABBD.AB=BD=1,S ABD = .1212M是AD的中点,S ABM = SABD = .12 14由(1)知,CD平面ABD,三棱锥C-ABM的高h=CD=1,因此三棱锥A-MBC的体积V A-MBC=VC-ABM= SABM h= .13 112解法二:由AB平面BCD知,平面ABD平面BCD,又平面ABD平面BCD=BD,如图,过点M作MNBD交BD于点N,则MN平面BCD,且MN= AB= ,12 12又CDBD,BD=CD=1
18、,S BCD = .12三棱锥A-MBC的体积V A-MBC=VA-BCD-VM-BCD= ABSBCD - MNSBCD = .13 13 11224.(2014广东,18,13分)如图1,四边形ABCD为矩形,PD平面ABCD,AB=1,BC=PC=2.作如图2折叠:折痕EFDC,其中点E,F分别在线段PD,PC上,沿EF折叠后点P在线段AD上的点记为M,并且MFCF.(1)证明:CF平面MDF;(2)求三棱锥M-CDE的体积.解析 (1)证明:PD平面ABCD,AD平面ABCD,PDAD.四边形ABCD是矩形,ADDC.又PDDC=D,AD平面PCD.CF平面PCD,ADCF.13又MF
19、CF,MFAD=M,CF平面MDF.(2)由(1)知CFDF,PDDC,在PCD中,DC 2=CFPC.CF= = .212又EFDC, = ED= = = . 3122 34PE=ME= - = ,334 334S CDE = DCED= 1 = .12 12 34 38在RtMDE中,MD= = ,2-262V M-CDE= SCDE MD= = .13 13 38 62 21625.(2014江西,19,12分)如图,三棱柱ABC-A 1B1C1中,AA 1BC,A 1BBB 1.(1)求证:A 1CCC 1;(2)若AB=2,AC= ,BC= ,问AA 1为何值时,三棱柱ABC-A 1
20、B1C1体积最大?并求此最大值.3 7解析 (1)证明:由AA 1BC知BB 1BC,又BB 1A 1B,故BB 1平面BCA 1,则BB 1A 1C,又BB 1CC 1,所以A 1CCC 1.(2)解法一:设AA 1=x,在RtA 1BB1中,A 1B= = .121-21 4-2同理,A 1C= = .121-21 3-2在A 1BC中,cosBA 1C=12+12-2211=- ,所以sinBA 1C= ,2(4-2)(3-2)12-72(4-2)(3-2)所以 = A1BA1CsinBA 1C= .112 12-72214从而三棱柱ABC-A 1B1C1的体积V= AA1= .1 12
21、-722因为x = = ,12-72 122-74-7(2-67)2+367故当x= = ,即AA 1= 时, 体积V取到最大值 .67 427 427 377解法二:过A 1作BC的垂线,垂足为D,连接AD.由于AA 1BC,A 1DBC,故BC平面AA 1D,BCAD.又BAC=90,所以S ABC = ADBC= ABAC,得AD= .12 12 2217设AA 1=x,在RtAA 1D中,A1D= = ,2-21 127-2= A1DBC= .112 12-722从而三棱柱ABC-A 1B1C1的体积V= AA1= .1 12-722因为x = = ,12-72 122-74-7(2-
22、67)2+367故当x= = ,即AA 1= 时, 体积V取到最大值 .67 427 427 37726.(2013课标全国,18,12分)如图,直三棱柱ABC-A 1B1C1中,D,E分别是AB,BB 1的中点.(1)证明:BC 1平面A 1CD;(2)设AA 1=AC=CB=2,AB=2 ,求三棱锥C-A 1DE的体积.215解析 (1)连接AC 1交A 1C于点F,则F为AC 1中点.又D是AB中点,连接DF,则BC 1DF.因为DF平面A 1CD,BC1平面A 1CD,所以BC 1平面A 1CD.(2)因为ABC-A 1B1C1是直三棱柱,所以AA 1CD.由已知AC=CB,D为AB的
23、中点,所以CDAB.又AA 1AB=A,于是CD平面ABB 1A1.由AA 1=AC=CB=2,AB=2 得2ACB=90,CD= ,A1D= ,DE= ,A1E=3,2 6 3故A 1D2+DE2=A1E2,即DEA 1D.所以 = =1.-113 12 6 3 227.(2013重庆,19,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,PA=2 ,BC=CD=2,ACB=ACD= .33(1)求证:BD平面PAC;(2)若侧棱PC上的点F满足PF=7FC,求三棱锥P-BDF的体积.解析 (1)证明:因BC=CD,即BCD为等腰三角形,又ACB=ACD,故BDAC.因为PA底面ABC
24、D,所以PABD.从而BD与平面PAC内两条相交直线PA,AC都垂直,所以BD平面PAC.16(2)三棱锥P-BCD的底面BCD的面积S BCD = BCCDsinBCD= 22sin = .12 12 23 3由PA底面ABCD,得VP-BCD= SBCD PA= 2 =2.13 13 3 3由PF=7FC,得三棱锥F-BCD的高为 PA,故V F-BCD= SBCD PA= 2 = ,18 13 18 13 3 18 314所以V P-BDF=VP-BCD-VF-BCD=2- = .1474三年模拟A组 20162018年模拟基础题组考点一 空间几何体的表面积1.(2018湖北武汉部分学校
25、调研,8)一个几何体的三视图如图所示,则它的表面积为( )A.28 B.24+2 C.20+4 D.20+25 5 5答案 B 2.(2018安徽合肥调研,6)一个几何体的三视图及其尺寸如图所示,其中俯视图和侧视图圆弧部分为半圆,则该几何体的表面积为( )A.4+4 B.5+4 C.6 D.7答案 A 3.(2017江西七校联考,8)若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是( )17A.48+ B.48- C.48+2 D.48-2答案 A 4.(2018江西南昌二中12月月考,15)已知四面体PABC中,PA=PB=4,PC=2,AC=2 ,PB平面PAC,则四面体PABC的5外
26、接球的表面积为 .答案 365.(2016江西九江四校联考,14)已知一个空间几何体的三视图如图所示,则这个几何体的表面积是 .答案 4+4考点二 空间几何体的体积6.(2018湖南师大附中期中,7)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.2 B.4 C. D.23 43答案 C 7.(2018吉林长春质检,8)九章算术卷五商功中有如下问题:今有刍甍,下广三丈,袤四丈,上袤二丈,无广,高一丈,问积几何.刍甍:底面为矩形的屋脊状的几何体(网格纸中粗线部分为其三视图,设网格纸上每个小正方形的边长为1丈),那么该刍甍的体积为( )A.4立方丈 B.5立方丈 C.6立方丈 D.12立
27、方丈答案 B 8.(2017河南郑州一中押题卷二,8)一个多面体的直观图和三视图如图所示,点M是AB上的动点,记四面体EFMC的体积为V 1,多面体ADF-BCE的体积为V 2,则 =( )1218A. B.14 13C. D.不是定值,随点M位置的变化而变化12答案 B 9.(2017河北“五个一联盟”一模,6)某四面体的三视图如图所示,正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形(含对角线),则此四面体的外接球的体积为( )A. B.3 C. D.43 32答案 C 10.(2018福建六校12月联考,15)已知矩形ABCD的顶点都在半径为13的球O的球面上,且AB=8,BC=6,过点D作D
28、E垂直于平面ABCD,交球O于E,则四棱锥E-ABCD的体积为 .答案 384B组 20162018年模拟提升题组(满分:55分 时间:45分钟)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2018河南开封定位考试,8)某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为扇形,则该几何体的体积为( )A.4 B.2 C. D.43答案 B 2.(2018湖北部分重点中学12月联考,8)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )19A.16 B.26 C.32 D.20+ 254 3答案 C 3.(2018云南玉溪一中期中,11)已知三棱锥P-ABC的各顶点都在同一球面上,且PA平面ABC,若该三棱
29、锥的体积为 ,AB=2,AC=1,BAC=60,则球的表面积233等于( )A.5 B.20 C.8 D.16答案 B 4.(2017安徽黄山二模,7)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.4 B.4 C.4 D.3 2433答案 C 5.(2017河南八市12月联考,8)如图,网格纸上小正方形的边长均为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )A.( +1)+96 B.( +2)+96 C.(2 +1)+96 D.(2 +2)+962 2 2 2答案 A 6.(2017河南天一12月联考,10)如图,在四面体PABC中,PA=PB=PC=4,点O是点P在
30、平面ABC上的投影,且tanAPO=20,则四面体PABC的外接球的体积为( )22A.24 B.48 C.8 D.32 6 3答案 C 7.(2016广东汕头模拟,9)某几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的表面积为( )A.4 B.12 C.24 D.483答案 B 二、填空题(共5分)8.(2018河北衡水中学9月大联考,16)在九章算术中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,若四棱锥M-ABCD为阳马,侧棱MA底面ABCD,且MA=BC=AB=2,则该阳马的外接球与内切球表面积之和为 .答案 36-16 2三、解答题(共15分)9.(2018湖南益阳、湘潭调研考
31、试,19)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,底面ABCD为菱形,ABC=60,PA=AB=1,E为PC的中点.(1)求证:PA平面BDE;(2)求三棱锥P-BDE的体积.解析 (1)证明:连接AC,设ACBD=O,连接OE,则O为AC的中点,E为PC的中点,PAOE,又OE平面BDE,PA平面BDE,PA平面BDE.21(2)连接AE,由(1)知PA平面BDE,P到平面BDE的距离与A到平面BDE的距离相等,即V P-BDE=VA-BDE,又V A-BDE=VE-ABD= VP-ABD= 1 11sin 120= ,12 12 13 12 324V P-BDE= .324C组 2
32、0162018年模拟方法题组方法1 空间几何体表面积的求解方法1.(2018福建六校12月联考,11)如图是某几何体的三视图,正视图是等边三角形,侧视图和俯视图为直角三角形,则该几何体的表面积为( )A.4 B.4+ C.3+ D.4+3 3 3 5答案 B 2.(2017河北衡水中学周测卷(十六),2)一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )A.48 B.32+8 C.48+8 D.8017 17答案 C 3.(2017江西七校联考,10)如图,ABCD是边长为2 的正方形,点E,F分别为边BC,CD的中点,将ABE,ECF,F3DA分别沿AE,EF,FA折起,使B,C,D
33、三点重合于点P,若四面体PAEF的四个顶点在同一个球面上,则该球的表面积是( )A.6 B.12 C.18 D.9 2答案 C 方法2 空间几何体体积的求解方法4.(2018广东深圳12月模拟,9)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某三棱锥的三视图,则该三棱22锥的体积为( )A. B. C. D.1683 163 323答案 B 方法3 与球有关的切、接问题的求解方法5.(2018河南新乡一模,12)在三棱锥D-ABC中,CD底面ABC,AECD,ABC为正三角形,AB=CD=AE=2,三棱锥D-ABC与三棱锥E-ABC的公共部分为一个三棱锥,则此三棱锥的外接球的表面积为( )A. B.6 C. D. 163 203 223答案 A 6.(2016广东汕头模拟,8)一个正三棱柱ABC-DEF的正视图是边长为 的正方形,如图,则它的外接球的表面积等于( )3A.8 B. C.9 D.253 283答案 B 7.(2018湖南五市十校12月联考,16)某几何体的三视图如图所示,若该几何体的所有顶点都在一个球面上,则该球的表面积为 .答案 2838.(2017福建四地六校联考,15)一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面均相切,已知这个球的体积为32323,则该正三棱柱的体积为 .答案 48 3
