1、1第三章 导数及其应用综合检测一、选择题1.物体运动的速度关于时间的方程为 v= t4-3,则 t=5 时的瞬时速度为( ).14A.5 B.25 C.125 D.625【解析】 v=t3,当 t=5 时, v=125.【答案】C2.已知函数 f(x)= x3+ax+4,则“ a0”是“ f(x)在 R 上单调递增”的( ).12A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】 f(x)= x2+a,当 a0 时, f(x)0 恒成立,故“ a0”是“ f(x)在 R 上单调递增”的充分不32必要条件 .【答案】A3.曲线 y=- 在点 处的切线方程为( ).1
2、 (12,-2)A.y=4x B.y=4x-4C.y=4x+4 D.y=2x-4【解析】 y= ,y =4,即 k=4, 切线方程为 y+2=4 ,即 y=4x-4.12 |=12 (-12)【答案】B4.函数 y=3x-x3的单调递增区间是( ).A.(0,+ ) B.(- ,-1)C.(-1,1) D.(1,+ )【解析】 y=3-3x2=-3(x+1)(x-1),令 y0,解得 -10,在(0, + )上, f(x)的符号变化规律是负正负,故选 A.【答案】A6.设曲线 f(x)= 在点 处的切线与直线 x-ay+1=0 平行,则实数 a 等于( ).1+cossin (2,1)A.-1
3、 B. C.-2 D.212【解析】 f(x)=(1+cos)sin-(1+cos)(sin)2= ,所以 f =-1.-1-cos2 (2)由题意知 -1= ,解得 a=-1.1【答案】A7.函数 f(x)=x3+ax-2 在区间1, + )上是增函数,则实数 a 的取值范围是( ).A.3,+ ) B.-3,+ )C.(-3,+ ) D.(- ,-3)【解析】 f (x)=x3+ax-2 在1, + )上是增函数,f (x)=3x2+a0 在 x1, + )上恒成立,即 a -3x2在 x1, + )上恒成立 .又 g (x)=-3x2在1, + )上的最大值为 g(1)=-3,a -3,
4、故选 B.【答案】B8.函数 y=xcos x-sin x 在下面哪个区间内是增函数( ).A. B.(,2)(2,32)C. D.(2,3)(33,52)【解析】 y=cos x-xsin x-cos x=-xsin x,若 y=f(x)在某区间内是增函数,则在此区间内 y0 .当 x(,2)时, y0 恒成立 .【答案】B9.若函数 y=-x3+6x2+m 的极大值等于 13,则实数 m 的值为( ).A.-20 B.-19 C.-18 D.-17【解析】 y=-3x2+12x,令 y=0,得 x=0 或 x=4.3当 x( - ,0),(4,+ )时, y0,y 为增函数,所以当 x=4
5、 时, y 取得极大值 .即 -43+642+m=13,解得 m=-19.【答案】B10.已知定义在实数集 R 上的函数 f(x)满足 f(1)=2,且 f(x)的导数 f(x)在 R 上恒有 f(x)1.【答案】A11.f(x)是定义在(0, + )上的非负可导函数,且满足 xf(x)+f(x)0,对任意正数 a、 b,若 a1 时, f(x)0,f(x)单调递增,当 -10,f(x)为增函数;当 x0,2时, f(x)0; 奇函数 f(x)=mx3+(m-1)x2+48(m-2)x+n 在区间( -4,4)上单调递减 .其中假命题的序号是 . 【解析】 中,函数 f(x)=x3在 R 上单
6、调递增,没有极值点, 错; 中, f(x)=3ax2+2bx+c(a0),函数 f(x)有极值点的充要条件是 f(x)=0 有两个不相等的实根,所以= 4b2-12ac0,也即 b2-3ac0, 正确; 中, f(x)是奇函数,则 f(0)=0n=0.又由 f(-x)=-f(x),得( m-1)x2=0,因此 m=1,所以 f(x)=x3-48x.当x( -4,4)时, f(x)=3x2-48=3(x+4)(x-4)0).(1)当 a=1 时,求曲线 y=f(x)在点(1, f(1)处的切线方程;(2)求 f(x)的单调区间;(3)若 f(x)0 在区间1,e上恒成立,求实数 a 的取值范围
7、.【解析】(1) a= 1,f (x)=x2-4x+2ln x,f (x)= (x0),f(1)=-3,f(1)=0,22-4+2 切线方程为 y=-3.(2)f(x)= = (x0),令 f(x)=0 得 x1=a,x2=1,22-2(+1)+2 2(-1)(-)若 00,当 x( a,1)时, f(x)1,则当 x(0,1)或( a,+ )时, f(x)0,当 x(1, a)时, f(x)0,故 f(x)在区间(64,640)上为增函数 .所以 f(x)在 x=64 时取得最小值,此时, n= -1= -1=9, 64064故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小 .21.已知函数 f(x)=
8、ln x+ ,a 为常数 .+1(1)若 a= ,求函数 f(x)在1,e上的值域 .(e 为自然对数的底数,e2 .72)92(2)若函数 g(x)=f(x)+x 在1,2上为减函数,求实数 a 的取值范围 .【解析】(1)由题意 f(x)= - ,1 (+1)2当 a= 时, f(x)= - = .92 192(+1)2(-2)(2-1)2(+1)2x 1,e, f (x)在1,2)上为减函数,在2,e上为增函数,又 f(2)=ln 2+ ,f(1)= ,f(e)=1+ ,比较可得 f(1)f(e),32 94 92+2f (x)的值域为 .ln2+32,94(2)由题意得 g(x)= -
9、 +10 在1,2上恒成立,1 (+1)2a +(x+1)2=x2+3x+ +3 恒成立,(+1)2 1设 h(x)=x2+3x+ +3(1 x2),1 当 1 x2 时, h(x)=2x+3- 0 恒成立,12h (x)max=h(2)= ,a ,272 272即实数 a 的取值范围是 .272,+)22.已知函数 f(x)= +ln x.(1)若 f(x)的一条切线是 y=-x+3,求 f(x)的单调区间 .(2)设函数 g(x)=f(x)-1 在 上有两个零点,求实数 a 的取值范围 .-1,【解析】(1)显然 x0,f(x)=- + .21设切点为( x0,y0),则 f(x0)=-1
10、,即 - + =-1a= +x0.2010 20y 0=f(x0)= +ln x0=x0+1+ln x0,又 y0=-x0+3.0 ln x0=-2x0+2,解得 x0=1,故 a=2.7由 f(x)=- + = =0,得 x=2.221-22因此当 02 时, f(x)0,f(x)单调递增 .f (x)的单调递减区间是(0,2),单调递增区间是(2, + ).(2)由题意得 g(x)=f(x)=- + = (x0),21-2当 a0 时, g(x)0,g(x)在 上单调递增,因此不可能有两个零点;当 a0 时,易得 g(x)的单调递-1,减区间是(0, a),单调递增区间是( a,+ ).g(x)=f(x)-1=0 在 上有两解-1,-1,(-1)=-20,()=ln0,()=0, 解得实数 a 的取值范围是 2e-1 a1.
