1、习题课 离散型随机变量的方差与标准差,第2章 概 率,学习目标 1.进一步理解离散型随机变量的方差的概念. 2.熟练应用公式及性质求随机变量的方差. 3.体会均值和方差在决策中的应用.,题型探究,知识梳理,内容索引,当堂训练,知识梳理,1.方差、标准差的定义及方差的性质 (1)方差及标准差的定义： 设离散型随机变量X的概率分布为,方差V(X)(x1)2p1(x2)2p2(xn)2pn.(其中E(X) 标准差为 . (2)方差的性质：V(aXb) .,a2V(X),2.两个常见分布的方差 (1)两点分布：若X01分布，则V(X) ； (2)二项分布：若XB(n，p)，则V(X) .,p(1p),
2、np(1p),题型探究,例1 一出租车司机从某饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是 (1)求这位司机遇到红灯数的均值与方差；,解 易知司机遇上红灯次数服从二项分布，,解答,类型一 二项分布的方差问题,(2)若遇上红灯，则需等待30 s，求司机总共等待时间的均值与方差.,解 由已知30， 故E()30E()60，V()900V()1 200.,解答,解决此类问题的第一步是判断随机变量服从什么分布，第二步代入相应的公式求解.若它服从两点分布，则方差为p(1p)；若它服从二项发布，则方差为np(1p).,反思与感悟,跟踪训练1 在某地举办的射击比赛中
3、，规定每位射手射击10次，每次一发.记分的规则为：击中目标一次得3分；未击中目标得0分；并且凡参赛的射手一律另加2分.已知射手小李击中目标的概率为0.8，求小李在比赛中得分的均值与方差.,解 用表示小李击中目标的次数，表示他的得分，则由题意知B(10,0.8)，32. 因为E()100.88，V()100.80.21.6， 所以E()E(32)3E()238226， V()V(32)32V()91.614.4.,解答,例2 某投资公司在2017年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择： 项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%， 也可能亏损
4、15%，且这两种情况发生的概率为 项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可 能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为 针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.,类型二 均值、方差在决策中的应用,解答,解 若按项目一投资，设获利X1万元， 则X1的概率分布如下表：,35 000，,若按项目二投资，设获利X2万元， 则X2的概率分布如下表：,E(X1)E(X2)，V(X1)V(X2)， 这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥. 综上所述，建议该投资公司选择项目一投资.,离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值
5、的平均水平，而方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.因此在实际决策问题中，需先运算均值，看一下谁的平均水平高，然后再计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定，当然不同的模型要求不同，应视情况而定.,反思与感悟,跟踪训练2 已知甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a，a，0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.记甲射中的环数为，乙射中的环数为. (1)求，的概率分布；,解答,解 依据题意知，0.53aa0.11， 解得a0.1. 乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2， 乙射中7
6、环的概率为1(0.30.30.2)0.2. ，的概率分布分别为,(2)求，的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术.,解 结合(1)中，的概率分布，可得 E()100.590.380.170.19.2， E()100.390.380.270.28.7， V()(109.2)20.5(99.2)20.3(89.2)20.1(79.2)20.10.96， V()(108.7)20.3(98.7)20.3(88.7)20.2(78.7)20.21.21. E()E()，说明甲平均射中的环数比乙高. 又V()V()，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定. 甲的射击技术好.,解答,当堂训练,1.设一随机试
7、验的结果只有A和 且P(A)m，令随机变量 则的方差V()_.,答案,2,3,4,1,解析,解析 随机变量的概率分布为,m(1m),E()0(1m)1mm. V()(0m)2(1m)(1m)2mm(1m).,2.已知随机变量XY8，若XB(10,0.6)，则E(Y)，V(Y)分别是_.,答案,2,3,4,1,解析,解析 由已知随机变量XY8，所以Y8X. 因此，求得E(Y)8E(X)8100.62， V(Y)(1)2V(X)100.60.42.4.,2,2.4,若E() 则V()的值为_.,3.已知随机变量的概率分布为,答案,2,3,4,1,解析,2,3,4,1,4.有两台自动包装机甲与乙，包
8、装质量分别为随机变量X，Y，已知E(X)E(Y)，V(X)V(Y)，则自动包装机_的质量较好.(填“甲”或“乙”),答案,2,3,4,1,解析,解析 在均值相等的情况下，方差越小，说明包装的质量越稳定， 所以自动包装机乙的质量较好.,乙,规律与方法,1.已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数yaXb的均值和方差，可直接用X的均值，方差的性质求解，即E(aXb)aE(X)b，V(aXb)a2V(X). 2.若能分析出所给随机变量服从两点分布或二项分布，则可直接用它们的均值、方差公式计算. 3.作为统计量，均值和方差本身无优劣，用均值和方差进行决策，一定要结合实际问题，只有理解了实际问题的本质，才能作出正确的决策.,本课结束,
