1、1第 6 课时 离散型随机变量的均值与方差基础达标(水平一)1.某袋中装有除颜色外完全相同的 3 个白球和 m 个黑球,现从中随机摸取 1 个球,有放回地摸取 5 次,设摸到的白球数为 X,若 E(X)=3,则 D(X)=( ).A. B. C. D.85 65 45 25【解析】由题意知 XB ,因为 E(X)=5 =3,解得 m=2,所以 XB ,故 D(X)(5, 3+3) 3+3 (5,35)=5 = .35 2565【答案】B2.设投掷一枚质地均匀的骰子的点数为 ,则( ).A.E( )= ,D( )= B.E( )= ,D( )=72 494 72 3512C.E( )= ,D(
2、)= D.E( )= ,D( )=494 72 494 3516【解析】由题意知, 的可能取值为 1,2,3,4,5,6.P(= 1)=P(= 2)=P(= 3)=P(= 4)=P(= 5)=P(= 6)= ,16 E( )=1 +2 +3 +4 +5 +6 = ,16 16 16 16 16 1672D( )= + + + 4- 2+ + = .(1-72)2(2-72)2(3-72)2 72 (5-72)2(6-72)2 163512【答案】B3.设随机变量 的分布列为 P(=k )= ,k=0,1,2,n,且 E( )=24,则 D( )的(23)(13)-值为( ).A.8 B.12
3、C. D.1629【解析】由题意可知 B ,(,23)E ( )= n=24,n= 36.23D ( )=n =36 =8.23 (1-23) 29【答案】A4.某一供电网络有 n 个用电单位,若每个单位在一天中使用电的机会是 p,则供电网络一天中平均用电的单位个数是( ).A.np(1-p) B.np C.n D.p(1-p)【解析】由题意知,一天中用电单位的个数 X 服从二项分布,即 XB(n,p),故 E(X)=np.【答案】B25.甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题,甲做对的概率为 ,乙、丙做对的概率分别为12m、 n(mn),且三位学生是否做对相互独立,记 X 为这三位学生中做对
4、该题的人数,其分布列为X 0 1 2 3P 14 a b 124则 X 的数学期望为 . 【解析】由题意,得(1-12)(1-)(1-)=14,12=124, 又 mn,解得 m= ,n= .13 14由题意知, a= + + = ,12 23 3412 13 3412 23 141124b=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)=1- - - = .14112412414故 E(X)=0 +1 +2 +3 = .14 1124 14 1241312【答案】13126.一个人有 n 把钥匙,其中只有一把能打开他的房门,他随意地试开,并将打不开房门的钥匙除去,则打开房门所试开次数 X 的数
5、学期望是 . 【解析】由于每次打开房门的概率都是 ,因此 E(X)=1 +2 +n = . 1 1 1 1+12【答案】+127.某市教育与环保部门联合组织该市中学生参加环保知识团体竞赛 .根据比赛规则,某中学选拔出 8 名同学组成参赛队,其中初中部选出的 3 名同学中有 2 名女生;高中部选出的 5 名同学中有 3 名女生 .竞赛组委会将从这 8 名同学中随机选出 4 人参加比赛 .(1)设“选出的 4 人中恰有 2 名女生,而且这 2 名女生来自同一个部”为事件 A,求事件 A 的概率 P(A);(2)设 X 为选出的 4 人中女生的人数,求随机变量 X 的分布列和数学期望 .【解析】(1
6、)由已知得 P(A)= = ,所以事件 A 的概率为 .2223+232348 635 635(2)随机变量 X 的所有可能取值为 1,2,3,4.由已知得 P(X=k)= (k=1,2,3,4).54-348所以随机变量 X 的分布列为X 1 2 3 4P 114 37 37 1143所以随机变量 X 的数学期望 E(X)=1 +2 +3 +4 = .114 37 37 11452拓展提升(水平二)8.如图,将一个各面都涂了油漆的正方体切割成 125 个同样大小的小正方体,经过搅拌后,从中随机取出一个小正方体,记它的涂油漆面数为 X,则 X 的均值为( ).A. B. C. D.126125
7、 65 168125 75【解析】 X 的可能取值为 0,1,2,3. 大正方体 8 个顶点处的 8 个小正方体涂有 3 个面,所以 P(X=3)= ;8125 大正方体每条棱上对应的小正方体除了两个顶点处的还有 3 个,一共 312=36 个小正方体涂有 2 个面,所以 P(X=2)= ;36125 大正方体每个面上对应的小正方体除去棱上的还有 9 个,一共 96=54 个小正方体涂有 1 个面,所以 P(X=1)= ;54125 还有 125-(8+36+54)=27 个没有涂漆的小正方体,所以 P(X=0)= .27125故 E(X)=0 +1 +2 +3 = .27125 54125
8、36125 812565【答案】B9.体育课的排球发球项目考试的规则是:每位学生最多可发 3 次球,一旦发球成功,则停止发球,否则一直发到 3 次为止 .设某学生一次发球成功的概率为 p(p0),发球次数为 X,若 X 的数学期望 E(X)1.75,则 p 的取值范围是( ).A. B. C. D.(0,712) (712,1) (0,12) (12,1)【解析】由已知可得 P(X=1)=p,P(X=2)=(1-p)p,P(X=3)=(1-p)2,则 E(X)=1p+2(1-p)p+3(1-p)2=p2-3p+31.75,解得 p 或 p .52 12又 p(0,1),所以 p .(0,12)
9、【答案】C10.已知离散型随机变量 X 满足 P(X=x1)= ,P(X=x2)= ,且 x1x2,若 E(X)= ,D(X)= ,则 x1+x223 13 43 29的值为 . 【解析】由题意得123+213=43,(1-43)223+(2-43)213=29,4即21+2=4,2(1-43)2+(2-43)2=23,解得 或1=53,2=23 1=1,2=2.x 1x2, x 1+x2=3.1=1,2=2,【答案】311.从一批产品中抽取 4 件做检验,这 4 件产品中优质品的件数记为 n,如果 n=3,再从这批产品中任取 4 件做检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果 n=4,再从
10、这批产品中任取1 件做检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验 .假设这批产品的优质品率为 50%,且各件产品是否为优质品相互独立 .(1)求这批产品通过检验的概率;(2)已知每件产品检验费用为 100 元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为 X(单位:元),求 X 的分布列及数学期望 .【解析】(1)设“第一次取出的 4 件产品中恰有 3 件优质品”为事件 A,“第二次取出的 4 件产品都是优质品”为事件 B,“第一次取出的 4 件产品中全为优质品”为事件 C,“第二次取出的 1 件产品是优质品”为事件 D,“这批产品通过检验”为事件 E,P (E)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)= + = .34 (12)3 12 (12)444 (12)4 12 364(2)X 的可能取值为 400,500,800,并且 P(X=400)=1- - = ,34 (12)3 12(12)41116P(X=500)= = ,(12)4 116P(X=800)= = ,34 (12)3 1214X 的分布列为X 400 500 800P 1116 116 14E (X)=400 +500 +800 =506.25.1116 116 14
