1、1第 2 讲 三角恒等变换与解三角形考情考向分析 正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：1.边和角的计算.2.三角形形状的判断.3.面积的计算.4.有关参数的范围问题由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视热点一 三角恒等变换1三角求值“三大类型”“给角求值” “给值求值” “给值求角” 2三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1sin 2 cos 2 tan 45等(2)项的拆分与角的配凑：如 sin2 2cos 2 (sin 2 cos 2 )cos 2 ， ( ) 等(3)降次与升次：正用二倍角公
2、式升次，逆用二倍角公式降次(4)弦、切互化：一般是切化弦例 1 (1)(2018张掖市诊断考试)已知 sin ，则 cos 等于( )( 6 ) 33 (2 2 0183 )A. B.23 132C D23 13答案 D解析 cos cos(2 2 0183 ) (2 23 672 )cos ，(2 23)sin cos ，( 6 ) ( 3 ) 33cos cos(2 2 0183 ) (2 23)2cos 2 1 1 .( 3) 23 13(2)已知 sin ，sin( ) ， ， 均为锐角，则 等于( )55 1010A. B. C. D.512 3 4 6答案 C解析 因为 ， 均为锐
3、角，所以 0，得 sin A2sin B.根据正弦定理，得 a2 b.2(2017北京)在平面直角坐标系 xOy 中，角 与角 均以 Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称若 sin ，cos( )_.13答案 79解析 由题意知 2 k( kZ)， 2 k (kZ)，又 sin ，13cos( )cos cos sin sin cos 2 sin 2 2sin 2 12 1 .19 793(2018全国改编) ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.若 ABC 的面积为，则 C_.a2 b2 c24答案 4解析 S absin C 12 a2 b2 c24 2abcos
4、 C4 abcos C，12sin Ccos C，即 tan C1.又 C(0，)， C . 44(2018全国) ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.已知 bsin C csin B4 asin Bsin C， b2 c2 a28，则 ABC 的面积为_答案 233解析 bsin C csin B4 asin Bsin C，由正弦定理得sin Bsin Csin Csin B4sin Asin Bsin C.又 sin Bsin C0，sin A .128由余弦定理得 cos A 0，b2 c2 a22bc 82bc 4bccos A ， bc ，32 4cos A
5、 833 S ABC bcsin A .12 12 833 12 233押题预测1在 ABC 中，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.已知 cos A ，sin B cos C，并23 5且 a ，则 ABC 的面积为_2押题依据 三角形的面积求法较多，而在解三角形中主要利用正弦、余弦定理求解，此题很好地体现了综合性考查的目的，也是高考的重点答案 52解析 因为 00，53 23并结合 sin2Ccos 2C1，得 sin C ，cos C .56 16于是 sin B cos C .556由 a 及正弦定理 ，得 c .2asin A csin C 3故 ABC 的面积 S
6、acsin B .12 522已知函数 f(x) sin xcos xcos 2 x( 0)的最小正周期为 .323(1)求 的值；(2)在 ABC 中，sin B，sin A，sin C 成等比数列，求此时 f(A)的值域押题依据 三角函数和解三角形的交汇命题是近几年高考命题的趋势，本题综合考查了三角变换、余弦定理和三角函数的值域，还用到数列、基本不等式等知识，对学生能力要求较高解 (1) f(x) sin 2x (cos 2x 1)32 129sin ，(2 x 6) 12因为函数 f(x)的最小正周期为 T ，22 23所以 .32(2)由(1)知 f(x)sin ，(3x 6) 12易
7、得 f(A)sin .(3A 6) 12因为 sin B，sin A，sin C 成等比数列，所以 sin2Asin Bsin C，所以 a2 bc，所以 cos A b2 c2 a22bc b2 c2 bc2bc (当且仅当 b c 时取等号)2bc bc2bc 12因为 00，2tan 2tan 3tan 2 31 tan2 2tan 2 ，12(tan 3tan ) 12 tan 3tan 3当且仅当 tan ，即 tan ， 时等号成立故选 D.3tan 3 3方法二 为锐角，sin 0，cos 0，2tan 3tan 2 2sin cos 3cos 2sin 2 4sin2 3cos
8、 22sin cos sin2 3cos22sin cos 2 ，12(sin cos 3cos sin ) 12 sin cos 3cos sin 3当且仅当 ，sin cos 3cos sin 即 时等号成立故选 D. 36(2017全国)已知 ，tan 2，则 cos _.(0， 2) ( 4)答案 31010解析 cos cos cos sin sin ( 4) 4 4 (cos sin )22又由 ，tan 2 知，sin ，cos ，(0， 2) 255 55cos .( 4) 22 (55 255) 310107设 ABC 内切圆与外接圆的半径分别为 r 与 R.且 sin As
9、in Bsin C234，则cos C_；当 BC1 时， ABC 的面积等于_答案 14 31516解析 sin Asin Bsin C234， a b c234.令 a2 t， b3 t， c4 t，则 cos C ，4t2 9t2 16t212t2 1412sin C .154当 BC1 时， AC ，32 S ABC 1 .12 32 154 315168(2018绵阳诊断)如图，在 ABC 中， BC2， ABC ， AC 的垂直平分线 DE 与 3AB， AC 分别交于 D， E 两点，且 DE ，则 BE2_.62答案 52 3解析 如图，连接 CD，由题设，有 BDC2 A，所
10、以 ，CDsin 60 BCsin 2A 2sin 2A故 CD .3sin 2A又 DE CDsin A ，32cos A 62所以 cos A ，而 A(0，)，故 A ，22 4因此 ADE 为等腰直角三角形，所以 AE DE .62在 ABC 中， ACB75，所以 ，ABsin 75 2sin 45故 AB 1，3在 ABE 中， BE2( 1) 2 22( 1) .3 (62) 3 62 22 52 39(2017全国) ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 sin(A C)8sin 2 .B13(1)求 cos B；(2)若 a c6， ABC 的面
11、积为 2，求 b.解 (1)由题设及 A B C，得 sin B8sin 2 ，B故 sin B4(1cos B)上式两边平方，整理得 17cos2B32cos B150，解得 cos B1(舍去)或 cos B .1517故 cos B .1517(2)由 cos B ，得 sin B ，1517 817故 S ABC acsin B ac.12 417又 S ABC2，则 ac .172由余弦定理及 a c6，得 b2 a2 c22 accos B( a c)22 ac(1cos B)362 4，172 (1 1517)所以 b2.10(2018西宁模拟)已知函数 f(x) cos sin
12、 cos 2 .3 (32 x) (x 2) ( 2 x) 12(1)求函数 f(x)的单调递增区间；(2)已知在 ABC 中， A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 f(A)1， a2，求 ABC 面积的最大值解 (1) f(x) cos sin cos 2 sin xcos xsin 2x3 (32 x) (x 2) ( 2 x) 12 3 12 sin 2x cos 2xsin .32 12 (2x 6)令 2k 2 x 2 k (kZ)， 2 6 2得 k x k (kZ)， 6 3所以 f(x)的单调递增区间为 (kZ)k 6， k 3(2)由(1)知 f(A)sin 1
13、，(2A 6)因为 A(0，)，14所以 2A ， 6 ( 6， 116 )所以 2A ，所以 A . 6 2 3在 ABC 中，由余弦定理得 a2 b2 c22 bccos A，又 a2，则 4 b2 c2 bc2 bc bc bc，即 bc4，当且仅当 b c2 时，等号成立所以 ABC 面积的最大值为S ABC bcsin A 4 .12 12 32 3B 组 能力提高11已知 2sin 1cos ，则 tan 等于( )A 或 0 B. 或 043 43C D.43 43答案 A解析 因为 2sin 1cos ，所以 4sin cos 1 2sin 2 ， 2 2 (1 2sin2 2
14、) 2解得 sin 0 或 2cos sin ，即 tan 0 或 2， 2 2 2 2又 tan ，2tan 21 tan2 2当 tan 0 时，tan 0； 2当 tan 2 时，tan . 2 4312在锐角 ABC 中，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且满足( a b)(sin Asin B)( c b)sin C，若 a ，则 b2 c2的取值范围是( )3A(3,6 B(3,5) C(5,6 D5,6答案 C解析 ( a b)(sin Asin B)( c b)sin C，由正弦定理得( a b)(a b)( c b)c，15即 b2 c2 a2 bc，cos
15、 A ，b2 c2 a22bc bc2bc 12又 A(0，)， A ， B C . 3 23又 ABC 为锐角三角形，Error! ，23 20 ，33 1tan A 3 2，即 2.ca12 32 3 ca 的取值范围是(2，)ca14如图，在 ABC 中， D 为边 BC 上一点， AD6， BD3， DC2.(1)如图 1，若 AD BC，求 BAC 的大小；(2)如图 2，若 ABC ，求 ADC 的面积 4解 (1)设 BAD ， DAC .因为 AD BC， AD6， BD3， DC2，所以 tan ，tan ，12 13所以 tan BACtan( ) 1.tan tan 1 tan tan12 131 1213又 BAC(0，)，所以 BAC . 4(2)设 BAD .在 ABD 中， ABC ， AD6， BD3. 417由正弦定理得 ，ADsin 4 BDsin 解得 sin .24因为 ADBD，所以 为锐角，从而 cos .1 sin2144因此 sin ADCsin sin cos cos sin ( 4) 4 4 .22(24 144) 1 74所以 ADC 的面积 S ADDCsin ADC12 62 (1 )12 1 74 32 7
